2024-2025学年湖南省娄底三中高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知表示变量与之间的相关系数，表示变量与之间的相关系数，且，，则( )
A. 变量与之间呈正相关关系，且与之间的相关性强于与之间的相关性
B. 变量与之间呈负相关关系，且与之间的相关性强于与之间的相关性
C. 变量与之间呈负相关关系，且与之间的相关性弱于与之间的相关性
D. 变量与之间呈正相关关系，且与之间的相关性弱于与之间的相关性
2.已知为公差不为的等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，为单位向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的公比，前项和为，则( )
A. B. C. D.
6.学校举办篮球赛，将支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，是函数的极值点，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布，若的值在内的概率约为，则的值约为( )
参考数据：若，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，若，则( )
A. B.
C. D.
10.在棱长为的正方体中，、、分别为、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是( )
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 存在实数、使得
11.设函数，则( )
A. 的极小值点为
B. 在上为增函数
C. 直线是曲线的切线
D. 方程恰有一个解当且仅当
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列是各项均为正数的等比数列，数列满足，且，，则数列的前项和为 ______．
13.已知，则 ______．
14.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于两点，，且：：：：，若的周长为，则的实轴长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的长轴长为且离心率为．
求椭圆的方程；
不经过原点的直线：与椭圆交于，两点，求的面积最大时直线的方程．
16.本小题分
已知函数为偶函数．
求实数的值；
求函数的单调区间和极值．
17.本小题分
A、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘负一盘或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为．
若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求；
若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率；
通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义．
18.本小题分
在中，，，若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数，都存在，且，如果是常数时，或，或，且是常数，则时．
已知函数，．
证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切；
若函数有两个零点，，函数有两个零点，
指出，，，的大致范围不必说明理由，并求出的取值范围；
试探究与的大小关系．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.
15.根据已知，即．
又根据，可得，因此，
那么椭圆为．
根据题直线与椭圆有两个交点和，设，，
联立直线和椭圆方程，得，即，
所以根的判别式，根据韦达定理可得，，
根据直线不过原点可得且．
那么
，
且点到直线的距离．
所以
，
当且仅当，即，此时．
16.依题意，得，即，
化简为，由于，
故；
由知函数的解析式为，
当时，，，
令，，令，；
此时函数，在上单调递减，上单调递增，
令，因为，所以，
根据单调性可知函数在处取极小值；
又，故为偶函数，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取极小值．
17.根据题意，若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，
丁连胜两盘、负一盘的概率为，则，
丁连胜三盘的概率为，则，
故；
根据题意，设、两队打平的概率为．
记事件：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜．
记事件：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，
易得事件与为互斥事件，
则．
根据题意，设丁获胜的概率为．
若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则．
同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则．
若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛，
则．
若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛，
则．
因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利．
因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘，
其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强，
连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大，
根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利．
18.证明：取中点，连接，，
由，，
得，，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则四面体的体积为，
因为四面体的体积为，
所以，
解得，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：时，，，
，，
又，，
所以曲线在点处的切线方程是，即．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程是，即．
所以时曲线在点处的切线与曲线也相切．
，．
由，得；，得，
令，则与的零点相同，与的零点相同，
又，
时，，单调递减；时，，单调递增；
时，，单调递减，时，，单调递增；
所以和在上都是减函数，在上都是增函数，
所以时，，时，，
因为有两个零点，即有两个零点，
所以，且解得．
当时，，，
又时，
根据洛必达法则可知，时，，
所以时，
所以时，在区间和上各有一个零点，
所以，
因此，若函数，各有两个零点，的取值范围是．
令，
则与的零点相同，与的零点相同，
在区间上是增函数，
，
，
令，则，
时，单调递增；时，，单调递减；
所以时，
于是时等号仅当时成立，
所以在上是增函数．
所以时，，，即时，；
时，，，即时；
由知，，
所以，
又，，
所以，
又在区间上是增函数，且，，
所以同理可证，
于是．
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