七年级 数学《平行线的性质与判定》“一卷强化”训练卷

七年级 数学《平行线的性质与判定》“一卷强化”训练卷
1．（2022春 荣县校级月考）如图，∠D＝∠A，∠B＝∠ECF，求证：ED∥CF．（要求每一步批注理由）
2．（2022春 新城区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在线段BC、AB、AC上，且∠A＝∠EDF，∠C＝∠BDE．请说明AB∥DF的理由．
3．（2022春 新田县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠3，试说明DE∥BC．
4．（2023 二七区校级开学）如图，AE∥CD，∠1＝37°，∠D＝54°，求∠2和∠BAE的度数．
5．（2022秋 驿城区校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
6．（2022春 拜泉县校级月考）已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
7．（2022春 亭湖区校级月考）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？试说明理由．
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．
8．（2022春 宿豫区期中）如图，AD既是△ABC的高也是它的角平分线，点G在线段BD上，过点G作EG⊥BC，交CA的延长线于点E，∠E与∠AFE相等吗？为什么？
9．（2022春 岳麓区校级期末）如图，已知∠1＝∠C，∠2＝∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
10．（2022春 岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝　 　°；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝　 　；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
11．（2022春 山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
12．（2022 江夏区模拟）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE＝150°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若∠F＝40°，求∠E的度数．
13．（2022春 长葛市期末）已知：如图，直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，若∠1＝40°，求∠2的度数．
14．（2022春 岳阳期末）如图，已知点C在线段EF上，射线CD交直线AB于点O，OF平分∠BOC．
（1）若∠1＝35°，求∠AOD的度数．
（2）若∠1＝∠3，且∠CEO＝∠COE，求证：OE⊥OF．
15．（2022秋 内江期末）如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，AC分别与BD、CE交于点B、C，DF分别与BD、CE交于点D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度数．
16．（2022秋 莲池区期末）如图所示，MN、EF分别表示两个互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时∠3＝∠4．试判断AB与CD的位置关系，你是如何思考的？
17．（2022秋 竞秀区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，
求证：
（1）EF∥AB．
（2）∠ACB＝∠DEB．
18．（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图，AB∥CD，连结CA并延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．
（1）求证AG∥CE；
（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度数．
19．（2022秋 达川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，过点D作DF∥BE交AC于点F．
（1）求证：DF是∠ADE的平分线；
（2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度数．
20．（2022秋 东港市期末）如图，AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∠1＝∠2．
（1）求证：∠BAF与∠AFD互补；
（2）若AD平分∠BAF，∠C＝40°，求∠COD的度数．
21．（2022秋 伊川县期末）如图：
（1）若AB∥EF，猜想图①中，∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明；
（2）若AB∥EF，如图②，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：　 　．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝　 　°．
22．（2022秋 郫都区校级期末）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1＝∠2，∠3＝∠C．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠4＝180°，求证：∠BFC+∠C＝180°；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，求∠B的度数．
23．（2022秋 沙坪坝区期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
24．（2022秋 南关区校级期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点E在射线OC上，ED⊥OA，垂足为点D，DF平分∠ODE，交射线OC于点F，动点P从点O出发沿射线OC运动，连结DP．
（1）当PD平分∠ODF时，∠PDE＝　 　°．
（2）当DP∥OB时，求∠PDE的度数．
（3）当DP⊥FD时，∠ADP＝　 　°．
（4）当∠PDF＝∠EDF时，直接写出此时∠PDE的度数．
25．（2022秋 城关区校级期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小．
26．（2022秋 九江期末）已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．
（1）如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E＝40°时，求∠F的度数．
27．（2023 沙坪坝区校级开学）如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB的直角顶点放在O处，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且∠AOC＝40°．
