2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--四边形的综合题
一、综合题
1．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，边OA落在y轴的正半轴上，点E从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线AB的方向运动，点A关于OE的对称点为点F.运动时间为t秒、连接OF、EF、BF、CF.
（1）如图1、当∠AOE＝30°时，求∠CFB的度数；
（2）如图2，当t＝1时，求证：BF⊥CF.
（3）如图3，过点F作FG⊥CF，且FG＝CF，连接AG.M为AG的中点，连接CM.求CM的最小值.
2．已知在矩形ABCD中，tan∠DBC ，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P.
（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当 时，求OE的长.
3．如图，四边形ABCD为菱形，P为对角线BD上一点，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC．
（1）求证：∠AEB＝∠PCD；
（2）当PA＝PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数；
（3）若∠ABC＝90°，△PCE是等腰三角形．直接写出∠PEC的度数 ．
4．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（0＜t≤10）．过点作于点，连接，．
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
5．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，且 交线段 于点 ， 的平分线 交 于点 .
（1）如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是 ， ；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点 作 交 于点 ，连接 ， .
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②求证： ；
（3）如图3，若 ， ，过点 作 交 于点 ，连接 ， ，请直接写出 的值（用含 的式子表示）.
6．小英和小倩站在正方形的对角A，C两点处，小英以2米/秒的速度走向点D处，途中位置记为P，小倩以3米/秒的速度走向点B处，途中位置记为Q，假设两人同时出发，已知正方形的边长为8米，E在AB上，AE=6米，记三角形AEP的面积为S1平方米，三角形BEQ的面积为S2平方米，如图所示．
（1）她们出发后几秒时S1=S2；
（2）当S1+S2=15时，小倩距离点B处还有多远？
7．如图1， ，在 、 内有一条折线 .
（1）求证： ；
（2）如图2，已知 的平分线与 的平分线相交于点Q，且 ， ，直接写出 与 的度数；
（3）如图3，已知 ， ，则 与 有什么关系，请说明理由.
8．【证明体验】
（1）如图1，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，．求证：．
（2）【思考探究】
如图2，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长．
（3）【拓展延伸】
如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求BE的长．
9．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为.
（1）用含a、b的代数式分别表示 ； .
（2）若，，求的值.
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
11．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）探究猜想，如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC、CD、CF之间的数量关系为 ；
（2）深入思考，如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸，如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝4，CD＝BC，请求出OC的长．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点.与y轴交于点C.且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
13．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴相交于 两点，点C为抛物线的顶点．点 为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转 ，得到新的抛物线，其中 旋转后的对应点分别记为 ．
（1）若 ，求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形 的面积为 时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形 为菱形 请说明理由．
14．如图，已知直线a∥b，a、b之间的距离为4cm．A、B是直线a上的两个定点，C、D是直线b上的两个动点（点C在点D的左侧），且AB=CD=10cm，连接AC、BD、BC，将△ABC沿BC翻折得△A1BC．
（1）当A1、D两点重合时，AC= cm；
（2）当A1、D两点不重合时，
①连接A1D，求证：A1D∥BC；
②若以点A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．
15．如图，已知四边形 和四边形 都是正方形，且 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 // ， ，求 的度数.
16．已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（1）如图1，求抛物线y=（x﹣2）2+1的伴随直线的解析式．
（2）如图2，若抛物线y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图，连接AF，
由翻折的性质可知：∠AOE＝∠EOF＝30°，OA＝OF，
∴∠AOF＝60°，
∴△AOF是等边三角形，
∴AF＝FO，∠OAF＝60°，
∵四边形OABC是正方形，
∴AB＝OC，∠OAB＝∠AOC＝∠ABC＝∠OCB＝90°，
∴∠BAF＝∠COF＝30°，
∵AB＝AF＝OF＝OC，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠OCF＝∠OFC＝75°，
∴∠FCB＝∠FBC＝15°，
∴∠CFB＝180°﹣15°﹣15°＝150°；
（2）解：如图，作FM⊥AB于M，交OC于N，设FM＝x，EM＝y，
∴∠OAM＝∠AMN＝∠AON＝90°，
∴四边形AMNO是矩形，
∴MN＝AO＝3，AM＝ON＝1+y，FN＝3﹣x，
在Rt△EFM和Rt△OFM中，则有
解得 ，
∴BM＝CN＝3﹣1 ＝ ，
∴BF＝ ，CF＝ ，
∴ ，
∴∠CFB＝90°，
∴CF⊥BF；
（3）解：如图，AO的延长线上截取OK＝OC，连接KC，KG，OM，
∵OC＝OF＝OK，∠COK＝90°，
∴∠CFK＝135°，
∵CF⊥FG，
∴∠CFG＝90°，
∴∠KFG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠KFC＝∠KFG，
在△KFC和△KFG中，
，
∴△KFC≌△KFG（SAS），
∴KC＝KG＝ ，
∵OA＝OC＝OK，AM＝MG，
∴OM＝ KG＝ ，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，OM长为半径的圆弧，
∴当点M落在线段OC上时，CM 定值最小，最小值为 .
