高 2023届二诊模拟测试（文科数学）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足方程 (1 i) z = 4 3i，则 z 的虚部为 （ ）
1 1 7 7
（A） （B） （C） （D）
2 2 2 2
2. 一个果园培养了一种少籽苹果，现随机抽样一些苹果调查苹果的平均果籽数量，得到下
列频率分布表：
果籽数目 1 2 3 4
苹果数 12 5 2 1
则根据表格，这批样本的平均果籽数量为（ ）
（A）1 （B）1.6 （C）2.5 （D）3.2
π 2
3. 已知 sin x + = ，则 sin2x = （ ）
4 3
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
9 9 18 18
4. 已知集合 A = {(x, y) | x2 + y2 4 }，B = {(x, y) | x + ay + 3a = 0}，a R. 若集合 A∩B 只有
一个元素，则实数 a 的值为（ ）
2 5 2 5 2 5 2 5 2 5
（A） （B）0 或 （C）0 或 （D） 或
5 5 5 5 5
5. 小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满 20 岁，也就是要保
证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满 20 岁”这个命题为真. 现在店里有下列四个
人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮
品）有（ ）
①一位正在喝酒的男性；② 一位正在喝果汁的女性；
③一位正在饮用待检测饮料的 32 岁男性；④ 一位正在饮用待检测饮料的 15 岁女性.
（A）②③ （B）①③ （C）①④ （D）①③④
6. 已知 Sn是等比数列{an}的前 n 项和，S3、S9、S6成等差数列. 则下列选项一定是真命题的
是（ ）
（A）a2、a8、a5一定是等差数列 （B）a2、a8、a5一定是等比数列
（C）a2、a8、a5一定不是等差数列 （D）a2、a8、a5可能是等比数列
7. 已知△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 若已知 AB AC = 4，且△ABC 的面积
sin BcosC + cos BsinC
为 6， 则 =（ ）
sin A+ 3cos A
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
10 10 2 2
8. 根据地理知识，地球（Earth）是太阳系八大行星之一，赤道半径约 6378km，极半径约
6357km，平均半径约为 6371km，赤道周长大约为 40076km，呈两极略扁赤道略鼓的不规
则的椭圆球体. 为了研究方便，我们既可以将地球看作一个标准的椭圆球体，长半轴长和短
半轴长分别对应相应的赤道半径和极半径；也可以将地球看作一个半径为平均半径的标准
的球体. 周老师站在本初子午线的某个点 A，如果将地球看作一个标准的椭圆球体，那么他
到两个焦点的距离之和为 d1；而如果将地球看作一个标准的球体，那么他到地球球心的距
离为 d2. 则 |d1 – 2d2| =（ ）km.
（A）42 （B）28 （C）20 （D）14
1 / 4
15. 随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升. 经调查，A 公
司的股价在去年年初（t = 0 时）的股价是每股 5 元人民币，到了年末（t = 12 时）涨到了每
股 6 元人民币. 经过建立模型分析发现，在第 t 个月的时候，A 公司的股价可以用函数 A =
A ekt0 来表示，其中 k 为常数. 假设 A 公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当 A 公司
的股价涨到 10 元时，t 的值约为 （结果精确到个位数，参考数据：ln2≈0.7，
ln3≈1.1，ln5≈1.6.）
1
16. 设函数 f (x) = ln x k x ，若函数 f (x) 在(0, +∞)上是单调减函数，则 k 的取值范围
x
是 .
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一) 必考题：共 60 分
17.（本小题满分 12 分）
已知向量 a = (sin x + cos x,cos x)，b = (sin x cos x,2sin x)，x R. 函数 f (x) = a b + 2 .
（1）求函数 f (x)的单调增区间；
（2）设 g (x) = f (x) 3，（x [0, 2π]）求 g(x)的零点组成的集合 A.
18.（本小题满分 12 分）
如图所示，六棱锥 PP-ABCDEF 的底面 ABCDEF 是一个正六边
形，P1是这个正六边形的中心. 已知 PP1⊥平面 ABCDEF.
（1）求证：平面 PAD⊥平面 PCE.
（2）若 AB = 4，且 PP1 = 6. 求异面直线 PF 与 BC 的夹角的正
弦值.
