第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
6.2.2 排列数
基础过关练
题组一 排列的相关概念
1.(多选)下列问题中,属于排列问题的有 ( )
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长,共有多少种不同的选取方法
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动,共有多少种不同的选取方法
C.平面上有五个点,任意三点不共线,这五个点最多可确定多少条直线
D.从1,2,3,4四个数字中任选两个组成一个两位数,共有多少个不同的两位数
2.(2021北京第十三中学开学考试)学号分别为1,2,3,4的四位同学排成一排,若学号相邻的同学不相邻,列举出所有不同的排列: .
3.判断下列问题是不是排列问题,如果是,请列出其所有排列;如果不是,请说明理由.
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票
(2)从集合M={1,2,…,9}中任取两个相异的元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1
题组二 排列数与排列数公式
4.(2021江苏连云港期中)90×91×…×100可表示为 ( )
A. B. C. D.
5.(2021江西九江一中月考)若M=+++…+,则M的个位数字是 ( )
A.3 B.8 C.0 D.5
6.(2022山东莱州一中期中)已知3=4,则x= .
7.(2021江苏苏州第三中学月考)计算:= .
8.求证:·=.
9.(1)(2021江苏常州教学联盟期中)解不等式:3+12≤11;
(2)解方程:=140.
题组三 无限制条件的排列问题
10.(2022浙江宁波镇海中学期末)用1,2,3,4这4个数字可写出的没有重复数字的三位数的个数为 ( )
A.24 B.12 C.81 D.64
11.(2021辽宁丹东期末)来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案有 ( )
A.48种 B.64种
C.72种 D.96种
已知3张卡片的正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,则可以得到多少个不同的三位数
题组四 特殊元素或特殊位置的排列问题
13.(2021北京一零一中学期末)从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字作为平面直角坐标系内点的横、纵坐标,其中不在y轴上的点有 ( )
A.36个 B.30个
C.25个 D.20个
14.由0,1,2,3,4这5个数字组成的五位偶数的个数为 ( )
A.24 B.54 C.60 D.72
15.(2021福建龙岩期末)某校开展研学活动时进行劳动技能比赛,通过初选,选出A,B,C,D,E,F共6名同学进行决赛,决出第1名到第6名的名次(没有并列名次),A和B去询问成绩,回答者对A说:“很遗憾,你和B都未拿到冠军.”对B说:“你当然不是最差的.”试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有 ( )
A.720种 B.600种
C.480种 D.384种
16.(2021福建厦门科技中学月考)身高互不相同的7名运动员站成一排,其中甲、乙、丙三人自左向右按从高到矮排列的排法有 种.(用数字作答)
17.(2022宁夏青铜峡高级中学期末)现有3名男生、4名女生.
(1)若排成前后两排,前排4人,后排3人,则共有多少种不同的排法
(2)若全体排成一排,甲不排在最左端也不排在最右端,则共有多少种不同的排法
(3)若全体排成一排,甲、乙排在两端,则共有多少种不同的排法
题组五 元素相邻的排列问题
18.(2021广东深圳一模)小明与父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐一排.若小明的父母都与他相邻,则不同坐法的种数为 ( )
A.6 B.12 C.24 D.48
19.(2022安徽宿州期末)“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示,它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色(4种颜色全部使用)给这5个区域涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,每个区域只涂一种颜色,则不同的涂色方案有 ( )
A.24种 B.48种
C.72种 D.96种
20.(2022黑龙江哈师大附中期末)中国航天工业迅速发展,取得了辉煌的成就,使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球,发射火星探测器以及建造自己的空间站,扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 ( )
A.24种 B.48种
C.96种 D.144种
题组六 元素不相邻的排列问题
21.(2021四川资阳适应性考试)某夜市的某排摊位上共有9个铺位,现有6个小吃类店铺,3个饮料类店铺打算入驻,若要求饮料类店铺不能相邻,则可以排出的铺位规划总个数为 ( )
A. B. C. D.
22.(2021黑龙江大庆实验中学月考)某班级计划周一前五节课安排语文、数学、外语、物理、化学各一节,现要求数学和物理不相邻,且都不排在第一节,则不同的课表排法的种数为 ( )
A.24 B.36 C.72 D.144
23.(2022湖南长沙一模)某市某中学为了弘扬我国二十四节气文化,特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式种数为 ( )
A.192 B.240
C.120 D.288
能力提升练
题组 排列与排列数的综合应用
(2021湖北武汉二中期末)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于
201 345的六位数的个数为 ( )
A.478 B.479
C.480 D.481
(2022山东济南二模)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于
50 000的偶数共有 ( )
A.60个 B.48个
C.36个 D.24个
3.(多选)(2022福建漳州期末)为弘扬我国古代的“六艺”文化,某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每天开设一门,连续开设6天,则下列结论正确的是 ( )
A.甲、乙两同学从六门课程中各选一门的不同选法共有20种
B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C.课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D.课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
4.(2022湖南岳阳一模)将唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单,其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 种.(结果用数字作答)
5.(2022河南郑州中学月考)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日,将2,0,1,9,10按照任意次序排列成一行,拼成一个6位数,则可得到的不同的6位数的个数为 (用数字作答).