（1）若射线OC的位置保持不变，则当旋转时间t＝　 　秒时，边AB所在直线与OC平行；
（2）如图②，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）在三角板AOB旋转过程的同时，射线OC绕着点O按每秒4°的速度逆时针旋转，当∠BOE﹣∠AOC＝30°时，求出t的取值．
28．（2022秋 朝阳区校级期末）如图，AB∥CD，点P为平面内一点．
（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝　 　°；
（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）
（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝　 　°．
29．（2022秋 望花区校级期末）已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝72°，直接写出∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．
30．（2022秋 临汾期末）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点C，D，点A在直线l1上，且在点C的左侧，点B在直线l2上，且在点D的左侧，点P是直线l3上的一个动点（点P不与点C，D重合）．当点P在点C，D之间运动时，试猜想∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由．
独立思考：
（1）请解答老师提出的问题．实践探究：
勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点P在C，D两点的外侧运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系又是如何？
（2）如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系．
参考答案
1．（2022春 荣县校级月考）如图，∠D＝∠A，∠B＝∠ECF，求证：ED∥CF．（要求每一步批注理由）
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】证明：∵∠D＝∠A（已知），
∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝∠ECF（已知），
∴∠E＝∠ECF（等量代换），
∴ED∥CF（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
2．（2022春 新城区校级期末）如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在线段BC、AB、AC上，且∠A＝∠EDF，∠C＝∠BDE．请说明AB∥DF的理由．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵∠C＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴∠A＝∠BED，
∵∠A＝∠EDF，
∴∠BED＝∠EDF，
∴AB∥DF．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
3．（2022春 新田县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠3，试说明DE∥BC．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2（已知），
∴BD∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∴∠B＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
4．（2023 二七区校级开学）如图，AE∥CD，∠1＝37°，∠D＝54°，求∠2和∠BAE的度数．
【分析】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；依此可求∠2和∠BAE的度数．
【详解】解：∵AE∥CD，∠1＝37°，∠D＝54°，
∴∠2＝∠1＝37°，∠BAE＝∠D＝54°．
【点睛】此题主要考查学生对平行线的性质，关键是熟悉平行线性质定理：
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
5．（2022秋 驿城区校级期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度数．
【分析】（1）由平行线的性质、等量代换推知内错角∠2＝∠BCF，则易证得结论；
（2）在△AFG中，由三角形内角和是180度求得∠AFG＝50°；然后根据（1）中的FG∥BC推知同位角∠B＝∠AFG＝50°；由CF⊥AB，DE∥FC得ED⊥AB，再结合∠1＝∠即可求出∠2＝40°．
【详解】解：（1）证明：∵DE∥FC，
∴∠1＝∠BCF．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCF，
∴FG∥BC；
（2）∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，
∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．
又由（1）知，FG∥BC，
∴∠B＝∠AFG＝50°，
∵CF⊥AB，DE∥FC，
∴ED⊥AB，
∴∠1＝90°﹣∠B＝40°
∴∠2＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
6．（2022春 拜泉县校级月考）已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
【详解】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
7．（2022春 亭湖区校级月考）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？试说明理由．
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠2，即可得出答案．
【详解】（1）解：AD与EC平行，理由如下：
∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝82°，
∴∠BDC＝82°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC＝∠BDC＝41°（角平分线定义），
∴∠2＝∠ADC＝41°（已证），
又∵DA⊥FA，
∴∠FAD＝90°（垂直定义），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣41°＝49°．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠AEC＝∠FAD＝90°是解题关键．
8．（2022春 宿豫区期中）如图，AD既是△ABC的高也是它的角平分线，点G在线段BD上，过点G作EG⊥BC，交CA的延长线于点E，∠E与∠AFE相等吗？为什么？
