2024-2025 学年湖南省永州市新田县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在 0 1，2， 2， 2这四个数中，最小的数是( )
A. 0 B. 12 C. 2 D. 2
2.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有
0.00003 左右，0.00003 用科学记数法可表示为( )
A. 3 × 10 5 B. 3 × 10 4 C. 0.3 × 10 4 D. 0.3 × 10 5
3.下列命题中，是假命题的是( )
A.两点之间，线段最短 B.对顶角相等
C.直角的补角仍然是直角 D.同旁内角互补
4.下列运算正确的是( )
A. 2 + 3 = 5 B. 8 2 = 6 C. 2 × 3 = 5 D. 2 ÷ 12 = 2
5.下列各数中，是无理数的是( )
A. 2 B.
1
3 C.
3 27 D. 0.13133
6.不等关系在生活中广泛存在.如图， 、 分别表示两位同学的身高， 表示台阶的高度.图中两人的对话体
现的数学原理是( )
A.若 > ，则 + > + B.若 > ， > ，则 >
C. 若 > ， > 0，则 > D.若 > ， > 0，则 >
7.用一根小木棒与两根长度分别为 3 、5 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )
A. 9 B. 7 C. 2 D. 1
8.下面是“作一个角使其等于∠ ”的尺规作图方法．
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(1)如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，
；
(2)作射线 ′ ′，以点 ′为圆心， 长为半径画弧，交 ′ ′
于点 ′；以点 ′为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ′；
(3)过点 ′作射线 ′ ′，则∠ ′ ′ ′ = ∠ ．
上述方法通过判定△ ′ ′ ′≌△ 得到∠ ′ ′ ′ = ∠ ，其中判定△ ′ ′ ′≌△ 的依
据是( )
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
9.下列数中，能使不等式 5 1 < 6 成立的 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.已知如图，等腰△ ， = ，∠ = 120°， ⊥ 于点 ，点 是 延长线上一点，点 是线
段 上一点， = ，下面的结论：①∠ + ∠ = 30°；②∠ = ∠ ；③△ 是等边三角
形；④ = + .其中正确的是( )
A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11 3 .要使分式 +1有意义，则 应满足的条件是______．
12.如图，在△ 中， = 5， = 7，直线 垂直平分 ，垂足为 ，
交 于点 ，则△ 的周长是______．
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13.在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是： ▲ = 3 .已知关于
的不等式 ▲ ≥ 2 的解集在数轴上如图表示，则 的值是______．
14.已知△ 是等腰三角形．若∠ = 40°，则△ 的顶角度数是 ．
15.若 ， 为实数，且| 1| + + 2 = 0，则( + )2024 = ______．
16.若整数 使关于 2 1的分式方程 3 = 2 3 的解为整数，则所有满足条件的整数 的值之和为______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 6 分)
1
计算：(3.14 )0 + | 2 1| + ( 12 ) 8．
18.(本小题 7 分)
2 2 2 +1
先化简，再代入求值：(1 +1 ) ÷ +1 ，其中 = 2 + 1．
19.(本小题 8 分)
3
解方程： 1 = 5 +
3
1 ．
20.(本小题 8 分)
7 14 ≤ 0①
解不等式组： 2( + 3) > + 4 ，并把它的解集在数轴上表示出来．②
21.(本小题 8 分)
王强同学用 10 块高度都是 2 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进
一个等腰直角三角板( = , ∠ = 90°)，点 在 上，点 和 分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：△ ≌△ ；
(2)求两堵木墙之间的距离．
22.(本小题 9 分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3 + 2 2 = (1 +
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2)2.善于思考的小明进行了以下探索：设 + 2 = ( + 2)2(其中 、 、 、 均为整数)，
则有 + 2 = 2 + 2 2 + 2mn 2. ∴ = 2 + 2 2， = 2mn.这样小明就找到了一种把类似 + 2的式
子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为整数时，若 + 3 = ( + 3)2，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： =______，
=______；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空：______+______ 3 = (______+______ 3)2；