6.(2022浙江金华期末)为庆祝建党100周年,某高校选派3位男同学、3位女同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会,在安排节目顺序的时候,要求男同学先讲,3位女同学不能连着讲,则不同的安排顺序共有 种.
7.(2022安徽亳州月考)3男3女共6名同学排成一行.
(1)女生都排在一起,有多少种排法
(2)女生与男生相间,有多少种排法
(3)任何两个男生都不相邻,有多少种排法
(4)3名男生不排在一起,有多少种排法
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生,女生又不能排在队伍的两端,有多少种排法
答案与分层梯度式解析
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
6.2.2 排列数
基础过关练
1.AD 对于A,因为两名同学分别担任正、副班长,所以是排列问题,A正确;
对于B,因为两名同学参加的志愿者活动与他们的顺序无关,所以不是排列问题,B错误;
对于C,五个点中任取两个点,不涉及顺序问题,因此不是排列问题,C错误;
对于D,四个数字中任取两个组成两位数,与顺序有关,是排列问题,D正确.
2.答案 3142,2413
解析 满足题意的排列为3142,2413.
3.解析 (1)是排列问题.列出每一个起点和终点的情况,如图所示.
故应该有12种机票.
(2)不是排列问题.焦点在x轴上的椭圆,其方程中的a,b必满足a>b,即取出的两个数哪个是a,哪个是b是确定的.
4.B
5.A 当n≥5时,=1×2×3×4×5×…×n=120×6×…×n,此时的个位数字为0,
∴++…+的个位数字为0,
又∵+++=1+2+6+24=33,
∴M的个位数字为3.
故选A.
6.答案 6
解析 由题意可知即x≤8,x∈N*.
因为3=4,所以3×=4×,即3=,即x2-19x+78=0,
解得x=6(x=13舍去).
7.答案
解析
=
===.
8.证明 ∵·=·(n-m)!
=·(n-m)!
=(n-1)!,
=(n-1)!,
∴·=.
9.解析 (1)由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x,化简得2x2-7x+3≤0,
即(2x-1)(x-3)≤0,所以≤x≤3.
因为x≥2,且x∈N*,
所以不等式的解集为{2,3}.
(2)易知所以x≥3,x∈N*,
由=140得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2),化简得(4x2-35x+69)·(x-1)=0,
解得x1=3,x2=(舍去),x3=1(舍去).
所以原方程的解为x=3.
10.A 由题意知,从4个数字中选出3个数字进行全排列,共可写出=24个没有重复数字的三位数.
故选A.
11.A 每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,只有三种可能:中国、英国;中国、瑞典;英国、瑞典.三组中,中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,本国裁判可以互换,三组对应三个场地,进行全排列,不同的安排方案种数为=2×2×2×6=48.
故选A.
12.解析 “组成三位数”这件事,分两步完成:
第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即对3个元素进行全排列,即;
第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种选法,即23.
根据分步乘法计数原理,可以得到×23=48个不同的三位数.
13.C 因为点不在y轴上,所以点的横坐标不能为0,
分两类考虑,第一类:坐标含0,且0为点的纵坐标,共有5个满足题意的点;
第二类:坐标不含0,共有=20个满足题意的点.
根据分类加法计数原理可得共有5+20=25个满足题意的点.
故选C.
14.C 当个位数字是0时,五位偶数的个数为=24,
当个位数字不是0时,五位偶数的个数为=36,
故所求五位偶数的个数为24+36=60.
故选C.
15.D 由题意,可知A,B均不是第一名且B不是最后一名,B的限制最多,故先排B,有4种情况,
再排A,也有4种情况,余下4人有=24种情况.
由分步乘法计数原理知有4×4×24=384种情况.
故选D.
16.答案 840
解析 先排除甲、乙、丙之外的4名运动员,有种排法,在剩余的3个位置上,将甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,只有1种排法.故符合题意的排法一共有=840(种).
17.解析 (1)解法一:分两步完成,第一步,选4人站前排,有种排法,第二步,余下3人站后排,有种排法,共有=5 040种不同的排法.
解法二:将7个人排成前后两排,前排4人,后排3人,相当于7个人的全排列,故共有=5 040种不同的排法.
(2)解法一(元素分析法):先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,故共有5×=3 600种不同的排法.
解法二(位置分析法):因为甲不站两端,所以先从甲以外的6个人中任选2个人站在两端,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置,有种排法.由分步乘法计数原理,可知共有=3 600种不同的排法.
(3)首先考虑两端的位置,由甲、乙去排,有种排法;再让其他人站中间5个位置,有种排法.根据分步乘法计数原理,可知共有=240种不同的排法.