E D
F P1 C
A B
19.（本小题满分 12 分）
2023 年 2 月 15 日，四川省卫健委发布新版《四川省生育登记服务管理办法》，其中
一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件.”该修订内容在社会上引起了广泛
的关注和讨论. 某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家
长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了 160 份有效问卷. 为了研
究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身
份. 被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政
策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”. 研究结果如下表所示：
支持政策 反对政策 有条件地支持 合计
学生 30 5 5 40
教职工 20 45 25 90
家长 15 8 7 30
合计 65 58 37 160
（1）为了研究校内人员身份（学生/教职工）与态度之间的关系，研究小组将“支持政
策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组. 试问，我们是否有 99.5%的把握认为，
校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关？
（2）如果从样本中反对政策的 5 名学生中随机抽取 3 个人，求其中学生 A 和学生 B同
时被选中的概率.
2
n(ad bc2 )参考公式： K = .
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
P(K2 ≥ k0) 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
3 / 4
20.（本小题满分 12 分）
x2 y2
已知椭圆 C1： + =1（a > b > 0）与抛物线 C2：y2 = 4ax 的图象在第一象限交于点
a2 b2
6
P. 若椭圆的右顶点为 B，且 PB = a .
5
（1）求椭圆 C1的离心率.
（2）若椭圆 C1的焦距长为 2，直线 l 过点 B. 设 l 与抛物线 C2相交于不同的两点 M、
N，且△OMN 的面积为 24，求线段 |MN| 的长度.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = x2 + axex + ae2，e 是自然对数的底数，a 为实数.
（1）若函数 f (x)的图象在 x = 2 处的切线方程过点(3, 14)，求实数 a 的值.
（2）若对任意实数 x R，都有 f (x) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
(二) 选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做第一题计分.
22.【选修 4 - 4：坐标系与参数方程】(10 分)
x = e2 t t et ,
在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 ，t 为参数且 t > 0. 曲线 C 与 x
y = t ln t ln t,
轴交与点 A，与 y 轴交于点 B.
（1）求证： AB 2 .
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以 B 为圆心，且过原点
的圆 B 的极坐标方程.
23.【选修 4 - 5：不等式选讲】(10 分)
设 f (x) = | 2x – 1 | + | 2x + 3 |.
（1）解关于 x 的不等式：f (x) ≤ 10.
1 1 1
（2）f (x)的最小值为 m，且正实数 a、b 满足 a + b = m，求证： + .
a2 b2 2
4 / 4高 2023届二诊模拟测试（文科数学参考答案）
一、选择题
4 3i (4 3i)(1+ i) 7 + i 1
1.【答案】B.【解析】由题意， z = = = ，所以 z 的虚部为 .
1 i (1 i)(1+ i) 2 2
1 12 + 2 5 + 3 2 + 4 1 32
2.【答案】B.【解析】平均数为 X = = =1.6 .
12 + 5 + 2 +1 20
2 π π 2 1
3.【答案】A.【解析】 sin 2x = cos 2x + = 1 2sin
2
x + = 1 2 = .
2 4 3
9
4.【答案】D.【解析】A集合表示以原点为圆心，2 为半径的圆及其内部的点. B集合表示直
线 x + ay + 3a = 0 图象上的点. 要保证 A∩B只有一个元素，只需要直线与圆 x2 + y2 = 4 相切
3a 2 5
即可. 得到 = 2 ，所以 a = . 答案 D.
1+ a2 5
5.【答案】C.【解析】要检验命题，需要保证原命题的条件成立时，结论一定成立，因此
需要检测①；同时要保证命题的逆否命题“如果一个人没有年满 20 岁，则这个人不能喝
酒.”因此需要检查④. 答案选 C.
6.【答案】A.【解析】若 S3、S9、S6成等差数列，则 S3 + S6 = 2S9，显然，公比 q ≠ 1，则
a1 (1 q3 ) a1 (1 q6 ) 2a1 (1 q9 )
+ = ，化简得：1 + q3 = 2q6. 所以 a2、a8、a5一定是等差数
1 q 1 q 1 q
列.
1
7.【答案】C.【解析】由题意， AB AC = bc cos A = 4，△ABC的面积为 bcsin A = 6，两
2
式相除得到 tanA = 3. 所以 sin BcosC + cos BsinC
sin (B +C ) sin A tan A 1
= = = = .
sin A+ 3cos A sin A+ 3cos A sin A+ 3cos A tan A + 3 2
8.【答案】D. 9.【答案】B.
10.【答案】A【解析】由累加法可得：
1 1 1 1 1 1
+ + ...+ = (2n + 2(n 1) + ...+ (2 1+ 2))，
an an 1 an 1 an 2 a2 a1
1 1 1 1 1 1
所以 = n
2 + n 2，又因为 a a1 = ，所以 n = = ， an a1 2 n(n +1) n n +1
1 1 1 1 1 1 2023
所以 S2023 = 1 + + ...+ =1 = .