【分析】根据AD既是△ABC的高也是它的角平分线可知AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，已知EG⊥BC，则AD∥EG，根据平行线的性质可知∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠AFE，等量代换可证得∠E＝∠AFE．
【详解】解：∠E＝∠AFE，
理由如下：
∵AD既是△ABC的高也是它的角平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵EG⊥BC，
∴AD∥EG，
∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
9．（2022春 岳麓区校级期末）如图，已知∠1＝∠C，∠2＝∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
【分析】根据∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．
【详解】解：BD与AC互相垂直．
∵∠1＝∠C，
∴ED∥BC，
∴∠2＝∠DBC，
∵∠2＝∠3，
∴∠DBC＝∠3，
∴BD∥FG，
∵FG⊥AC，
∴BD⊥AC．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质及判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
10．（2022春 岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝　65　°；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝　α+β　；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过M点作MN∥AB即可．得到∠BMD＝∠B+∠D．
（2）运用（1）的结论．
（3）运用（1）的结论．
【详解】解：（1）如图，过M点作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BMN＝∠B，∠DMN＝∠D，
∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°，
故答案为：65．
（2）同理，∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BMD＝∠B+∠D＝α+β，
故答案为：α+β．
（3）同理，∠BMD＝∠B+∠D．
【点睛】本题考查平行线的性质，合理利用两直线平行，内错角相等是关键．
11．（2022春 山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）根据AC∥EF，证得∠1+∠FAC＝180°，已知∠1+∠2＝180°，等量代换∠2＝∠FAC，从而证得FA∥CD，得出∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，得出∠FAD＝2∠2，根据已知求出∠2的度数，根据EF⊥BE，AC∥EF，证得AC⊥BE，得出∠ACB＝90°，进一步求出∠BCD的度数．
【详解】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠FAC，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠2＝∠FAC，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．（2022 江夏区模拟）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE＝150°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若∠F＝40°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质推出∠DCE+∠ADC＝180°，根据∠DCE＝150°，求出∠ADC，再根据平行线的性质证得∠BAD＝∠ADC，求出∠BAD即可；
（2）根据外角的性质求出∠ABF度数，再根据内角和定理求出∠FAB的度数，再进一步求出∠FAD，再利用平行线的性质求出∠E即可．
【详解】解：（1）∵CE∥AD，
∴∠DCE+∠ADC＝180°，
∵∠DCE＝150°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC＝30°；
（2）∵AD平分∠BDC，
∴∠BDA＝∠ADC＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD+∠BDA＝60°，
∵∠F＝40°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝80°+30°＝110°，
∵AD∥EC，
∴∠FAD＝∠E＝110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
13．（2022春 长葛市期末）已知：如图，直线l1∥l2，∠ABC＝∠C，若∠1＝40°，求∠2的度数．
【分析】根据平行线的性质，由l1∥l2，∠1＝40°得出∠1＝∠3＝40°，再由∠ABC＝∠C，得出AE∥CD，由平行线性质知∠2+∠3＝180°，进而求得∠2＝140°．
【详解】解：∵∠ABC＝∠C，
∴AE∥CD，
∴∠2+∠3＝180°．
又∵l1∥l2，∠1＝40°，
∴∠1＝∠3＝40°，
∴∠2＝180°﹣40°＝140°．
【点睛】本题考查了平行线性质定理和判定定理：即两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行．
14．（2022春 岳阳期末）如图，已知点C在线段EF上，射线CD交直线AB于点O，OF平分∠BOC．
（1）若∠1＝35°，求∠AOD的度数．
（2）若∠1＝∠3，且∠CEO＝∠COE，求证：OE⊥OF．
【分析】（1）根据角平分线的定义可知∠1＝∠2，求出∠BOC的度数即可根据对顶角相等求出∠AOD；
（2）∠1＝∠2，∠1＝∠3，等量代换得∠2＝∠3，从而得出EF∥AB，根据平行线的性质得∠AOE＝∠CEO，根据∠CEO＝∠COE得∠AOE＝∠COE，即可证得OE⊥OF．
【详解】（1）解：∵OF平分∠BOC，∠1＝35°，
∴∠1＝∠2＝35°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠AOD＝70°；
（2）证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴EF∥AB，
∴∠AOE＝∠CEO，
∵∠CEO＝∠COE，
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOE+∠COE+∠1+∠2＝180°，
∴∠COE+∠1＝90°，
∴OE⊥OF．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
15．（2022秋 内江期末）如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，AC分别与BD、CE交于点B、C，DF分别与BD、CE交于点D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度数．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠1＝∠AHC＝55°，
