河北省秦皇岛市海港区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2021八上·阳江期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·海港期末）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022八上·海港期末）下列实数，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·海港期末）若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·海港期末）计算时，第一步变形正确的是（ ）
A．1+x2 B．1﹣x2
C． D．
6．（2022八上·海港期末）下列命题的逆命题一定成立的有（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行
7．（2022八上·海港期末）如图，，添加一个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·海港期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
10．（2022八上·海港期末）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022八上·海港期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
12．（2022八上·海港期末）如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．（2022八上·海港期末）4的平方根是 ．-27的立方根是 ．
14．（2022八上·海港期末）计算：
（1） ；
（2） ．
（3） ；
（4） ．
15．（2022八上·海港期末）将精确到千分位取近似数，结果为 ．
16．（2022八上·海港期末）已知实数m、n满足，则 ．
17．（2022八上·海港期末）若5和12是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为 ．
18．（2022八上·海港期末）如图，是的角平分线，于，的面积为，，则 .
19．（2022八上·海港期末）如图，在四边形中，，，连接，，，若为边上一个动点，则长的最小值为 ，若点为边中点，则长为 .
20．（2022八上·海港期末）如图的5个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）.
三、解答题
21．（2021九上·大冶期末）先化简，再求值： ，其中 .
22．（2022八上·海港期末）在中，，点D、E分别是、上的点，且．
（1）图中有 对全等三角形．
（2）求的度数．
23．（2022八上·海港期末）复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
24．（2022八上·海港期末）如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
（1）请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）将图形补充完整， ▲ ．
25．（2022八上·海港期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于成轴对称的；
（2）在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为 ▲ ．
（3）若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有 个．
（4）若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系： ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3；
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质：分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，A、B选项是分子分母同时减或加2，不符合题意；
D选项是分子分母同时平方，不符合题意；
C选项是分子分母同时乘2，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式==．
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法计算方法求解即可。
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，
∵相等的角不一定是对顶角，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
B、若，则的逆命题为若，则，
若，则，a不一定大于b，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
C、若，则的逆命题为若，则
∵若，则或
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
D、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，
逆命题成立，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据逆命题及真命题的定义逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴A、若添加，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
即
解得．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质可得，再求出x的取值范围即可。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定。
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS判断即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：对于①：∵，
∴，
∴，故①满足题意；
对于②：，设，
∴，
∴，
∴，故②满足题意；
对于③：，设，
∵，
∴是直角三角形，故③满足题意；
对于④：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故④不满足题意；
所以能判断是直角三角形的有：①②③，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
的周长．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABC的周长。
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵于，于E，
∴，
在和中，
，
∴，
故①符合题意；
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
故②符合题意；
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴点在的平分线上；
故③符合题意；
因为无条件下能证明，故不能说明点在的中垂线上．
故④不符合题意；
∴正确的有①②③共3个，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和全等三角形的性质逐项判断即可。
13．【答案】±2；-3
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：，
的平方根为±2；
，
-27的立方根是-3．
故答案为．±2；-3．
【分析】利用平方根和立方根的计算方法求解即可。
14．【答案】（1）2
（2）
（3）4
（4）5
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：2；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：4；
（4）
故答案为：5．
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可；
（3）利用二次根式的除法计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
15．【答案】2.236
【知识点】近似数及有效数字
【解析】【解答】精确到千分位是2.236，
故答案为：2.236．
【分析】根据近似数和有效数字的定义及四舍五入的方法求解即可。
16．【答案】
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。
17．【答案】29
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、12，
∵，
∴此时不能组成三角形；
②5是底边长时，三角形的三边分别为5、12、12，
此时能组成三角形，
所以，周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长是29．
故答案为：29．
【分析】分类讨论：①5是腰长时，②5是底边长时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式计算即可。
18．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点作于点，
∵是的角平分线，于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用等面积法可得，最后求出即可。
19．【答案】3；
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵，，，，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD=2AD=6，CD=BD÷= 6÷=2，BC=2CD=4，
当DP⊥BC时，DP的值最小，此时，DP===3，
当点为边中点，DP=BC=×4=2.
故答案是：3，.
【分析】当DP⊥BC时，DP的值最小，再利用等面积法求出DP的长；利用直角三角形斜边上中线的性质可得DP的长。
20．【答案】②⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点作的角平分线，
∵，，
∴，
∴，，
∴和是等腰三角形，
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形；
过点作的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
把点分成和的角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形．
∴不能分成两个小等腰三角形
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。
21．【答案】原式 ，
当 时，原式 .
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则先进行化简，然后代入 计算即可.