(3)若 + 4 3 = ( + 3)2，且 、 、 均为正整数，求 的值？
23.(本小题 10 分)
【定义】
若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的
“相斥不等式”.例如：不等式 > 1 的解都不是不等式 ≤ 1 的解，则 > 1 是 ≤ 1 的“相斥不等式”．
【应用】
(1)在不等式① > 2，② < 2，③ ≥ 3 这三个一元一次不等式中，是 < 3 的“相斥不等式”的有
______(填序号)；
(2)若关于 的不等式 3 + ≤ 4 是 2 3 < 0 1的“相斥不等式”，同时也是 + 2 ≥ 2 + 1 的“相斥不等
式”，求 的取值范围；
(3)若 ≥ 4 是关于 的不等式 + 3 > 0( 是非零常数)的“相斥不等式”，求 的取值范围．
24.(本小题 10 分)
如图，△ 中， = = = 12 ，现有两点 、 分别从点 、点 同时出发，沿三角形的边运动，
已知点 的速度为 1 / ，点 的速度为 2 / .当点 第一次到达 点时， 、 同时停止运动．
(1)点 、 运动几秒后， 、 两点重合？
(2)点 、 运动几秒后，可得到等边△ ？
(3)当点 、 在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时 、 运动
的时间．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≠ 1
12.12
13. 5
14.40°或 100°
15.1
16.7
17.解：(3.14 )0 + | 2 1| + ( 1 ) 12 8
= 1 + 2 1 + 2 2 2
= 2 2．
18. (1 2
2
) ÷ 2 +1解： +1 +1
= +1 2 +1 +1 ( 1)2
= 1 +1 +1 ( 1)2
= 1 1，
1 1 2
当 = 2 + 1 时，原式= 2+1 1 = 2 = 2 ．
19.解：原方程两边同乘( 1)，去分母得：3 = 5( 1) 3 ，
去括号得：3 = 5 5 3 ，
移项，合并同类项得： 2 = 8，
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系数化为 1 得： = 4，
检验：将 = 4 代入( 1)中得 4 1 = 3 ≠ 0，
则原分式方程的解为： = 4．
20. 7 14 ≤ 0①解： 2( + 3) > + 4 ，②
由①得 7 ≤ 14，
则 ≤ 2，
由②得 2 + 6 > + 4，
则 > 2，
故原不等式组的解集为： 2 < ≤ 2，
在数轴上表示其解集如下：
21.解：(1)证明：∵ = ，∠ = 90°， ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ．
在△ 和△ 中，
∠ = ∠ ,
∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ ( )；
(2)由题意得： = 2 × 3 = 6( )， = 7 × 2 = 14( )．
∵△ ≌△ ，
∴ = = 6 ， = = 14 ，
∴ = + = 20 ，
故两堵木墙之间的距离为 20 ．
22.解：(1) 2 + 3 2；2 ；
(2) 4；2；1；1(答案不唯一)；
(3)由(1)可知， = 2 + 3 2， = 2 = 4，
4
∴ = 2 = 2
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而 、 、 均为正整数，
∴ = 1， = 2 或者 = 2， = 1，
当 = 1， = 2 时， = 2 + 3 2 = 1 + 3 × 22 = 13；
当 = 2， = 1 时， = 2 + 3 2 = 22 + 3 × 1 = 7．
综上， = 13 或者 = 7．
23.(1)①③；
(2)解不等式 3 + ≤ 4 ≤ 4 得 3 ，
2
解不等式 2 3 < 0 得 > 3，
解不等式 + 2 ≥ 12 + 1 得 ≥ 2，
4 ≤ 2
根据“相斥不等式”的定义得 3 34 ，
3 < 2
解得： > 10；
(3) ∵ ≥ 4 是关于 的不等式 + 3 > 0 的“相斥不等式”，
∴ < 0，
解不等式 + 3 > 0 3得 < ，
∴ 3 < 4，
< 3解得： 4．
24.解：(1)设点 、 运动 秒后， 、 两点重合，
× 1 + 12 = 2 ，
解得： = 12；
∴点 、 运动 12 秒后， 、 两点重合；
(2)设点 、 运动 秒后，可得到等边三角形△ ，如图①，
= × 1 = ， = = 12 2 ，
∵三角形△ 是等边三角形，
∴ = 12 2 ，
解得 = 4，
∴点 、 运动 4 秒后，可得到等边三角形△ ．
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(3)当点 、 在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形，
由(1)知 12 秒时 、 两点重合，恰好在 处，
如图②，假设△ 是等腰三角形，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = = ，
∴△ 是等边三角形，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ ,
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
设当点 、 在 边上运动时， 、 运动的时间为 秒时，△ 是等腰三角形，
∴ = 12， = 36 2 ， = ，
12 = 36 2 ，
解得： = 16.故假设成立．
∴当点 、 在 边上运动时，能得到以 为底边的等腰三角形 ，此时 、 运动的时间为 16 秒．
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