∴∠2＝180°﹣∠AHC＝125°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
16．（2022秋 莲池区期末）如图所示，MN、EF分别表示两个互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经过镜面EF反射后的光线为CD，此时∠3＝∠4．试判断AB与CD的位置关系，你是如何思考的？
【分析】要证明AB∥CD，即要证明∠ABC＝∠BCD，即要证明∠1+∠2＝∠3+∠4，由已知条件不难证明∠1+∠2＝∠3+∠4．
【详解】AB∥CD，要证明AB∥CD，即要证明∠ABC＝∠BCD，即要证明∠1+∠2＝∠3+∠4，由已知条件不难证明∠1+∠2＝∠3+∠4．
解：AB∥CD，理由如下：
∵MN∥EF，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠1+∠ABC+∠2＝180°，∠3+∠BCD+∠4＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD．
【点睛】本题关键在于利用已知条件证明内错角相等，从而证明两直线平行．
17．（2022秋 竞秀区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，
求证：
（1）EF∥AB．
（2）∠ACB＝∠DEB．
【分析】（1）利用邻补角定义得到∠2+∠BDC＝180°，再由∠1+∠2＝180°，利用同角的补角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EF∥AB，
（2）利用两直线平行内错角相等得到∠DEF＝∠A，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到DE∥AC，利用两直线平行同位角相等即可得证．
【详解】（1）证明：∵∠2+∠BDC＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠BDC，
∴EF∥AB；
（2）证明：∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠BDE，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEB．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
18．（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图，AB∥CD，连结CA并延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．
（1）求证AG∥CE；
（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFC＝∠DCF，根据角平分线的定义可得∠ACF＝∠DCF，进而得出∠AFC＝∠ACF，再根据余角的性质可得∠ECH＝∠GAH，从而得出AG∥CE；
（2）根据平行线的性质可得∠ECD＝∠GAF，根据角的和差关系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴∠AFC＝∠ACF，
又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，
∴∠ECH＝∠GAH，
∴AG∥CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠GAF＝120°，
又∵CE⊥CF，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，
∴∠AFC＝∠DCF＝30°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定定理．
19．（2022秋 达川区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，过点D作DF∥BE交AC于点F．
（1）求证：DF是∠ADE的平分线；
（2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再利用平行线的性质可得∠DEB＝∠CBE，从而可得∠DEB＝∠ABE，然后再利用平行线的性质可得∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，从而利用等量代换可得∠ADF＝∠EDF，即可解答；
（2）利用平行线的性质可得∠AED＝∠ACB＝81°，然后利用平行线的性质可得∠EDF＝∠BED＝28°，再利用三角形的外角性质可得∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝109°，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE，
∵DF∥BE，
∴∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，
∴∠ADF＝∠EDF，
∴DF是∠ADE的平分线；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝81°，
∵DF∥BE，
∴∠EDF＝∠BED＝28°，
∵∠AFD是△DFE的一个外角，
∴∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝28°+81°＝109°，
∴∠AFD的度数为109°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义，以及平行线的性质是解题的关键．
20．（2022秋 东港市期末）如图，AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，∠1＝∠2．
（1）求证：∠BAF与∠AFD互补；
（2）若AD平分∠BAF，∠C＝40°，求∠COD的度数．
【分析】（1）由两个垂直条件可得AF∥BD，由平行线的性质及∠1＝∠2，可推出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）在Rt△CEF中，由∠C＝40°，可求得∠1的度数，由AB∥CD及AD平分∠BAF，可求得∠DAF的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠COD的度数．
【详解】（1）证明：∵AF⊥BC于点E，BD⊥BC于点B，
∴∠CEF＝90°，∠CBD＝90°，
∴∠CEF＝∠CBD，
∴AF∥BD，
∴∠1＝∠BDC，
∵∠1＝∠2，
∴∠BDC＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠BAF+∠AFD＝180°，
即∠BAF与∠AFD互补；
（2）解：在Rt△CEF中，∠C＝40°，
∴∠1＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BAF＝50°，
∵AD平分∠BAF，
∴，
∵∠AEO＝∠CEF＝90°，
∴∠COD＝∠AEO+∠DAF＝90°+25°＝115°．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，能够熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．
