2023年中考数学重难点专题复习-二次函数的对称问题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，过点B作轴交抛物线于另一点A，抛物线的对称轴为．
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)若点P为抛物线上一动点，求使时点P的坐标．
2．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
3．抛物线（）经过点，点，，在该抛物线上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若，比较，，的大小，并说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接，，，使得的周长最小，求F点的坐标．
5．如图，已知抛物线 的对称轴为，请你解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求出抛物线与轴的交点；
(3)当随的增大而减小时的取值范围是____________；
(4)当时，的取值范围是____________
6．在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)若，则 ；
(2)若，
①写出的取值范围 ；
②写出b的取值范围 ．
7．已知抛物线与轴相交于点A，与的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标．
0 1 2 3
0 ■ 4 3 0
8．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．
(1)求抛物线的对称轴为？
(2)若，，直接写出，的大小关系？
(3)若，，当时，则的取值范围为？
(4)若，比较，的大小，并说明理由？
9．已知二次函数．
(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点都在该二次函数图象上，
①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；
②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
10．设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表：
… …
… …
(1)试判断该函数图象的开口方向；
(2)当时，求函数y的值；
(3)根据你的解题经验，直接写出的解．
11．如图，抛物线（常数）与x辅从左到右的交点为B，A，过线段的中点M作轴，交双曲线于点P，且．
(1)求k值：
(2)试探寻线段的长与n的关系；
(3)当时，求直线与L对称轴之间的距离；
(4)把L在直线左侧部分的图象（含与直线的交点）记为G，用表示图象G最高点的坐标．
12．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… 8 3 m 0 3 ……
(1)求m的值和这个二次函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
(1)当抛物线过点时，求t的值；
(2)若点和在抛物线上，若，且，求t的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝ax2+bx+c，y2＝cx2+bx+a（a，b，c是实数，ac＜0）．
(1)若函数y1的对称轴为直线x＝1，且函数y1的图象经过点（a，c），求a，b的值．
(2)设函数y1的最大值为m，函数y2的最小值为n，若m+n＝0，求证：a+c＝0．
(3)若函数y1的图象与函数y2的图象的两个交点分别在一、三象限，求证：b＞0．
15．如图，若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求、两点的坐标；
(2)当时，函数值的取值范围为 ；（直接写出答案即可）
(3)若为二次函数图象上一点，求的值．
16．某超市销售一批日用品，每个进价为10元，经市场调研发现：该日用品每个售价为15元时，每天的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少8个，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（个），每天的销售利润为W（元）．
（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）求当销售单价x定为多少元时，每天销售利润W最大？最大利润是多少元？
（3）若每天获得的利润不低于1288元，请直接写出销售单价x的取值范围．
参考答案：
1．(1)抛物线的解析式为，
(2)或
2．(1)①,；②；③
(2)
3．(1)对称轴为
(2)，
4．(1)
(2)
(3)
5．(1)-1
(2)抛物线与轴交点坐标为(，0)，(，0)
(3)
(4)
6．(1)0
(2)①；②
7．
8．(1)
(2)
(3)或
(4)，
9．(1)抛物线与y轴交点的坐标为，对称轴
(2)①； ②
10．(1)抛物线开口向上
(2)
(3)
11．(1)
(2)线段的长与n无关，为定值3
(3)直线与L对称轴之间的距离是
(4)当时，顶点就是G的最高点；当时，L与的交点就是G的最高点
12．(1)，
(2)2
(3)
13．(1)
(2)当时，；当时，
14．(1)a的值为2，b的值为-4
15．(1)，
(2)
(3)0或1
16．（1）；（2）销售单价定为25元时，所获利润最大．最大利润是1800元；（3）．
