2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的最值
一、综合题
1．已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）
（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；
（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．
2．如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．
3．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：
（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；
（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上.
（1）n=3m-9（用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，求m的值.
5．在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，抛物线 的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若满足不等式 的x的最大值为3，直接写出实数a的值．
6．如图，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， OB=OC .点 在函数图象上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点.
（1）求 、 的值；
（2）如图①，连接 BE ，线段 OC 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 BE 上，求点 的坐标；
（3）如图②，动点 在线段 OB 上，过点 作 轴的垂线分别与 BC 交于点 ，与抛物线交于点 .试问：抛物线上是否存在点 ，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由.
7．如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
8．已知二次函数 （m是常数，且 ）.
（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）若A (n 3, n2+2) 、B ( n+1, n2+2) 是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n的值；
（3）若当0≤x≤1时，函数有最小值为1，求m的值
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B(0，3)．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作 PQ⊥x 轴于点Q，交 AB于点 M，求 的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 P' 与点P关于抛物线 的对称轴对称．将抛物线 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点 C 在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点 A、P'、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点 D 的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
10．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
11．已知二次函数 ．
（1）当 时，若点 在此二次函数的图象上，求b的值；
（2）若 ，求此二次函数的最大值；
（3）若点 恰好同时落在此二次函数的图象上，求a的值，并直接写出当函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；
（4） 的三个顶点的坐标分别为 ，设 的最长边与此二次函数的图象交于点F，过点F作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为G，过点F作x轴的垂线交x轴于点H，若FG=FH，直接写出a的值．
12．如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作，使点落在线段上.
（1）求线段的长度；
（2）求面积的最大值；
（3）当与相似时，求的值.
13．已知抛物线y=x2﹣2bx+c
（1）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），求b，c的值；
（2）若b+c=0，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由；
（3）若c=b+2且抛物线在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．
14．已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC；
（1）求抛物线解析式；
（2）当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离；
（3）是否存在D点某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.
15．已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b时，求二次函数与x轴的交点坐标；
（2）若a＞0，二次函数的对称轴为直线x＝2，求该函数的最小值（用字母a表示）；
（3）若该抛物线与直线y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，都有y1＜y2，求证：b＜2a．
16．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：甲发现当x＝0时，y＝5，则c＝5；乙发现函数的最大值为9，即c+ ＝9；
丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2，则﹣ ＝4，即b＝4；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根，则c+4b＝16，
假设甲和丙正确，即c＝5，b＝4，则即c+ ＝9，故乙正确，而丁错误，
故错误的是丁，函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）解：y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），
y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则x＝5或﹣1，故点B（5，0），而点C（0，5），
过点A作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝3，故点H（2，3），
函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，
解得：0＜m＜6；
（3）解：c＝b2，则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b2，函数的对称轴为：x＝ b，
①当 b≥0时，即b≥0，
则x＝0时，y取得最大值，即b2＝5，解得：b＝ （舍去负值）；
②当﹣2＜ b＜0时，即﹣4＜b＜0，
当x＝ b时，y取得最大值，即﹣（ b）2+ b2+b2＝5，解得：b＝±2（舍去2）；
③当b≤﹣4时，
同理可得：b＝1﹣ （舍去）；
综上，b＝ 或﹣2．
2．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+8．
∵经过点A（8，0），
∴64a+8=0，解得a=﹣ ．
抛物线的解析式为：y=﹣ x2+8
（2）解：PD与PF的差是定值．
理由如下：设P（a，﹣ a2+8），则F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD= = = a2+2，PF=8﹣（ ）= ．
∴PD﹣PF=2．
（3）解：①当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，
∵将x=4代入y=﹣ x2+8，得y=6，∴P（4，6），此时△PDE的周长最小．
②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．
设P（a，﹣ a2+8）
∴PH=﹣ a2+8，EH=a﹣4，OH=a
S△DPE=S梯形PHOD﹣S△PHE﹣S△DOE= a（﹣ a2+8+6）﹣ （ +8）（a﹣4）﹣ ×4×6=﹣ a2+3a+4=﹣ （a﹣6）2+13．
∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），
∴0≤a≤8，∴当a=6时，S△DPE取最大值为13．当a=0时，S△DPE取最小值为4．即4≤S△DPE≤13，其中，当S△DPE=12时，有两个点P．
∴共有11个令S△DPE为整数的点．
3．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，
∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，
∴S△ADQ= AD AQ= ×4x=2x，S△BPQ= BQ BP= （3﹣x）x= x﹣ x2，S△PCD= PC CD= （4﹣x） 3=6﹣ x，
又S矩形ABCD=AB BC=3×4=12，
∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（ x﹣ x2）﹣（6﹣ x）= x2﹣2x+6= （x﹣2）2+4，
即S= （x﹣2）2+4，
∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，
∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，
又当x=0时，S=5，当S=3时，S= ，但x的范围内取不到x=0，
∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4
（2）解：存在，理由如下：
由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，
当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，
∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，
∴△BPQ∽△PCD，
∴ ，即 ，解得x= （舍去）或x= ，
∴当x= 时QP⊥DP
4．【答案】（1）解：∵点A坐标（-3，0）代入抛物线y=x2+mx+n，得9-3m+n=0，
∴n=3m-9.