18.B 先将小明父母与小明三人进行捆绑,其中小明居于中间,共有种不同的坐法,将其看成一个元素,再与其他两人进行全排列,有种不同的坐法,故不同坐法的种数为=12.故选B.
19.B 根据题意,分2步进行分析:
涂区域①、②、⑤,由这三个区域两两相邻,可知有=24种涂色的方法;
涂区域③、④,由③、④均与其他区域相邻,可知必须有1个区域选第4种颜色,有2种可能,当1个区域选好后,剩下的区域只有1种选法,则区域③、④有2种涂色方法,故共有2×24=48种涂色的方法.故选B.
20.C 首先将程序B和C捆绑在一起,再和除程序A之外的3个程序进行全排列,最后将程序A排在第一步或最后一步,根据分步乘法计数原理可得,实验顺序的编排方法共有=2×24×2=96(种).故选C.
21.A 先将6个小吃类店铺进行全排列,再从这6个小吃类店铺形成的7个空位中选3个安排饮料类店铺,故可以排出的铺位规划总个数为.故选A.
22.B 由于数学和物理都不排在第一节,所以可先从其他3门课中任选1门排在第一节,有3种方法;然后将含数学和物理的4门课排在第二至第五节:先排数学和物理之外的2门,有种排法,再把数学和物理插入到这两门课形成的3个空位中,有种排法.根据分步乘法计数原理,可知有3=36种不同的课表排法.
23.A 由题意知,当只考虑“立春”和“惊蛰”时,将其捆绑在一起,利用捆绑法可得,有=240种不同的放置方式.
当“惊蛰”与“立春”和“清明”均相邻,即“惊蛰”在中间,“立春”“清明”分布在两侧时,将三者捆在一起,有2=48种不同的放置方式.
所以最终满足题意的放置方式种数为240-48=192.
故选A.
能力提升练
1.B 用数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的六位数的个数为5=600.以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为=120,由于201 345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个,所以没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为600-120-1=479.故选B.
2.C 先排个位,然后排万位,再排其他位置,
所以由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中小于50 000的偶数共有2×3×=36(个).
故选C.
3.BC 对于A,甲、乙两同学从六门课程中各选一门的不同选法有=30(种),A不正确;
对于B,前5天中任取1天排“数”,再任意排其他五门体验课程,共有5=600种排法,B正确;
对于C,“礼”“书”排在相邻两天,可将“礼”“书”视为一个元素,与其他几个元素全排列,则不同排法共有2=240(种),C正确;
对于D,先排“礼”“书”“数”,再用插空法排“乐”“射”“御”,不同排法共有=144(种),D不正确.
故选BC.
4.答案 36
解析 先考虑相声、跳舞相邻的情况,将相声、跳舞这两个节目进行捆绑,形成一个大元素,
然后将这个“大元素”与其他三个节目进行全排列,共有=48种排法.
接下来考虑相声与小品、跳舞都相邻的情形,需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑,其中相声节目位于中间,看成一个元素,然后将这个元素与其他两个节目进行排列,
此时共有=12种排法.
综上所述,由间接法可知,共有48-12=36种不同的排法.
5.答案 84
解析 根据题意,将2,0,1,9,10按照任意次序排列成一行,其中“10”是一个整体,则有=120种情况,
其中数字“0”在首位的情况有=24(种),
数字“1”和“0”相邻且“1”在“0”之前的排法有=24(种),
则可以得到120-24-=84个不同的6位数.
6.答案 252
解析 因为3位女同学不能连着讲,故3位女同学的安排情况分为两种:
第一种,3位女同学全部不连着讲,由于男同学先讲,故有=36种情况;
第二种,3位女同学中有2位连着讲,由于男同学先讲,则先从3位男同学中选一位作为第一个宣讲者,再从3位女同学中选2位同学连着讲,有3种选择,之后安排剩下的2位男同学,最后将2位连着讲的女同学和另一位女同学插入到三位男同学形成的除去最开始的三个空位上即可,故有×3×=216(种).
综上,共有36+216=252种不同的安排顺序.
故答案为252.
7.解析 (1)将3名女生看作一人,则问题即为4个元素的全排列,有种排法.又3名女生内部可互换位置,有种排法,∴共有=144种排法.
(2)男生自己排,女生也自己排,然后相间插入,此时有2种插法,∴女生与男生相间共有2=72种排法.
(3)女生先排,则女生之间及首尾共形成4个空位,任取其中3个空位安插男生即可,因此任何两个男生都不相邻的排法共有=144(种).
(4)直接分类较复杂,可用间接法处理,即从6个人无限制条件的排法总数中减去3名男生排在一起的排法种数,故3名男生不排在一起的排法共有-=576(种).
(5)先将2名女生排在男生甲、乙之间,2名女生可互换位置,且甲、乙的位置也可以互换,这样就有种排法,然后把他们4人看成一个元素,将这一元素及另1名男生排在首尾,有种排法,最后将余下的女生排在其中间,有1种排法,故总排法有=24(种)
