2022-2023学年沪科新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9500万党员的世界第一大政党．9500万用科学记数法表示为（ ）
A．9.5×108 B．9.5×107 C．9.5×106 D．9.5×103
3．计算a2 a5，正确的结果是（ ）
A．2a7 B．2a10 C．a7 D．a10
4．如图，该几何体为圆台，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（ ）
A．有实数根 B．无实根
C．有两个相等实根 D．有两个不相等的实根
6．为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别随机抽取50株麦苗测量高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数和中位数均相同，且＝3.5，＝5.3，则下列说法正确的是（ ）
A．甲小麦苗长得更整齐
B．乙小麦苗长得更整齐
C．甲、乙小麦苗长得一样整齐
D．无法确定甲、乙小麦苗长得谁更整齐
7．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t．新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？如果设新工艺的废水排量为2xt，旧工艺的废水排量为5xt．那么下面所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣200＝2x+100 B．5x+200＝2x﹣100
C．5x+200＝2x+100 D．5x﹣200＝2x﹣100
8．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
9．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②＝；③AC BE＝12；④3BF＝4AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是反比例函数y1＝和y2＝在x轴上方的图象，x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点，点P（﹣5.5，0）在x轴上，则△PAB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8.25 D．16.5
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．若（n﹣2）x＜2﹣n解集为x＞﹣1，则n的取值范围是 ．
12．分解因式：2a2﹣22a+48＝ ．
13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，则∠ABO＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
15．（8分）解方程：2x2﹣4x﹣5＝0（用公式法）
16．（8分）如图所示，将△ABC置于平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，画出第二次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）以点O为对称中心，画出与△ABC成中心对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）观察以下一系列等式：
①22﹣21＝4﹣2＝21；
②23﹣22＝8﹣4＝22；
③24﹣23＝16﹣8＝23；
④ ；…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式： ；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： ，并说明这个规律的正确性；
（3）请利用上述规律计算：21+22+23+…+2100．
18．（8分）在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售800只A型和450只B型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元．
（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
（2）在销售时，该药店开始时将B型口罩提价100%，当收回成本后，为了让利给消费者，把B型口罩的售价调整为进价的15%，求B型口罩降价的百分率．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．（10分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进80m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.732，结果精确到0.1m，求该楼的高度．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
21．（12分）为践行社会主义核心价值观，某市教育局准备举办教室“敬业杯”课堂教学技能大赛，参赛选手均由辖区内各个学校选派，某校首先在校内组织部分教师进行了预赛，并将预赛成绩绘制成了如下不完整的统计图表，请根据图表回答下列问题：
等级 成绩m（分） 频数
①优秀 95≤m≤100 3
②良好 90≤m≤95 a
③合格 85≤m≤90 4
（1）表格中a的值为 ，扇形统计图中，表示类别③的扇形的圆心角度数为 度；
（2）该校决定从预赛中获得优秀等级的三名教师中随机选取两名参加市教育局举办的课堂教学技能大赛，已知三名教师中有两名男教师、一名女教师，请用树状图或列表法说明该校选中一男一女教师参加市教育局举办的课堂教学技能大赛的概率．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）填空：当t＝ 时，四边形AEFD是菱形；
（3）当t为何值时，△AED和△ABC相似？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：∵x+2y与x+4互为相反数，
∴x+2y+x+4＝0，
则2x+2y＝﹣4，
故x+y＝﹣2．
故选：C．
2．解：9500万＝95000000＝9.5×10000000＝9.5×107，
故选：B．
3．解：a2 a5＝a2+5＝a7，
故选：C．
4．解：从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆（内圆由虚线围成），
故选：C．
5．解：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m﹣2）
＝4m2﹣4m+1+4m+8
＝4m2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实根，
故选：D．
6．解：∵＝3.5，＝5.3，
∴＜，
∴甲小麦苗长得更整齐．
故选：A．
7．解：设新、旧工艺的废水排量分别为2xt、5xt，则依题意得，
2x+100＝5x﹣200，
故选：A．
8．解：当a＞0时，
∵对称轴为x＝﹣＝1，
当x＝1时，y有最小值为2，当x＝﹣1时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2﹣2＝4．
∴a＝1；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2；y有最小值为4a+2，
∴2﹣（4a+2）＝4，
∴a＝﹣1；
综上所述，a的值为±1；
故选：C．
9．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠AED＝∠ADC．
故本选项正确；
②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：AC，但AC的值未知，