故答案为3m-9.
（2）解：∵抛物线为y=x2+mx+3m-9= ，
∴顶点为（ ），
∴ ，
整理得m2-10m+24=0，
∴m=4或6.
∴m=4，n=3和m=6，n=9.
（3）解：①∵-3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为-4，y=x2+mx+3m-9= +3m-9，
Ⅰ.当 ≤-3时，x=-3时，y=-4，
∴9-3m+3m-9=-4，
无解不合题意.
Ⅱ.当-3＜ ≤0时，x=时，y=-4，
∴- +3m-9=-4，
∴m=2或-10（舍弃）
∴m=2.
Ⅲ.当 ＞0时，x=O时，y=-4，
∴3m-9=-4，
∴m= 不合题意舍弃.
综上所述m=2.
5．【答案】（1）解：依据题意，将得点B的坐标 代入抛物线得：
，
解得 ．
此时， ．
所以顶点C的坐标为 ．
（2）解：当抛物线过 时， ，此时， ．
当抛物线过 时， ，此时， ．
结合下面图象可知，a的取值范围是 ．
（3）解：抛物线 的对称轴为 ，抛物线开口向上，当 时， 越来越大，则 的x的最大值为3，可知，当 时，不等式有最大值且最大值为0，则 ，代入得 ，解得 ．
则实数 的值为8．
6．【答案】（1）解：∵CD⊥x轴，CD=2，
∴抛物线对称轴为直线l：x=1，
∴ =1，则b=-2。
∵OB=OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（-c，0），
∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），
∴c=-3
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4）
设点F的坐标为（0，m），
∵对称轴为直线l：x=1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6，
∵点F在BE上，
∴m=2×2-6=-2，
即点F的坐标为（0，-2）
（3）解：存在点Q满足题意。设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3，
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN=S△APM ，
∴ （n+1）(3-n)= （-n2+2n+3）QR，
∴QR=1。
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，n2-4n），R点的坐标为（n，n2-4n），N点的坐标为（n，n2-2n-3），
∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2，
∴n= 时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（ ， ）
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2-4）.
同理NQ2=1+（2n-1）2，
∴n= 时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（ ， ）.
