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慧德普通高中2022-2023学年高二下学期第一次月考
数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数 ， 是 的共轭复数，则 ( )
A. B. C. D. 13
2. 不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是 ( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,0) D.
3. 已知抛物线： 的焦点为 F，点 A在抛物线上，且 ，抛物线 ： 的焦点为 ，若点 A的纵坐标为 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥 P-ABCD是阳马，PA⊥平面 ABCD，且 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 在区间 内的图象是( )
A. B. C. D.
6. 已知点P 是双曲线C:右支上一点， 、为双曲线 C的左、右焦点，若的周长为16，点 O为坐标原点，则 ( )
A.20 B.-20 C.40 D.-40
7. 已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
8. 已知点 ， 分别为椭圆C： 的左、右焦点，点M在椭圆C上， 线段 MF1的中点在y 轴上，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示，用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆，若圆柱的底面圆半径为 2，，则 ( )
A. 椭圆的长轴长等于4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
10. 已知棱长为 2的正方体 中，过 的平面 交棱AA1于点E，交棱CC1于点 F，则( )
A.
B. 存在 E，F ，使得 EF⊥平面DBB1D1
C. 四边形 面积的最大值为
D. 平面 分正方体所得两部分的体积相等
11. 在平面直角坐标系 中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆 C相交，则 值可能为( )
A.0 B. C.1 D.
12. 已知双曲线 的左焦点与抛物线 的焦点重合， 是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 双曲线的实轴长为 4
C. 双曲线的一条渐近线方程为
D. P为双曲线上一点若 ，则
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知向量， ， 是空间的一个单位正交基底，向量， ， 是空间的另一个基底．若向量在基底， ， 下的坐标为 (3,5,9)，则 在基底 ， ， 3下的坐标为______．
14. 若函数 的值域为 R，则 a的取值范围是______ ．
15. 双曲线 与双曲线 的离心率分别为和 ，则 ______．
16. P为曲线 ,(为参数) 上一点，则它到直线 为参数)距离的最小值为______．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分 )
已知函数．
(Ⅰ) 求 的定义域；
(Ⅱ) 设 是第一象限角，且 ，求的值．
18. (本小题 12.0分 )
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想指的是“每个大于2 的偶数都可以表示为两个素数的和”，如 16=13+3现从不超过 16的素数中， 随机选取两个不同的数 (两个数无序 )注：不超过 16的素数有 (2， 3， 5， 7， 11， 13)
(1)列举出满足条件的所有基本事件；
(2)求事件“选取的两个数之和等于 16”的概率．
19. (本小题12.0分)
已知抛物线 C：的焦点为F，准线为l ，l 与y 轴交点为 P，点 M在抛物线 C上， 过点 M作MN ⊥l于点N，如图1 ，已知，且四边形 PFMNN的面积为 14．
(1)求抛物线 C的方程；
(2)若正方形 ABCD的三个顶点 A，B，C都在抛物线 C上( 如图2) ，求正方形 ABCD面积的最小值．
20.( 本小题 12.0分 )
如图在四棱锥 P-ABCD中， 是正三角形，E 为 PB中点．
(1)求证：CE平面 PAD；
(2)若 是边长为2 的正三角形，，求三棱锥 B-PCD的体积．
21. (本小题12.0分)
已知函数在 上的最大值与最小值之和为 .