2．【答案】（1）证明：∵EF＝EC，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴ ，
∴△CPF∽△BEC；
（2）在Rt△DBC中，∵tan∠DBC ，BC＝8，
∴ ，
由（1）可知△CPF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
过点E作EH⊥BC于点H，如图所示：
∵EF＝EC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点E在线段OD上（不包括O、D），
∴ ；
（3）①当点E在线段OD上时，过点O作OG⊥BC于点G，如图：
∵在矩形ABCD中，OB=OC，BC=8，
∴BG=GC=4，
∵tan∠DBC ，
∴ ，
∴
∵EF＝EC， ，
∴
∵△CPF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
由（2）可得 ，
∴ ， ，
∵OG⊥BC，EH⊥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点点E在线段OD外时，过点E作EN⊥BC，过点O作OM⊥BC，如图所示：
同理（1）可知△CPF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵OM⊥BC，EN⊥BC，
∴ ，
由①可知OM=2， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：当 时， 或 .
3．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PDA＝∠PDC，AD＝CD，AD∥BC，
在△PAD与△PCD中，
，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠PAD＝∠PCD，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PAD＝∠PCD
（2）解：如图1，
（方法一）∵PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA，
设∠PAD＝∠PDA＝x，则∠BPC＝∠PDC+∠PCD＝∠PDA+∠PAD＝2x
∵PC⊥BE
∴2x+x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠ABC＝2x＝60°；
（方法二）：延长CP交AD于M，
∵AD∥BC，PC⊥BC，
∴CM⊥AD
∵PA＝PD，
∴△PAM≌△PDM （HL），
∴AM＝DM，
∴CM垂直平分AD
连接AC，则AC＝CD＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
（3）30°或120°
4．【答案】（1）解：能．
理由如下：
在中，，，，
，
又，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，即，
解得．
当秒时，四边形为菱形．
（2）解：①当时，由（1）知四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
又，即，
解得；
②当时，四边形为矩形，
在中，
∴，
，即，
解得．
③若，则与重合，与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当或5秒时，为直角三角形．
5．【答案】（1）ED=BD；
（2）解：①正方形，理由如下：
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
又∵ ，
∴四边形 为正方形；
②显然，在正方形 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由（1）得： 则 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：同（2）中①理， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为菱形，
∵ 为等边三角形，
∴ ，菱形的边长也为2，
由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ，
如图，作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴
6．【答案】（1）解：设运动的时间为t秒，
∵四边形ABCD是正方形，
，
由题意得： ， ， ，
， ，
，
∴ ， ，
，
∴
解得 ，
又∵ ，即 ，
∴他们出发 秒后 ；
（2）解： ∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴当 秒时， .
米，
答：当S1+S2=15时，小倩距离点B处还有1米.
7．【答案】（1）证明：过P点作
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
（2）解： ，
，
由（1）可知 ，
分别为 ， 的角平分线
，
（3）解：由（1）可得： ，
∵ ，
∴
∴
.
8．【答案】（1）证明：
正方形中
（2）解：连接BD交AC于点O，
，，
矩形ABCD中，
，
，
（3）解：菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5
设对角线AC、BD相交于点O，
，且AC与BD互相平分，
，BD=2OD
中，
，BD=2OD=8
．
9．【答案】（1）；
（2）解：由（1）中的结果可知：
，
∵a+b=10，ab=25，
∴；
（3）解：由图可得，
∵，
∴，
∴.
10．【答案】（1）证明： 证明：如图：
∵ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=90 ，
∴FE∥AC，
∴∠1=∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余
∴∠1=∠2，
∴AE=CE，
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，
∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中
∵∠5=∠1，∠F=∠2，AF=EC，
∴△EFA≌△ACE(AAS)，
∴∠AEC=∠EAF
∴AF∥CE
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解： 当∠B=30 时，四边形ACEF是菱形。证明如下：∵∠B=30 ,∠ACB=90 ∴∠1=∠2=60 ∴∠AEC=60 ∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形。
（3）解：四边形ACEF不可能是正方形，理由如下：由（1）知E是AB的中点
∴CE在△ABC内部，∴∠ACE＜∠ACB=90° ∴四边形ACEF不可能是正方形
11．【答案】（1）垂直；BC＝CF+CD
（2）解：CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CF⊥BC．
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC．
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∴CD＝BC＝2，
∴BD＝10，
由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，
∴BC⊥CF，CF＝BD＝10，
∵四边形ADEF是正方形，
∴OD＝OF，
∵∠DCF＝90°，
∴DF＝＝2，
∴OC＝．
12．【答案】（1）解：将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）解：过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝ ，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，
设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣ ）2＋ ，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝ 时，PQ最大为 ，
∴m＝ 时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（ ， ）；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴ ，解得 ，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：
∴ ，解得 ，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
，解得 ，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）.
