2023年中考数学备考 二轮复习拔高训练--三角形综合原卷版
一、综合题
1．在Rt 中， ，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过B作BH⊥CF于G，交AC于H.
（1）如图1，延长GH到点E，使GE=GC，连接AE，求 的度数；
（2）如图2，若F为AB中点，连接FH，请探究BH、FH、CF的数量关系，并证明你的结论.
2．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，连接DE、BE，设点D运动了ts．
（1）点D的运动过程中，线段AD与BE的数量关系是 ，请以图1情形为例（当点D在线段OA上时，点D与点A不重合），说明理由．
（2）当6
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 交x轴的B，交y轴于点A，点C在y轴的负半轴上， ．
（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图2，点L在第三象限的直线BC上，过点L作y轴的平行线，交直线AB于点M，设点M的横坐标为m，线段LM的长为y，求y关于m的函数关系式；
4．已知M是等边的边BC上的点．
（1）如图①，过点M作，交AB于点N，求证：；
（2）如图②，连接AM，过点M作，MH与的邻补角的平分线交于点H，过点H作，交BC延长线于点D．求证：；
（3）在（2）的条件下，猜想CB，CM，CD之间的数量关系，并证明．
5．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.
（1）特例感知
①等腰直角三角形 △ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高.若 ，试求线段CD的长度.
（2）●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中 ，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若 ，试求线段DE的长度.
6．【揭示关系】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=2，AC=．
即．
对于上述三角形的三边关系，可以作为问题解决的条件直接使用．
【问题解决】
如图Ⅰ，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在边OB上，点D在AO边上，∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α（90°<α<180°）后，得到，点C，D的对应点分别为点，，连接，，得到Ⅱ．
（1）若，求α；
（2）若点E，M分别是OA，的中点，连接EM，OM．
①求证：；
②线段OM和之间存在怎样的数量关系和位置关系？写出你的结论，并进行证明．
7．已知和中，，，，与交于点．
（1）如图1当时．求证：
≌；
；
（2）如图2当时，直接写出的度数为 ；
（3）如图3，直接写出的度数为 用含的式子表示．
8．我们约定：在一个平面图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.
（1）如图①，在 中， ，过点 能否画出 的一条“等分积周线”？若能，说出你的画法；若不能，说明理由；
（2）如图②，在四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 ，交 于点 .判断直线 是否为四边形 的“等分积周线”，并说明理由；
（3）如图③，在 中， ，请按要求作出 的一条“等分积周线” ，叙述你的画法，并对你的画法进行证明要求：直线 不过 的顶点，交 边于点 ，交 边于点 .用黑色签字笔画图.
9．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速段沿拆线CB-BA向终点A运动，连接PQ，以AP、PQ为邻边作平行四边形APQD。点P、Q同时出发，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点p运动的时间为1(秒)，平行四边形APQD与△ABC重叠部分的面积为S(平方单位)。
（1）求点Q到边AC的距离(用含t的代数式表示)；
（2）当点D落在边AB上时，求t的值；
（3）在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式(S>0)；
（4）如图②，动点P、Q出发的同时动点E从点C出发，以每秒3个单位长度的连度沿CA向终点A运动，当点E停止时，点P、Q也停止运动，连接DE，当DE所在的直线将平行四边形APQD的面积分成1：3两部分时，直接写出t的值。
10．如图
（1）问题发现：如图1，点为平面内一动点，且，，则的最小值为 ，的最大值为 ；
（2）轻松尝试：如图2，在矩形中，，，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值为 ；
（3）方法运用：在四边形中，，，，．
①如图3，当时，求线段的最大值；
②如图4，当时，用含的式子表示线段的最大值．
11．如图，在 中， ，作射线 ， ．D在射线 上，连接 ，E是 的中点，C关于点E的对称点为F，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）判断 与 的数量关系并证明；
（3）平面内一点G，使得 ，求 的值．
12．在等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D，E分别为AB，AC中点，F线段DE上一动点（不与点D，E重合），将线段AF绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AG，连接GC，FB．
（1）如图①，证明：．
（2）如图②，连接GF，GE，GF交AE于点H．
①证明：在点F的运动过程中，总有∠FEG＝90°．
②若AB＝AC＝8，当DF的长度为多少时，△AHG等腰三角形？请直接写出DF的长度．
13．如图．已知为等腰直角三角形，，、分别为、上的两点，，连接，将绕点逆时针旋转得，连接与交于点．
（1）如图1，当时，若，求的长；
（2）如图2，连接，为的中点，连接，求证：；
（3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得，连接、、，若，当取得最小值时，直接写出的面积．
14．如图，在 和 中， ， 绕点 旋转．
（1）如图1，若连接 、 ，求证： ；
（2）如图2，若连接 、 ，取 中点 ，连接 ，试探究 与 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当 旋转到如图3的位置时，点 落在 延长线上，若 ，请直接写出线段 的长．
15．如图，在等边 中，点 是边 上一动点（不与点 重合），连接 ，作 于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 至线段 ，连接
（1）①补全图形；
②判断线段 与线段 的数量关系，并证明；
（2）已知 ，点 在边 上，且 ，作直线 ．
①是否存在一个定点 ，使得对于任意的点 ，点 总在直线 上，若存在，请指出点 的位置，若不存在，请说明理由；
②直接写出点 到直线 的距离的最大值．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．动点D从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，过点D作AB的垂线交射线AC于点E，过点E在DE右侧作EF⊥DE，且使∠EDF＝∠A．设点D运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示EF的长；
（2）当点F落在BC上时，求t的值；
（3）在点D运动的过程中，求△DEF与△ABC重叠部分图形的周长（长度单位）与运动时间t（秒）之间的函数关系式（y＞0）；
（4）在点D运动的过程中，当△DEF的边被BC平分时，直接t写出的值．2023年中考数学备考 二轮复习拔高训练--三角形综合原卷版答案详解版
答案解析部分
1．【答案】（1）解：过点A作AP⊥AB于点P.