21．（2022秋 伊川县期末）如图：
（1）若AB∥EF，猜想图①中，∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明；
（2）若AB∥EF，如图②，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：　∠B+∠BDF+∠F＝360°　．
（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝　120　°．
【分析】（1）过点D作CD∥AB；通过平行线的性质倒角即可；
（2）过点D作CD∥AB；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；
（3）由（2）中的结论计算即可．
【详解】解：（1）∠BDF＝∠B+∠F；理由如下：
如图，过点D作CD∥AB；
∴∠B＝∠BDC，
∵AB∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠CDF＝∠F，
∵∠BDF＝∠BDC+∠CDF，
∴∠BDF＝∠B+∠F；
（2）∠B+∠BDF+∠F＝360°；理由如下：
如图，过点D作CD∥AB；
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B+∠BDC＝180°，∠CDF+∠F＝180°，
∴∠B+∠BDF+∠F＝∠B+∠BDC+∠CDF+∠F＝360°，
故答案为：∠B+∠BDF+∠F＝360°；
（3）解：由（2）可知：∠BCD+∠ABC+∠BAE＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC＝360°﹣∠BAE﹣∠BCD＝120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．
22．（2022秋 郫都区校级期末）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1＝∠2，∠3＝∠C．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠4＝180°，求证：∠BFC+∠C＝180°；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，求∠B的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠1＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出∠3+∠4＝180°，证得BF∥EC，即可得解；
（3）根据平行线的性质和已知得出∠BFC＝130°，最后根据平行线的性质即可求得∠B＝50°．
【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠2+∠4＝180°，∠2＝∠3，
∴∠3+∠4＝180°，
∴BF∥EC，
∴∠BFC+∠C＝180°；
（3）解：∵∠BFC+∠C＝180°，
∵∠BFC﹣30°＝2∠1＝2∠C，
∴∠BFC＝2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C＝180°，
∴∠C＝50°，
∴∠BFC＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFC＝180°，
∴∠B＝50°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
23．（2022秋 沙坪坝区期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
【分析】（1）由题意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形内角和求出∠BGO＝∠DCO＝90°即可得结论；
（2）再由角平分线的定义可得∠DHF＝∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥DF．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠ADC＝∠NBC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵BE平分∠ABC的邻补角，
∴∠OBE＝∠NBE，
∴∠OBE＝CDO，
∵∠DOC＝∠BOE，
∴∠DCO＝∠OGB，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
∴DF⊥BE；
（2）过点D作DH平分∠ADC交BE于点H，
由（1）可知，DH⊥BE，
∵DF平分∠MDC，
∴∠MDF＝∠CDF，
∵BH平分∠ADC，
∴∠DHF＝∠ADM＝90°，
∴DH⊥BE，
∵DH⊥DF，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，四边形的内角和定理是解题的关键．
24．（2022秋 南关区校级期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点E在射线OC上，ED⊥OA，垂足为点D，DF平分∠ODE，交射线OC于点F，动点P从点O出发沿射线OC运动，连结DP．
（1）当PD平分∠ODF时，∠PDE＝　67.5　°．
（2）当DP∥OB时，求∠PDE的度数．
（3）当DP⊥FD时，∠ADP＝　45　°．
（4）当∠PDF＝∠EDF时，直接写出此时∠PDE的度数．
【分析】（1）根据题意可得∠ODE＝90°，根据角平分线的性质可得∠ODF＝∠EDF＝45°，∠PDF＝22.5°，以此即可得到∠PDE＝∠PDF+∠EDF＝67.5°．
（2）根据平行线的性质可得∠AOB+∠ODP＝180°，由∠AOB＝40°得∠ODP＝140°，根据∠PDE＝∠ODP﹣∠ODE即可求解．
（3）根据题意得∠PDF＝90°，则∠ADP＝180°﹣∠ODF﹣∠PDF，以此即可求解．
（4）由∠PDF＝∠EDF得∠PDF＝30°，再分两种情况：①当∠PDF在∠EDF内部时，∠PDE＝∠PDF+∠EDF；②当∠PDF在∠EDF内部时，∠PDE＝∠EDF﹣∠PDF°；以此即可解答．
【详解】解：（1）∵ED⊥OA，
∴∠ODE＝90°，
∵DF平分∠ODE，
∴∠ODF＝∠EDF＝，
∵PD平分∠ODF，
∴∠PDF＝∠，
∴∠PDE＝∠PDF+∠EDF＝67.5°．
故答案为：67.5．
（2）如图，DP∥OB，
∵DP∥OB，
∴∠AOB+∠ODP＝180°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠ODP＝140°，
∴∠PDE＝∠ODP﹣∠ODE＝50°．
（3）如图，DP⊥FD，
∵DP⊥FD，
∴∠PDF＝90°，
∴∠ADP＝180°﹣∠ODF﹣∠PDF＝45°．
故答案为：45．
（4）∵∠PDF＝∠EDF，
∴∠PDF＝30°，
①当∠PDF在∠ODF内部时，如图，
此时，∠PDE＝∠PDF+∠EDF＝75°；
②当∠PDF在∠EDF内部时，如图，
此时，∠PDE＝∠EDF﹣∠PDF＝15°；
综上，当∠PDF＝∠EDF时，∠PDE的度数为75°或15°．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用数形结合思想是解题关键．
25．（2022秋 城关区校级期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小．