22．【答案】（1）2
（2）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴图中有2对全等三角形；
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法求解即可；
（2）先利用“SAS”证明，可得，再利用三角形的内角和及等量代换可得。
23．【答案】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，根据题意列出方程，再求解即可。
24．【答案】（1）解：如图，点E、点F即为所求．
（2）如图，
；5
【知识点】勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】(2)∵长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处，
∴，
∵在长方形中，，
∴
∴
∴设，则
∵
∴，即
∴解得
∴．
【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可。
25．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P．
；
（3）2
（4）解：如图所示，
；
与关于所在直线成轴对称，
与关于的中垂线成轴对称，
与关于的中点成中心对称．
【知识点】等腰三角形的判定；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（2）∵周长，
∴周长的最小值为；
（3）如图所示，
∴使是等腰三角形的点有2个；
【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P；
（3）根据等腰三角形的判定方法求解即可；
（4）根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。
河北省秦皇岛市海港区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2021八上·阳江期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3；
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．（2022八上·海港期末）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．（2022八上·海港期末）下列实数，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：A、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
4．（2022八上·海港期末）若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质：分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，A、B选项是分子分母同时减或加2，不符合题意；
D选项是分子分母同时平方，不符合题意；
C选项是分子分母同时乘2，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
5．（2022八上·海港期末）计算时，第一步变形正确的是（ ）
A．1+x2 B．1﹣x2
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式==．
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法计算方法求解即可。
6．（2022八上·海港期末）下列命题的逆命题一定成立的有（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，
∵相等的角不一定是对顶角，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
B、若，则的逆命题为若，则，
若，则，a不一定大于b，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
C、若，则的逆命题为若，则
∵若，则或
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
D、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，
逆命题成立，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据逆命题及真命题的定义逐项判断即可。
7．（2022八上·海港期末）如图，，添加一个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴A、若添加，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
8．（2022八上·海港期末）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
即
解得．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质可得，再求出x的取值范围即可。
9．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定。
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS判断即可.
10．（2022八上·海港期末）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：对于①：∵，
∴，
∴，故①满足题意；
对于②：，设，
∴，
∴，
∴，故②满足题意；
对于③：，设，
∵，
∴是直角三角形，故③满足题意；
对于④：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故④不满足题意；
所以能判断是直角三角形的有：①②③，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
11．（2022八上·海港期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
的周长．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△ABC的周长。
12．（2022八上·海港期末）如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵于，于E，
∴，
在和中，
，
∴，
故①符合题意；
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
故②符合题意；
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴点在的平分线上；
故③符合题意；
因为无条件下能证明，故不能说明点在的中垂线上．
故④不符合题意；
∴正确的有①②③共3个，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和全等三角形的性质逐项判断即可。
二、填空题
13．（2022八上·海港期末）4的平方根是 ．-27的立方根是 ．
【答案】±2；-3
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：，
的平方根为±2；
，
-27的立方根是-3．
故答案为．±2；-3．
【分析】利用平方根和立方根的计算方法求解即可。
14．（2022八上·海港期末）计算：
（1） ；
（2） ．
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）2
（2）
（3）4
（4）5
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：2；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：4；
（4）
故答案为：5．
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可；
（3）利用二次根式的除法计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
15．（2022八上·海港期末）将精确到千分位取近似数，结果为 ．
【答案】2.236
【知识点】近似数及有效数字
【解析】【解答】精确到千分位是2.236，
故答案为：2.236．
【分析】根据近似数和有效数字的定义及四舍五入的方法求解即可。
16．（2022八上·海港期末）已知实数m、n满足，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。
17．（2022八上·海港期末）若5和12是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】29
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、12，
∵，
∴此时不能组成三角形；
②5是底边长时，三角形的三边分别为5、12、12，
此时能组成三角形，
所以，周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长是29．
故答案为：29．
【分析】分类讨论：①5是腰长时，②5是底边长时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式计算即可。
18．（2022八上·海港期末）如图，是的角平分线，于，的面积为，，则 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点作于点，
∵是的角平分线，于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用等面积法可得，最后求出即可。
19．（2022八上·海港期末）如图，在四边形中，，，连接，，，若为边上一个动点，则长的最小值为 ，若点为边中点，则长为 .
【答案】3；
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵，，，，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD=2AD=6，CD=BD÷= 6÷=2，BC=2CD=4，
当DP⊥BC时，DP的值最小，此时，DP===3，
当点为边中点，DP=BC=×4=2.
故答案是：3，.
【分析】当DP⊥BC时，DP的值最小，再利用等面积法求出DP的长；利用直角三角形斜边上中线的性质可得DP的长。
20．（2022八上·海港期末）如图的5个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）.
【答案】②⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点作的角平分线，
∵，，
∴，
∴，，
∴和是等腰三角形，
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形；
过点作的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
把点分成和的角，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴和是等腰三角形；
∴符合题意；
不能分成两个小等腰三角形．
∴不能分成两个小等腰三角形
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。
三、解答题
21．（2021九上·大冶期末）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】原式 ，
当 时，原式 .
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则先进行化简，然后代入 计算即可.
22．（2022八上·海港期末）在中，，点D、E分别是、上的点，且．
（1）图中有 对全等三角形．
（2）求的度数．
【答案】（1）2
（2）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴图中有2对全等三角形；
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法求解即可；
（2）先利用“SAS”证明，可得，再利用三角形的内角和及等量代换可得。
23．（2022八上·海港期末）复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
【答案】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，根据题意列出方程，再求解即可。
24．（2022八上·海港期末）如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处．
（1）请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）将图形补充完整， ▲ ．
【答案】（1）解：如图，点E、点F即为所求．
（2）如图，
；5
【知识点】勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】(2)∵长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处，
∴，
∵在长方形中，，
∴
∴
∴设，则
∵
∴，即
∴解得
∴．
【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可。
25．（2022八上·海港期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于成轴对称的；
（2）在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为 ▲ ．
（3）若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有 个．
（4）若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系： ▲ ．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P．
；
（3）2
（4）解：如图所示，
；
与关于所在直线成轴对称，
与关于的中垂线成轴对称，
与关于的中点成中心对称．
【知识点】等腰三角形的判定；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（2）∵周长，
∴周长的最小值为；
（3）如图所示，
∴使是等腰三角形的点有2个；
【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P；
（3）根据等腰三角形的判定方法求解即可；
（4）根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。