∵BH⊥CF，
∴∠APB＝∠CGB＝90°，
∵ ，
∴∠ABP+∠GBC＝∠CBG+∠GBC＝90°，
∴∠ABP＝∠CBG，
在△ABP与△BCG中，
∴△ABP≌△BCG(AAS)，
∴BP=CG，AP=BG，
∵GE=GC，
∴BP=GE，
∴PE=BG，
∴PE=PA，
又∵
∴△APE是等腰直角三角形， .
（2）解：BH+HF＝CF，理由如下：
过点A作AK⊥AB交BH的延长线于点K.
∴∠BAK＝∠CBF＝90°，
∴∠K+∠ABK＝∠CFB+∠ABK＝90°，
∴∠K＝∠CFB，
在△ABK与△BCF中，
，
∴△ABK≌△BCF(AAS)，
∴AK＝BF，BK＝CF.
∵F为AB的中点，
∴AF＝BF，
∴AK＝AF，
又∵△APE是等腰直角三角形， .
∴∠HAK＝∠HAF
在△AKH与△AFH中，
∴△AKH≌△AFH(SAS)，
∴HK＝HF，
∴BH+HF＝BH+HK＝BK＝CF.
2．【答案】（1）解：AD＝BE，理由如下： ∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE， ∴∠DCE＝60°，DC＝EC， ∴△CDE是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°＝∠DCE，AC＝BC， ∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， 故答案为：AD＝BE；
（2）解：存在，当6＜t＜10时，
由（1）知，BE＝AD，
∴△BDE周长C△BDE＝BE+DB+DE＝AD＋DB＋DE＝AB+DE＝4+DE，
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△BDE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最短，△BDE的周长最小，
在等边三角形△ABC中，∠ACB＝60°，BC＝AB＝4cm，
当CD⊥AB时，BD＝AB＝2（cm），
∴CD＝（cm），
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝（2+4）（cm）；
（3）2或14
3．【答案】（1）解：∵直线 交x轴的B，交y轴于点A，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线BC的解析式为： ，
则 ，解得 ，
∴直线BC的解析式： ；
（2）解：根据题意得： ，
∴ ，
∴ （3）如图3，在（2）的条件下，延长LO交直线AB于点E点F在线段OA上，点G在线段OB上，射线FG交直线BC于点D，当 ， ， ，求点D的坐标．
解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵点 在直线BC上，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
联立直线 与直线 ，
，解得：
∴ ，
在 上取点 ，使 ，过 点作 于点 ，
在 轴负半轴上取点 ，使 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为AB中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，设 ，
则 ， ，
∴ ，即 ，
解得： 或n=9(舍)，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，解得 ，
∴直线PG的解析式为： ，
联立直线PG和直线BC，
得： ，解得 ，
∴ ．
4．【答案】（1）证明：∵，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM ，
∴BM=BN；为等边三角形．
（2）证明：如图2，过M点作交AB于N， 则BM=BN，∠ANM=120°
∵等边，
∴AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60° ，
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中 ， ，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；
（3）解：CB=CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，如图2，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵为等边三角形，
∴MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
平分
而，
在△BMG和△CHD中， ，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴BG=CD，
∴BM=2CD，
∴BC=MC+2CD．
5．【答案】（1）解：①是；
②设
根据勾股定理可得： ，
于是 ，
∴；
（2）解：由
可得： ，
而 ，
∴ ，
即 ；
（3）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且 ，
∴只能是 ，由上问可知 .
又ED∥BC，∴ .
而 ，
∴△AGD≌△CDB（AAS），于是 .
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知 .
又 ∴ ，
∴ .