2 2 3 2023 2024 2024 2024
11.【答案】C.
【解析】如图，设圆锥的底面半径为 r，球半径 R = 5，球心为 O.
过圆锥的顶点 P 作底面的垂线 PO1，垂足为 O1. 则球心 O 必定在
PO1上，连接 OB，则 OO1 = 25 r
2 .
所以圆锥的高 h = |PO| + |OO1| 或者 h = |PO| – |OO1|. 要求体积的最
大值，所以取 h = |PO| + |OO1|.
1
则V (r ) = πr2 (5 + 25 r2 )，0 < r ≤ 5.
3
π
令 25 r2 = t ，0 < t ≤ 5. 则V (t ) = (25 t2 )(5+ t ) .
3
π π π
V'(t ) = 2t (5 + t ) + (25 t 2 ) = ( 3t
2 10t + 25) = (3t 5)(t + 5 )， 3 3 3
5 5 5
所以 V(t)在 0, 上单调递增，在 ,5 上单调递减，所以当 t = 时，圆锥体积最大.
3 3 3
10 2
此时， r = 25 t2 = .
3
12.【答案】B.
【解析】数列{an}为等差数列，a1 = 1，a5 – a3 = 2a1. 所以公差 d = 1，所以 an = n. 数列{bn}
是等比数列，b = a ，b n1 2 2 = a4. 所以 b1 = 2，b2 = 4，所以 bn = 2 .
1 / 4
π 5π π 3π
所以集合 A = ， ，， . … 12 分
4 4 2 2
（1）证明：连接 AD、CE，因为 P1是正六边形的中心，18.
所以 P1在直线 AD 上. 所以 PP1 平面 PAD.
又因为 PP1⊥平面 ABCDEF，CE 平面 ABCDEF， P
所以 PP1⊥CE. …2 分
正六边形中，因为 AD//BC//EF，且正六边形内角为 120°，
所以∠ADC = 60°.
又因为△DEC 中，DE = DC，∠EDC = 120°， E D
所以∠DCE = 30°. 所以∠ADC + ∠DCE = 90°. F P1 C
A B
所以 AD⊥EC. …4 分
又因为 AD、PP1都在平面 PAD 内，且 AD 与 PP1相交于点 P1.
所以 EC⊥平面 PAD. …5 分
又因为 EC 平面 PEC，所以平面 PAD⊥平面 PEC. …6 分
（2）解：如图所示，因为 BC//EF，所以 BC 与 PF 的夹角等于∠PFE.
连接 P1F，因为 PP1 = 6，P1F = AB = 4，所以 PF = 2 13 . …8 分
PF 2 + EF 2 PE2 1
△PEF 中，PE = PF = 2 13 ，EF = 4，由余弦定理： cos PFE = = .
2 PF EF 13
…10 分
2 2 39
所以异面直线 PF 与 BC 的夹角的正弦值就是 sin PFE = 1 (cos PFE ) = .
13
…12 分
19.解：（1）根据条件，重新画出列联表如下：
比较支持政策 反对政策 合计
学生 35 5 40
教职工 45 45 90
合计 80 50 130
假设 H0：校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相互独立的.
2
130
2 (35 45 5 45) 1053则统计检验量 K = = 16.45 7.879 ，
40 90 80 50 64
所以拒绝假设 H0，我们有 99.5%以上的把握认为校内人员的身份（学生/教职工）和态
度（比较支持/反对）是相关的. …6 分
（2）记样本中反对政策的 5 名学生分别为 A、B、C、D、E，则抽取三人可能取到的组合
有：{ABC}，{ABD}，{ABE}，{ACD}，{ACE}，{ADE}，{BCD}，{BCE}，{BDE}，{CDE}
共 10 种情况. …8 分
其中学生 A 和学生 B 同时被选中的有：{ABC}，{ABD}，{ABE}，共 3 种情况. …10 分
3
所以概率为 . … 12 分
10
20.解：（1）抛物线 C2：y2 = 4ax 的焦点为 B(a, 0)，所以抛物线的准线方程为 x = – a.