综上所述，满足题意的点Q的坐标为（ ， ）和( ， )
7．【答案】（1）解：把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得， ，
∴
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣2
（2）解：设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m= 时，PM+PN的最大值是
（3）解：能，
理由：∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E，
∴E（0，﹣ ），
∴CE= ，
设P（m， m2﹣ m﹣2），
∵以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣ m﹣ ），
∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ，
∴m=1，m=0（舍去），
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣ ），
设P（m， m2﹣ m﹣2），则F（﹣m， m﹣ ），
∴ ×（ m2﹣ m﹣2+ m﹣ ）=﹣ ，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，
综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形．
8．【答案】（1） 证明：b2-4ac=[-（2m-1）]2-4×1×（m2-m）
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0
∴ 不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点。
（2）解： ∵ A 、B 是该二次函数图象上的两个不同点
∴对称轴为直线x==
解之：m=-0.5
∴二次函数解析式为：
y=x2-[2×（-0.5）-1]x+（-0.5）2-（-0.5）
y=x2+2x+
∵ A 、二次函数图象上的点
∴n2+2=（n-3）2+2（n-3）+
解之：n=
（3）解： ∵
∴对称轴为直线x=
∵ 0≤x≤1 ， 函数有最小值为1
①当≤0时，m2-m=1
解之：m1=（舍去），m2=
②当0＜＜1时，舍去
③当≥1时，1-（2m-1）+m2-m=0
整理得：m2-3m+1=0
解之：m1=，m2=（舍去）
∴m=或
9．【答案】（1）解： ∵抛物线y=-x2+x+3与x轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B(0，3），
∴c=3，0=-12+4b+3，
∴b=，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3；
（2）解： ∵OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∵PQ⊥x轴，
∴PQ∥BO，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM=3：4：5，
∴AM=MQ，
∴AM=2MQ，
∴PM+AM=PM+2MQ，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(4，0)，与 y 轴交于点 B(0，3），
∴yAB=-x+3，
设点P（m，-m2+m+3，），M（m，-m+3），0＜m＜4，
∴PM=-m2+m+3-（-m+3）=-m2+3m，MQ=-m+3，
∴PM+2MQ=-m2+3m+2（-m+3）=-m2+m+6=-(m-1)2+，
∵-＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m=1时，PM+2MQ的值最大，最大为，即PM+AM最大，最大值为，
∴P（1，-×12+×1+3），
∴P（1，）；
（3）解： ∵y=-x2+x+3，点P（1，），
∴点P'（2，），
∵ 将抛物线 y=-x2+x+3向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A（4，0），
∴新抛物线的对称轴为x=4，
∴平移单位=4-=，
∴新抛物线的解析式为y=-x2+6x-，
设D（4，d），C（c，-c2+6c-），
①以DC和AP'为平行四边形的对角线，
∴4+2=4+c，0+=d-c2+6c-，
∴c=2，d=，
∴D（4，）；
②以AC和P'D为平行四边形的对角线，
∴4+c=2+4，0-c2+6c-=+d，
∴c=2，d=-；
∴D（4，-）；
③以AD和P'C为平行四边形的对角线，
∴4+4=2+c，0+d=-c2+6c-，
∴c=6，d=，
∴D（4，），
综上所述，D的坐标为（4，）或（4，-）或（4，）.
10．【答案】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)，
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别y=-x2+bx+c，
得，
解得.
（2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴
∴
整理，得n= m2+m，
即n= (m- )2+
∴当m= 时，n的值最大，最大值是
11．【答案】（1）解：当 时，
把 代入，得 ；
（2）解：
∴当 时，y有最大值3；
（3）解：∵点 恰好同时落在此二次函数的图象上，
，
，
把 代入 ，得
即
∴ ，
此时抛物线对称轴是 ，
而抛物线开口向下，
当函数值y随x的增大而增大x的取值范围是 ；
（4）解：如图：
，
的最长边为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 解析式为 ，
由 得 (此时为C，舍去)
或 ，
，
，
在 中，令
得 ，
，
，
，
或 ，
解得： 或 ．
12．【答案】（1）解：x2-14x+48=0，
∴（x-6）（x-8）=0
解之：x1=6，x2=8
∴BC=8，CD=6，
∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，
∴.
（2）解：过点P作PE⊥AD于点E，
∴∠DEP=∠DAB=90°，
∴PE∥AB，
∴△DEP∽△DAB，
∴即
由题意得AB=CD=6，DQ=BP=t，则PD=10-t，
∴
解之：，
∴，
∵a＜0，抛物线的开口向下，
当t=5秒时，面积的最大值为7.5
（3）解：如图，
∵∠QMD=∠QMP=∠C=90°，
AD∥BC，
∴∠DBC=∠QDM，
∴△DQM∽△BDC，
∴即
解之：，
∵△PQM∽△BCD，
∴或，
∴或，
当点M在线段PD上时，，
∴即
解之：；
如图，
解之：；
当点M在PB上时，
即
解之：；
如图，，
解之：t=10.