6．【答案】（1）解：延长BO交于点F，如图所示：
∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即α=150°．
（2）解：①证明：∵E，M分别为AO，的中点，
∴，EM=，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
②，；
∵，
∴∠1=∠2，，
即，
延长MO交于点N，
∵∠AOB = 90°，
∴∠1 +∠3= 90°，
∴∠2+∠3= 90°，
∴∠BNO= 90°，
即OM⊥BD'．
7．【答案】（1）证明：①，
，即，
又和都是等腰直角三角形
，，
在和中，
，
≌，
②，
，
，
，
；
（2）60°
（3）．
8．【答案】（1）解：不能，理由如下：
如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC＝S△DBC，
∴AD＝BD，
∵AC≠BC，
∴AD＋AC≠BD＋BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”；
（2）解：直线 是四边形 的“等分积周线”，理由如下：
如答图2，连接AE、DE，设BE＝x，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，
∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝（8 x）2＋52，
解得：x＝5，
∴BE＝5，CE＝3，
∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，
∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，AF＋AB＋BE＝DF＋EC＋DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）解：如答图3，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF＝AC FC＝8 6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2，则有AB＋AF＝CF＋CG，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CFG中，
∵ ，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF＝S△CFG，
∵BE＝2，
∴EG=6-2-2=2，
∴BE=EG，
∴S△BFE＝S△EFG，
∴S△EFC＝S四边形ABEF，
AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，
∴EF是△ABC的等分积周线.
9．【答案】（1）解： 当点 在线段BC上时, .
当点 在线段AB上时，如图①-1，过点 作 于 .
在 中， ,
,
,
,
综上所述，点 到边AC的距离为2t或 .
（2）如图①-2中，当点D落在AB上时，
,
,
.
（3）当时，重叠部分是四边形PADQ , s=tx2t=2t2 .
当时，重叠部分是四边形APQT，如图①-3中，S=
当 时，如图①-4时，重叠部分是 .
综上所述，
（4）如图②-1中，当直线DE经过PO的中点J时，满足条件。
∵DO//|PE，
∴∠JDO=∠JEP，
∵QJ=PJ，∠DJQ=∠PJE ,
∴△DJQ ≌△EJP ( AAS ) ,
∴DQ=PE=t ,
∵AP+PE+CE=8 ,.
∴t+t+3t=8 ，
∴t=
如图②-2中，当直线DE经过AP的中点时，满足条件.
∵AE+EC=8 ,
∴t+3t=8 ,
∴
综上所述，满足条件的t的值为或
10．【答案】（1）a-c；a+c
（2）8
（3）解：①过点B作BE⊥BC，使BE=BC=4，连接AE，CE，
则∠EBC=90°，
∴
∵∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EBC，
∴∠ABD-∠DBE=∠EBC-∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵m=1，
∴AB=DB，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=CD=2，
∴当点D绕点C运动时，点A绕点E运动，AE的长为半径，
∵AC≤AE+CE，
∴当线段AC经过点E时，AC最大，最大值为，AC=AE+CE= +2；
②过点B作BF⊥BC，使，
则∠FBC=90°， ，
∴，
∵∠ABD=∠FBC=90°，
∴∠ABD-∠DBF=∠FBC-∠DBF，
∴∠ABF=∠DBC，
∵，
∴△ABF∽△DBC，
∴，
∴，
∵AC≤AF+CF，
∴AC的最大值为，AC=AF+CD= ．
11．【答案】（1）解：下图即为所求
（2）解： 与 的数量关系是 ．
证明：∵点F与点C关于点E对称，
∴ ．
∵E是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：如图所示，点G的位置有两种情况．
①点G与点C在直线 同侧时，记为 ，连接 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 中， ，
∴ ．
∴ ．
②点G与点C在直线 异侧时，记为 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 中， ，
∴ ．
∵由①， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
综上， 的度数为 或 ．
12．【答案】（1）证明：如图1
由旋转可得
∠BAC＝90°，
在与中
（2）解：①点D，E分别为AB，AC中点，
∠BAC＝90°，
，
即
②当时，如图，
又
四边形是矩形
四边形是正方形
AB＝AC＝8，点D，E分别为AB，AC中点，
如图，当时，
如图，当时，三点重合，则
综上所述，的长为或或时，△AHG是等腰三角形．
13．【答案】（1）解：过点 作 ，垂足为 ，如图1
设 ，则 ，
是等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）证明：连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，如图
由旋转可得： 且 ，
，
，
，
，
，且 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，且 ，
，
又 ，
，即 ，
、 、 、 四点共圆，即四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
又 ，
（三线合一），
点 是 的中点，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
，
，
；
（3）解： ．
14．【答案】（1）证明：如图1，设 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
理由如下：如图2，延长 至 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，过点 作 于 ，
由（2）可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．【答案】（1）解：①如图
；
②
证明 即可
（2）解：①存在
点 是边 的中点，
理由：设直线 与边 交于点
可由
得点 共圆，
因为 ，
所以 ，
即 是 的中点．
②如图， 当MP⊥HE时，MP最大，
理由： ，
，
，
∴△ ∽△BAP，
∴∠BMP=∠BPA= ，
16．【答案】（1）解：由题意知，
；
（2）解：
；
（3）解：重合部分
（4）解：由（2）知 ，设 交 于点 ，
则 是 的中点，
.