6
设点 P(xp, yp). 过点 P 作准线 x = – a 的垂线 PK，垂足为 K. 所以 PB = a = PK = x + a ，p
5
1 2
因为点 P 在第一象限，所以可得点 P 的坐标为 x = a ，代入椭圆方程解得 y = a . p p
5 5
a2 6
根据点 P 在椭圆上，将 P 点坐标代入椭圆方程，得到 = . 即 5a2 = 6b2 = 6(a2 – c2)，
b2 5
c 6
所以 a2 = 6c2，则椭圆 E 的离心率 e = = . …4 分
a 6
（2）因为椭圆 C1的焦距为 2，所以 2c = 2，所以 c = 1，
x2 y2
所以椭圆 C1方程为 + =1 .
6 5
3 / 4
抛物线 C2的方程为 y
2 = 4 6x . 且 B ( 6,0)， OB = 6 . …6 分
因为直线 l 过 B 且不与坐标轴垂直，设直线 l 的方程为 x = my + 6 ，m R，且 m ≠ 0.
x = my + 6,
设点 M(x1, y1)，N(x2, y2)，联立 l 与 C2： 消去 x 得： y
2 4 6my 24 = 0 .
2
y = 4 6x,
所以 y + y = 4 6m ，y1y2 = –24. …8 分 1 2
1 6 2 6
△OMN 面积 S = OB y y = ( y1 + y2 ) 4y1 y2 = 96m
2 + 96 =12 m2 +11 2 = 24 ，
2 2 2
所以 m2 = 3. …10 分
所以 MN = 1+ m2 y1 y2 = 4 6 (m2 +1) =16 6 . …12 分
21.解：（1）因为 f '(x) = 2x + a (x +1)ex ， …2 分
所以函数 f (x)的图象在 x = 2 处的切线斜率为 f '(2) = 4 + 3ae2 ，
又因为 f (2) = 4 + 3ae2 ，
所以函数 f (x)的图象在 x = 2 处的切线方程为： y 4 3ae2 = (4 + 3ae2 )(x 2) . …4 分
1
又因为这条切线过点(3, 14)，代入解得 a = . …6 分
e2
（2）当 x = 0 时，f (0) = ae2 ≥ 0，所以必有 a ≥ 0. …7 分
下面证明，当 a ≥ 0 时，对任意实数 x R，都有 x2 + axex + ae2 ≥ 0 恒成立.
记 g(x) = xex + e2，则 g’(x) = (x + 1)ex，
所以 g(x)在(–∞, –1)上单调递减，在(–1,+∞)上单调递增，
所以 gmin = g(–1) = – e–1 + e2 > 0. …10 分
所以当 x R，都有 a(xex + e2) ≥ 0，
所以当 a ≥ 0 时，对任意实数 x R，都有 x2 + axex + ae2 ≥ 0 恒成立.
综上所述，a 的取值范围是[0, +∞). …12 分
22.解：（1）令 x = 0，可得 t = 2，所以 B(0, ln2)； …1 分
令 y = 0，可得 t = 1，所以 A(e2 – e, 0)； …2 分
2 2 2
所以 AB = (ln 2) + (e2 e) (e2 e) = e2 e = e (e 1)， … 4 分
因为 e > 2，所以 AB 2 . …5 分
（2）因为 B(0, ln2)，所以圆 B 的普通方程为：x2 + (y – ln2)2 = (ln2)2.
展开得到：x2 + y2 – (2ln2)y = 0. …8 分
因为 x2 + y2 = ρ2，y = ρsinθ，
所以得到圆 B 的极坐标方程为 ρ2 = (2ln2)·ρ·sinθ，
化简得：ρ = (2ln2)·sinθ. …10 分
3 3
23.解：（1）方法 1：当 x 时，f (x) = – 4x – 2 ≤ 10，解得：– 3 ≤ x ≤ .
2 2
3 1 3 1
当 x 时，f (x) = 4 ≤ 10 成立，所以 x .
2 2 2 2
1 1
当 x 时，f (x) = 4x + 2 ≤ 10，解得： x 2 .
2 2
综上所述，不等式的解集为[–3,2]. …5 分
方法 2：因为 f (x) = | 2x – 1 | + | 2x + 3 | ≤ | 4x + 2 |，
所以| 4x + 2 | ≤ 10 即可，解得：不等式的解集为[–3,2]. …5 分
（2）f (x) ≥ | (2x – 1) – (2x + 3) | = 4，所以 m = 4. … 6 分
1 1 1 1
所以 a + b = 4，所以 4 = a + b 2 ab ，所以 ，所以 ，
ab 2 ab 4
1 1 2 1
所以 + ，当且仅当 a = b = 2 时，等号成立. …10 分
a2 b2 ab 2
4 / 4