∴t的值为 或 或 或10
13．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2﹣2bx+c
∴a=1，
∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），
∴y=（x﹣2）2﹣3，
∵y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，
∴b=2，c=1；
（2）解：由y=1得 x2﹣2bx+c=1，
∴x2﹣2bx+c﹣1=0
∵△=4b2+4b+4=（2b+1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y=1；
（3）解：由c=b+2，则抛物线可化为y=x2﹣2bx+b+2，其对称轴为x=b，
①当x=b≤﹣2时，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3=（﹣2）2﹣2×（﹣2）b+b+2，解得b=﹣ ，不合题意；
②当x=b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时
﹣3=22﹣2×2b+b+2，解得b=3，
③当﹣2＜b＜2时，则 =﹣3，化简得：b2﹣b﹣5=0，解得：
b1= （不合题意，舍去），b2= ．
综上：b=3或 ．
14．【答案】（1）解：令y＝﹣x＋3＝0，
则x＝3
∴B（3，0）
令y＝﹣x＋3中x＝0，
则y＝3
∴C（0，3）
把（3，0）、（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得：
解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3.
（2）解：如图1，设直线y＝﹣x＋3为l1，过点D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于点E，则D到线段BC的距离为FD的长.
∵B（3，0），C（0，3）
∴OB＝OC＝3
∴∠BCO＝∠CBO＝45°
∵DH⊥AB
∴∠BEH＝∠CBO ＝45°
∴∠DEF＝∠BEH＝45°
∵DF⊥BC
∴∠FDE＝∠DEF＝45°
∴DF＝EF
∴DE＝DF
∴当DE有最大值时，DF有最大值
设点D（m，﹣m2＋2m＋3）
则点E（m，﹣m＋3）
∴DE＝﹣m2＋2m＋3－（－m＋3）＝﹣m2＋3m＝﹣（m－）2＋
∴当m＝时，DE的最大值为
∴DF的最大值为÷＝.
（3）解：当点D在直线BC的下方时，如图2，过点A作AN⊥BC于N，设BD交OC于点P
∵OB＝OC＝3
∴BC＝3
∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3经过A、B两点
令y＝﹣x2＋2x＋3＝0
则x＝﹣1或3
∴点A（﹣1，0）
∴AO＝1，AB＝4
∴AC＝
∵S△ACB＝×AB×CO＝×BC×AN
∴4×3＝3×AN
∴AN＝2
∴CN＝
∵∠DBC＝∠ACO
∴∠DBC＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO
∴∠BPO＝∠ACB
∴tan∠ACB＝tan∠OPB＝
∴
∴OP＝
∴点P（0，）
设PB所在直线的一次函数为y＝k x＋b
将（0，），（3，0）代入，得
解得：
则直线PB解析式为：y＝﹣x＋
联立方程组可得：
解得：或
∴点D（﹣，）
当点D在直线BC的上方时，如图3，过点A作AN⊥BC于N，过点D作DQ⊥AB于Q
设点D（n，﹣n2＋2n＋3）
∴DQ＝﹣n2＋2n＋3，OQ＝n
∴BQ＝3﹣n
∵∠DBC＝∠ACO
∴∠ACN＝∠DBQ
∴tan∠ACN＝tan∠DBQ＝
∴
∴n＝3（不合题意）或n＝1
∴点D（1，4）
综上所述：点D坐标为：（﹣，）或（1，4）.
15．【答案】（1）解：若a＝b，则y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2+ax，
令ax2+ax＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
∴二次函数图象与x轴交点坐标坐标为（﹣1，0），（0，0）．
（2）解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+bx+b﹣a＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣9a），
∴函数最小值为﹣9a．
（3）证明：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴一次函数y＝ax+a中y随x增大而增大，
∴a＞0，抛物线开口向上，
把x＝0代入y＝ax+a得y＝a，
∴直线与y轴交点坐标为（0，a），
把x＝0代入y＝ax2+bx+b﹣a得y＝b﹣a，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，b﹣a），
∵抛物线与直线交点在y轴两侧，
∴点（0，b﹣a）在点（0，a）下方，
∴b﹣a＜a，
解得b＜2a．
16．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0），
∴1+m+2m﹣7=0，解得m=2．
∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3
（2）解：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y随x增大而减小；
当﹣1≤x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x=﹣1，y最小=﹣4．
当x=﹣4时，y=5．
∴﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5
（3）解：y=x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0），（1，0）．
新图象M如右图红色部分．
把抛物线y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），
当直线y=x+b经过（﹣3，0）时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，此时b=3；
当直线y=x+b与抛物线y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，
即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的实数解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b= ．
结合图象可得，直线y=x+b与图象M有三个公共点，b的取值范围是3＜b＜ ．
