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1、湖南省新高考教学教研联盟2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题一、单选题1若集合，则（ ）ABCD2已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）ABCD3若角的终边过点，则（ ）ABCD34的展开式中，的系数为（ ）A80B40CD5已知向量与的夹角为，则（ ）AB0CD26晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术
2、成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） ABCD7已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在轴、轴上，离心率分别为，则的最小值为（ ）A4BC3D8若，使得，则的最小值为（ ）ABCD二、多选题9已知点与点关于点对称，若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，这组
3、数满足（ ）A平均数为B中位数为C方差为D极差为10正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）AB平面C平面D11已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，若，则（ ）ABC面积的最小值为1D三、填空题12已知，则 .13在正项等比数列中，若，则 .14已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 .四、解答题15记的内角，的对边分别为，.(1)求；(2)若的角平分线交边于
4、点，求的周长.16如图，在四棱锥中，平面，且，是的中点.若四棱锥有外接球. (1)求四棱锥外接球的体积；(2)求二面角的余弦值.17将编号为，的小球随机放入编号为，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”.(1)当时，求“配球”个数的分布列和期望.(2)已知：若随机变量服从两点分布，且，则.（i）求“配球”个数的期望.（ii）若满足：当时，；当时，；当时，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望.18已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，三点，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率不存在，求的中
5、心坐标；(3)求证：点不是的中心.19已知函数.(1)若，求证：；(2)若数列满足，前项和为，求证：；(3)若等差数列的公差，前项和为，求.参考答案1A【详解】令，解得，则，因为，所以，故A正确.故选：A2C【详解】由，所以复数的虚部为故选：C3B【详解】由角的终边过点，得，所以.故选：B.4D【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取，即可得出含的项，其为，故的系数为.故选：D5D【详解】，又，所以，则.故选：D6B【详解】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分，将区域还原到如图所示圆柱中. 由图可知，由扇形的弧长公式可知，的长为，结合
6、圆柱的侧面积公式可知，所以，所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为.故选：B7D【详解】设双曲线，则对于，其半焦距为，长半轴为，则；对于，其半焦距为，长半轴为，则，则，结合（当且仅当时取等号）及基本不等式，当且仅当时取等号.故选：D8A【详解】由，得，由，得，若，使得，则的区间长度要不小于的解集的区间长度，.故选：A9BCD【详解】因为点与点关于点对称，所以，则，又，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，所以，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为，故BCD正确，A错误.故选：BCD10BC【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.A：因为，所以，因为，所以不成立，故本选项说法不正确；B：因为，所以，因为，所以，而平面，所以平面，因此本选项说法正确；C：设平面的法向量为，因为，所以，于是有，