13．【答案】（1）解：∵ ，∴
将 代入得：
解得：
∴原抛物线的函数表达式为： ；
（2）解：连接 ，并延长 与y轴交于点E，
二次函数 的项点为
直线 的解析式为：
抛物线绕点M旋转
四边形 是平行四边形，
（3）解：如图，过点C作 轴于点D
当平行四边形 为菱形时，应有 ，
故点M在 之间，
当 时，
即
二次函数 的顶点为
，
，
∴ ，
所以 时，存在点M，使得四边形 为菱形．
14．【答案】（1）10
（2）①证明：过点A1作A1E⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图2，
∵CD∥AB，CD=AB，
∴四边形ACDB是平行四边形．
∴S△ABC=S△DBC．
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，
∴S△ABC=S△A1BC．
∴S△DBC=S△A1BC．
∴ BC DF= BC A1E．
∴DF=A1E．
∵A1E⊥BC，DF⊥BC，
∴∠A1EB=∠DFB=90°．
∴A1E∥DF．
∴四边形A1DFE是平行四边形．
∴A1D∥EF．
∴A1D∥BC．
②解：如图3①，
过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＜BH．
∵四边形A1DBC是矩形，
∴∠A1CB=90°．
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，
∴∠ACB=∠A1CB．
∴∠ACB=90°．
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=∠CHB=90°．
∴∠ACH=90°﹣∠HCB=∠CBH．
∴△AHC∽△CHB．
∴ ．
∴CH2=AH BH．
∵AB=10，CH=4，
∴16=AH （10﹣AH）．
解得：AH=2或AH=8．
∵AH＜BH，
∴AH=2．
∴AC2=CH2+AH2=16+4=20．
∴AC=2 ．
Ⅱ．如图3②，
过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＞BH．
同理可得：AH=8．
∴AC2=CH2+AH2=16+64=80．
∴AC=4 ．
Ⅲ．如图3③，
∵四边形A1DCB是矩形，
∴∠A1BC=90°．
∵△ABC沿BC折叠得△A1BC，
∴∠ABC=∠A1BC．
∴∠ABC=90°．
∴AC2=BC2+AB2=16+100=116．
∴AC=2 ．
综上所述；当以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，AC的长为2 或4 或2 ．
15．【答案】（1）证明：∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ .
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵由（1）可知 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ .
16．【答案】（1）解：由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，
∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），
设所求直线解析式为y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴所求直线解析式为y=﹣2x+5
（2）解：如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，
点A的坐标为（0，﹣3），
点C的坐标为（0，3），
可得：AC=6，
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴S△ABC=6即S△ABC= AC BE=6，
∴BE=2，
∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x﹣3上，
∴顶点B的坐标为（2，﹣1），
又抛物线经过点A（0，﹣3），
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣2）2﹣1
（3）解：①如图，作BF⊥x轴于点F，
由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，﹣b），
∵顶点B（m，n）在直线y=﹣2x+b（b＞0）上，
∴n=﹣2m+b，即点B点的坐标为（m，﹣2m+b），
在矩形ABCD中，CO=BO．
∴b= ，
∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，
∴m= b，
n=﹣2× b+b=﹣ b，
②∵B点坐标为（m，n），即（ b，﹣ b），
∴BO= =b，
∴BD=2b，
当BD=BP，
∴PF=2b﹣ b= b，
∴P点的坐标为（ b， b）；
如图3，当DP=PB时，
过点D作DE⊥PB，于点E，
∵B点坐标为（ b，﹣ b），
∴D点坐标为（﹣ b， b），
∴DE= b，BE= b，设PE=x，
∴DP=PB= b+x，
∴DE2+PE2=DP2，
∴ +x2=（ b+x）2，
解得：x= b，
∴PF=PE+EF= b+ b= b，
∴此时P点坐标为：（ b， b）；
同理P可以为（ b，﹣ b）；（ b， b），
故P点坐标为：（ b， b）；（ b， b）；（ b，﹣ b）；（ b， b）．