【分析】（1）如图1，延长AC交EG于M．由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°，故∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°，得∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°，故∠1+∠CGN＝90°．因为∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，所以∠QFC＝∠DFC＝（180°﹣∠1）＝90°﹣∠1，∠GQC＝90°﹣∠CGN，那么，∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝135°．
【详解】解：（1）如图1，延长AC交EG于M．
∠β+∠α＝90°，理由如下：
由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．
∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．
∵∠EGB和∠CGM是对顶角，
∴∠β＝∠CGM．
∴∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．
由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．
∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．
∴∠1+∠CGN＝90°．
∵QF平分∠DFC，
∴∠QFC＝∠DFC＝（180°﹣∠1）＝90°﹣∠1，∠GQC＝90°﹣∠CGN
同理可得：∠GQC＝90°﹣∠CGN，
∵四边形QFCG的内角和等于360°．
∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°﹣∠1）﹣（90°﹣∠CGN）﹣90°．
∴∠FQG＝135°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°是解题的关键．
26．（2022秋 九江期末）已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．
（1）如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E＝40°时，求∠F的度数．
【分析】（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE＝∠PEM，EM∥CD，进而得出∠DQE＝∠QEM，即可得出结论；
（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，根据角平分线的定义得出，即可得出结论；
（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE＝220°﹣∠BPE，同（1），即可求解．
【详解】解：（1）∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，
理由如下：
如图所示，过点E作EM∥AB，
∴∠BPE＝∠PEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠DQE＝∠QEM，
∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝∠BPE+∠DQE，
即∠PEQ＝∠BPE+∠DQE；
（2），
理由如下：
∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，
∴，
由（1）可知∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，
同理可得∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，
∴，
即；
（3）如图，过点E作EN∥AB，
∴∠PEN＝∠BPE，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，
∴，，
∵，
∵AB∥CD，AB∥EN，
∴CD∥EN，∠PEQ＝40°，
∴∠CQE＝180°﹣∠NEQ＝180°﹣（∠PEN﹣∠PEQ）＝180°﹣∠BPE+40°＝220°﹣∠BPE，
由（1）可得＝＝110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
27．（2023 沙坪坝区校级开学）如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB的直角顶点放在O处，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且∠AOC＝40°．
（1）若射线OC的位置保持不变，则当旋转时间t＝　7或25　秒时，边AB所在直线与OC平行；
（2）如图②，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）在三角板AOB旋转过程的同时，射线OC绕着点O按每秒4°的速度逆时针旋转，当∠BOE﹣∠AOC＝30°时，求出t的取值．
【分析】（1）利用平行线性质即可求得答案；
（2）分三种情况：当OA平分∠COD时，当OC平分∠AOD时，当OD平分∠AOC时，分别求出t的值即可；
（3）根据题意列方程求解即可．
【详解】解：（1）如图，∠AOD＝10°t，∠OAB＝30°，∠COD＝40°，
∵AB∥OC，
∴∠OAB＝∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝30°+40°＝70°，
∴10t＝70，
解得：t＝7；
如图，∠COD+∠COE+∠AOE＝10°t，∠OAB＝30°，∠COD＝40°，∠AOB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD＝∠COB﹣∠COD＝20°，
∵∠BOD＝360°﹣（∠COD+∠COE+∠AOE+∠AOB）＝360°﹣（10°t+90°）＝270°﹣10°t，
∴270°﹣10°t＝20°，
解得：t＝25；
∴当旋转时间t＝7或25秒时，边AB所在直线与OC平行，
故答案为：7或25；
（2）当OA平分∠COD时，如图，∠AOD＝10°t，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠COD＝20°，
∴10t＝20，
解得：t＝2；
当OC平分∠AOD时，如图，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠COD＝80°，即10t＝80，
解得：t＝8；
当OD平分∠AOC时，如图，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝40°，
∴10t＝360﹣40，
解得：t＝32；
综上所述，满足题意的t的取值为2或8或32．
（3）当射线OA在∠COD的内部，且射线OB在∠COE的内部时，
∵10t＝4t+40，
∴0＜t＜，
则∠BOE＝（90﹣10t）°，∠AOC＝（4t+40﹣10t）°，
∵∠BOE﹣∠AOC＝30°，
∴（90﹣10t）﹣（4t+40﹣10t）＝30，
解得：t＝5；
当射线OA和射线OB均在∠COE的内部时，即＜t＜9时，
则∠BOE＝（90﹣10t）°，∠AOC＝（10t﹣4t﹣40）°，