(1)求实数a 的值；
(2)对于任意的，不等式 恒成立，求实数 k的取值范围．
22. (本小题12.0 分)
已知椭圆 ，过椭圆的上顶点与右顶点的直线 ，与圆 相切，且椭圆 C的右焦点与抛物线 的焦点重合；
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过点 O作两条互相垂直的射线与椭圆 C分别交于 A，B 两点，求 面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】 C
【解析】解： ，
，即 ，
．
故选： C．
根据已知条件，先对 化简，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】 B
【解析】略
3.【答案】 B
【解析】解：因为 ，所以 ，解得 ．
所以 ，
所以 ，
故选： B．
利用已知条件求出 p，然后得到抛物线方程，求出焦点坐标，然后求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
4.【答案】 C
【解析】解：根据向量的线性运算，
，
所以 ．
故选： C
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】 B
【解析】解： ,
当 时， ，函数为减函数，且函数值 ，
当 时， ，函数为增函数，且函数值 ，
观察每个选项，只有 B符合
故选： B
化为分段函数，根据函数的单调性和函数的值域即可判断
本题考查了函数图象和识别，属于基础题
6.【答案】 B
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法．
利用焦距，结合三角形的周长，以及双曲线的定义求解三角形的边长，利用向量的数量积求解即可．
【解答】
解：因为 的周长为 16，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故选： B．
7.【答案】 C
【解析】解：设 BC的中点 P的坐标是 ，
∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ，
，即 ，
化简得 ，
∴BC的中点的轨迹方程是 ，
故选： C．
设 BC的中点的坐标，由弦长公式和两点间的距离公式列出式子，化简后可得 BC的中点的轨迹方程．
本题考查直线与圆相交所截的弦长问题，以及动点的轨迹方程，属于基础题．
8.【答案】 D
【解析】解：点 分别为椭圆的左、右焦点，
点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，可得 ，
所以： ，可得 ，
可得 ．
故选： D．
利用已知条件，推出 ，然后求出 abc的关系，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
9.【答案】 BCD
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、圆锥曲线中的探索性问题，属于中档题．
设椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为 b，半焦距为 c，由题意得出，计算出a 的值， 然后再逐一对选项进行分析即可．
【解答】
解：设椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，
椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则 ，得 a=4，故 A 错误；
又 b=2，则 ，得 ，
椭圆的标准方程可以是 ，故 B 正确；
离心率为 ，故 C 正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ，故 D 正确．
故选： BCD．
10.【答案】 ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量及其应用，线面垂直的判定等知识，属于中等题．
对于选项 A，通过面面平行的性质可得；对于选项 B 通过向量法表示线面垂直，解出方程即可判断；对于选项 C，通过作 交于G，然后求出点G的坐标，最后表示出四边形 的面积，求得四边形 面积的最小值为 ；对于选项 D，由正方体的对称性可知平面 分正方体所得两部分是全等的，故体积相等．
【解答】
解：如图所示：
建立空间直角坐标系 A-xyz，则有：
，
，
不妨设 ， ，则
由直线 均在平面 内，平面 平面 ，平面 与平面 、 平面 分别交于 、 ，根据平面平行的性质，可知 ，
同理： ，故四边形 为平行四边形，则 ，故 A 正确；
由 ，可得： ，
则 ，又 ，
要使得 平面 ，则有： ，
解得： ，
故 B 正确；
设四边形 面积为S， ，
设 交 于 ，设 ，则有： ，
即 ，
且 ，即 ．
解得： ，
则有： ，
故 ，
当 时， S取得最小值为 ，故 C 错误；
对于选项 D，由正方体的对称性可知平面 是平分正方体，则所得两部分的体积是相等的，故 D 正确．
故选 ABD．
11.【答案】 BCD
【解析】解：由于圆C的方程为 ，圆心为 ，
由题意可知 到直线 的距离应小于2 ，
即
解得 ，
故选： BCD．
由于圆 C的方程为 ，圆心为 ，结合圆心到到直线 的距离应小于 2，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，需要学生能够熟练掌握公式，属于基础题．
12.【答案】 BD
【解析】解：对于 A，抛物线 的准线方程为 ，选项 A 错误；
对于 B，依题意， ，解得 a=2，故双曲线的实轴长为4 ，选项 B 正确；
对于C，由选项 B 可知，双曲线方程为 ，其渐近线方程为 ，选项 C 错误；
对于 D，由双曲线的定义可知， ，即 ，解得 舍去，或 ，选项 D 正确．
故选：BD．
由抛物线的性质可判断 A；求出a 的值可判断B；由双曲线的渐近线方程可判断 C；由双曲线的定义可判断 D．
本题主要考查双曲线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】 (4,-1,3)
【解析】解：由题意有 ，
设 ，
则有 ，得 ，
故答案为： ．
由空间向量基本定理得： ，得 ，得解．
本题考查了空间向量基本定理，属简单题．
14.【答案】
【解析】解： 的值域为 R，
，
解得，或 ，
故答案为： ．
由题意可得 ，从而解 的取值范围．
本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有： 1、观察法， 2、配方法， 3、反函数法，4 、 判别式法； 5、换元法， 6、数形结合法，7 、不等式法， 8、分离常数法， 9、单调性法， 10、 利用导数求函数的值域， 11、最值法， 12、构造法， 13、比例法．要根据题意选择．