故不一定正确；
③由①知∠AED＝∠ADC，
∴∠BED＝∠BDA，
又∵∠DBE＝∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA＝BE：BD，由②知DE：DA＝DC：AC，
∴BE：BD＝DC：AC，
∴AC BE＝BD DC＝12．
故本选项正确；
④连接DM，则DM＝MA．
∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC＝BD：DC＝4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC＝FM：MC＝4：3，∴3BF＝4AC．
故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选：C．
10．解：连接OA、OB，
∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A，B．设AB交y轴于C．
∴AB⊥y轴，
∵点A、B在反比例函数y1＝和y2＝在x轴上方的图象上，
∴S△PAB＝S△AOB＝S△COB+S△AOC＝（2+4）＝3，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．解：∵（n﹣2）x＜2﹣n，即（n﹣2）x＜﹣（n﹣2），且不等式的解集为x＞﹣1，
∴n﹣2＜0，
解得n＜2，
故答案为：n＜2．
12．解：原式＝2（a2﹣11a+24）
＝2（a﹣3）（a﹣8），
故答案为：2（a﹣3）（a﹣8）．
13．解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，PA＝PB，
∴∠PBO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠ABP＝∠BAP＝＝＝55°，
∴∠ABO＝∠PBO﹣∠ABP＝90°﹣55°＝35°，
故答案为：35°．
14．解：∵将矩形ABCD沿AE折叠，
∴AD＝AF＝5，DE＝EF，
∴BF＝＝＝4，
∴CF＝1，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴DE2＝（3﹣DE）2+1，
∴DE＝，
∴EF＝，
∴cos∠EFC＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
15．解：2x2﹣4x﹣5＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
∴x＝，
x1＝，x2＝．
16．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（2，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；A2（2，﹣4）．
四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．解：（1）∵①22﹣21＝4﹣2＝21；
②23﹣22＝8﹣4＝22；
③24﹣23＝16﹣8＝23；
则第④个等式是：25﹣24＝32﹣16＝24，
故答案为：25﹣24＝32﹣16＝24；
（2）第n个等式是：2n+1﹣2n＝2n，
故答案为：2n+1﹣2n＝2n，
∵2n+1﹣2n
＝2×2n﹣2n
＝（2﹣1）×2n
＝2n，
∴2n+1﹣2n＝2n；
（3）根据规律：
21+22+23+…+2100，
＝（22﹣21）+（23﹣22）+（24﹣23）+…+（2101﹣2100）
＝22﹣21+23﹣22+24﹣23+…+2101﹣2100
＝2101﹣21
＝2101﹣2．
18．解：（1）设每只A型口罩的销售利润为x元，每只B型口罩的销售利润为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每只A型口罩的销售利润为0.15元，每只B型口罩的销售利润为0.2元．
（2）设B型口罩降价的百分率为m，
依题意，得（1+100%）（1﹣m）＝1×15%，
解得：x＝0.925＝92.5%．
答：B型口罩降价的百分率为92.5%．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
19．解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∠BCD＝90°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴BD＝AB＝80m，
在Rt△BCD中，sin∠BDC＝，
∴CD＝BD sin60°＝80×＝40≈69.3（m），
答：该楼的高度约为69.3m．
20．（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD，
∵CD＝4，
∴CE＝，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
∵OE＝1，
∴，
解得：OC＝3（负数舍去），
∴⊙O的半径为3．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
21．解：
（1）∵总人数＝3÷15%＝20人，
∴a＝20﹣3﹣4＝13人，
∵③所占百分比＝1﹣65%﹣15%＝20%，
∴扇形圆心角的度数＝360°×20%＝72°，
故答案为：13，72；
（2）将男教师分别标记为A1，A2，女教师标记为B1
A1 A2 B1
A1 （A1，A2） （A1，B1）
A2 （A2，A1） （A2，B1）
B1 （B1，A1） （B1，A2）
P（一男一女）＝＝．
七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
22．解：（1）将A点坐标（1，0）代入y＝x+b得：
+b＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+c，
将A点坐标（1，0）代入得：
﹣1﹣+c＝0，
∴c＝，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+；
由，
解得：或，
∴B（﹣2，﹣）；
（2）设点P（m，﹣），则C（m， m﹣），
∴PC＝（﹣）﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+2＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PC取得最大值，此时P（﹣，）．
设PC与x轴交于点F，则F（﹣，0），如图，
∴OF＝，
∵A点坐标（1，0），
∴OA＝1，
∴AF＝OA+OF＝，
∵PC∥DE，
∴，
∴，
∴DE＝．
八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）
23．（1）证明：由运动知，AE＝t，CD＝2t，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
在Rt△DFC中，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝t，
∴AE＝DF；
（2）由（1）知，AE＝DF，∠DFC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵四边形AEFD是菱形，
∴AE＝AD，
∵AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，AE＝t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝，
故答案为；
（3）t为或4时，△AED和△ABC相似；理由：
在Rt△ABC中，∠C＝30°，AC＝10，
∴AB＝AC＝5，
∵△AED和△ABC相似，
∴＝或，
∴或，
∴t＝或t＝4．
∵点D，E分别在AC，AB边上，
∴0＜t＜5，
即t为或4时，△AED和△ABC相似．