∵∠BOE﹣∠AOC＝30°，
∴（90﹣10t）﹣（10t﹣4t﹣40）＝30，
解得：t＝（不符合题意，舍去）；
当射线OE在∠AOB内部，射线OA均在∠COE的内部时，即9＜t＜18时，
则∠BOE＝（10t﹣90）°，∠AOC＝（10t﹣4t﹣40）°，
∵∠BOE﹣∠AOC＝30°，
∴10t﹣90﹣（10t﹣4t﹣40）＝30，
解得：t＝20（不符合题意，舍去）；
当射线OE、OC均在∠AOB外部时，即18＜t＜36时，
则∠BOE＝（10t﹣90）°，∠AOC＝（10t﹣4t﹣40）°，
∵∠BOE﹣∠AOC＝30°，
∴10t﹣90﹣（10t﹣4t﹣40）＝30，
解得：t＝20；
综上所述，t的取值为5或20．
【点睛】本题考查了旋转变换，角的运算，角平分线定义，平行线的性质，一元一次方程的应用等，解题关键是运用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想解决问题．
28．（2022秋 朝阳区校级期末）如图，AB∥CD，点P为平面内一点．
（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝　65　°；
（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）
（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝　120　°．
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行线的性质计算；
（2）延长AB交PD于点H，利用平行线的性质和三角形内角与外角的关系计算；
（3）延长AB交PF于点H，过点G，作MN∥AB，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角与外角的关系计算．
【详解】解：（1）过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MN，
又∵∠A＝20°，∠C＝45°，
∴∠APM＝∠A＝20°，
∠MPC＝∠C＝45°，
∴∠P＝∠APM+∠MPC＝20°+45°＝65°；
故答案为：65；
（2）延长AB交PD于点H，
∴∠ABP是△PBH的一个外角，
∵AH∥CD，
∴∠CDP＝∠BHP，
∴在△PBH，∠BPD+∠BHP＝∠ABP，
∴∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在的数量关系为：∠ABP＝∠CDP+∠BPD；
（3）延长AB交PF于点H，过点G，作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠HEG＝EGM，∠EHF＝∠PFD，∠MGF＝∠GFD，
∵EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，
∴∠PEH＝∠HEG，∠PFD＝∠PFG＝40°，∠GFD＝80°，
∴∠G＝∠EGM+∠MGF＝∠HEG+∠GFD＝∠PEH+80°，∠P+∠PEH＝∠EHF＝∠PFD＝40°，
∴∠P＝40°﹣∠PEH，
∴∠G+∠P＝∠PEH+80°+40°﹣∠PEH＝120°．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是添加辅助线，掌握平分线的性质．
29．（2022秋 望花区校级期末）已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝72°，直接写出∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，分别求出∠BEF，∠DEF，可得结论；
（2）过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ADC＝x，∠ABC＝y，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC，即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝36°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝66°；
（2）过点E作EF∥AB，如图2，
则∠BEF+∠EBA＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝y，∠EDC＝∠ADC＝x，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣y+x．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
30．（2022秋 临汾期末）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点C，D，点A在直线l1上，且在点C的左侧，点B在直线l2上，且在点D的左侧，点P是直线l3上的一个动点（点P不与点C，D重合）．当点P在点C，D之间运动时，试猜想∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由．
独立思考：
（1）请解答老师提出的问题．实践探究：
勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点P在C，D两点的外侧运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系又是如何？
（2）如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系．
【分析】（1）过P点作EP∥l1，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由与平行线中的一条平行，与另一条也平行得到EP∥l2，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，如图2所示，过点P作FP∥l1，同理即可得证；
（3）∠APB＝∠PAC﹣∠PBD，如图2所示，过点P作MP∥l1，同理即可得证．
【详解】解：（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD．
理由如下：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC．
∵l1∥l2，
∴EP∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD；
（2）∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．
理由如下：如图2，过点P作FP∥l1，则∠APF＝∠PAC．
∵l1∥l2，
∴FP∥l2，
∴∠BPF＝∠PBD，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠PBD﹣∠PAC；
（3）∠APB＝∠PAC﹣∠PBD．
理由如下：如图3，过点P作MP∥l1，则∠APM＝∠PAC．
∵l1∥l2，
∴MP∥l2，
∴∠BPM＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APM﹣∠BPM＝∠PAC﹣∠PBD．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解本题的关键．