15.【答案】 1
【解析】解：由题意知： ，
，
故答案为： 1．
利用双曲线的方程求出离心率，然后化简 ，求解即可
本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．
16.【答案】 1
【解析】解：将曲线 C1化成普通方程是 ，
圆心是 (1,0)，
直线 C2化成普通方程是 ，
则圆心到直线的距离为2 ，
曲线 C1上点到直线的距离为1 ，该点为 (1,1)，
故答案为：1 ．
首先，将曲线C1和曲线 C2化为普通方程，然后，求解最小值即可．
本题重点考查了曲线的参数方程、曲线的普通方程及其互化等知识，属于中档题．
17.【答案】解：( Ⅰ )由 ，得 ，
，
故 的定义域为 ；
(Ⅱ )，且 是第一象限角，
由 ，可解得 ．
故
【解析】 Ⅰ 由分式的分母不为 0求得 x的范围可得函数定义域；
Ⅱ 由已知利用同角三角函数基本关系式求得 ， 的值，再由诱导公式及两角差的余弦求解 的值．
本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用，是基础题．
18.【答案】解： (1)不超过 16的素数有 2， 3，5 ， 7， 11， 13共 6个，从中随机选取两个不同的数的所有基本事件为：
共 15个．
（2）记“选取的两个数之和等于16”为事件 A，因为 3+13=5+11=16，所以其和等于 16的有 2个基本事件，
故 ．
【解析】本题主要考查古典概型概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)不超过 16的素数有 2， 3，5 ， 7， 11， 13共 6个，随机选取两个不同的数只需不重不漏一一列举即可．
（2）由 3+13=5+11=16可得“选取的两个数之和等于 16”的基本事件个数为 ，进一步利用古典概型概率计算公式计算出所求事件概率即可．
19.【答案】解： (1)设 ，
在 中， ，则 ，
因为，
所以 ，
所以 ，
即 ，
四边形 的面积
，
解得 ，
所以抛物线的方程为 ．
(2)设 ，直线BC的斜率为 ，
不妨设 ，则 ，且 ，
因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
即 ，
即 ，
将 ，代入得 ，
所以 ，所以 ，
所以正方形 的面积为
.
因为 ，所以 (当且仅当 时取等号 )，
因为 ，所以 ，
所以 (当且仅当 时取等号 )，
所以 (当且仅当 时取等号) ，
所以正方形 的面积最小值为32．
【解析】 (1)设 ，可推出 ，即 ，通过四边形 PFMN的面积为 14，求出 p，从而可得抛物线的方程．
(2)设 ，直线 BC的斜率为k ，不妨设 ，则 ，
由斜率公式可得 ，又 ，可得 ，从而可得 ，
，由 可得 ，则 ，所以正方形 的面积为 ，然后利用基本不等式求其最小值．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20.【答案】 (1)证明：取 PA的中点 F，连结 EF，FD，
在 中，E，F分别为 PB，PA的中点，则 ，且
，
在 中， ，
所以 ，
因为 ，
所以 且 ，
则四边形 DCEF为平行四边形，即 ，
因为 平面PAD ，
所以 平面 PAD；
(2)解：取 AD的中点为O，连结 PO，OB，
则有 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
则 PO为三棱锥 的高，
因为 ，
所以 ，
故 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
【解析】 （1）证明四边形 DCEF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)先利用线面垂直的判定定理证明 PO为三棱锥的高，再由棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了线面平行的判定定义、线面垂直的判定定理的应用，涉及了棱锥的体积公式的应用．
21.【答案】解： (1)因为函数 在 上的单调性相同，
所以函数 在 上是单调函数，
所以函数 在 上的最大值与最小值之和为 ，
所以 ，解得 或 (舍 )，
所以实数 a的值为 2．
(2)由(1) 可知 ，因为对于任意的 ，不等式 恒成立，
所以对于任意的 恒成立，
当 时， 为单调递增函数，
所以 ，所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【解析】本题主要考查函数恒成立问题，考查函数单调性的应用以及最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由函数 在 上是单调函数，从而可得 在 上的最大值与最小值之和为 ，计算即可求解 a的值；
(2)将已知不等式转化为对于任意的 恒成立，求出 的最大值，即可求解k 的取值范围．
22.【答案】解： (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l为 ，即 ，
由直线与 相切，得 ， ①
∵抛物线 的焦点为 ．
即 ，代入 ①得 ，
即 ，得 （舍去） ，
．
故椭圆 的方程为 ；
（2）当两射线与坐标轴重合时， ；
当两射线不与坐标轴重合时，设直线 AB的方程为 ，
与椭圆 联立消去 y，得 ．
即 ，
把 代入，得 ，
整理得 ，
到直线 AB的距离 ．
，
当且仅当 时取“= ”号．
由 ，得 ，
，即弦 AB的长度的最小值是 ．
∴三角形的最小面积为 ．
综上， 面积的最小值为 ．
【解析】 (1)写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程，由的到直线的距离得到关于a ，b 的等式， 由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的半焦距长，结合隐含条件联立可得a ，b的值，则椭圆方程可求；
当两射线与坐标轴重合时，直接求出 面积，不重合时，设直线 AB方程为 ， 与椭圆方程联立，结合 得到 k与 m的关系，进一步由点到直线的距离得到 O到 AB的距离，再利用基本不等式求得的最小距离，代入三角形面积公式求得最小值．
本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与计算能力，考查三角形面积最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．
