丰城第九高级中学2022-2023学年高二上学期期末考试
数学试卷考试时间：120分钟 试卷总分：150分
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
4.已知两个变量和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组，的样本数据如下表所示：
1 2 3 4 5
0.5 0.6 1 1.4 1.5
则两变量之间的线性回归方程是（ ）
A． B． C． D．
5、有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，丙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的、、，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是( )
A.0.83 B.0.79 C.0.21 D.0.17
6、关于的方程有唯一解，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
7、将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是( )
A.戏剧放在中间的不同放法有7!种 B.诗集相邻的不同放法有6!种
C.四大名著互不相邻的不同放法有种 D.四大名著不放在两端的不同放法有种
8、19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则b的值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9、下列说法中，正确的命题是( )
A.对于任意两个事件A与B，如果，则事件A与B独立
B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
C.，
D.随机变量X服从正态分布，若，则.
10、已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
11、若，其中，，则( )
A. B. C. D.
12、已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是( )
A. B.为等腰直角三角形 C.直线AB的斜率为 D.的面积为4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13、的展开式中的系数为_________.；
14、过点且与圆相切的直线的方程是__________.
15、已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点.若，则________.
16、在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算)
17.（10分）已知展开式中前三项的二项式系数和为16.
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的系数.
18.（12分）由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）
（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；
（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.
19.（12分）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标.
20.（12分） 如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，
，，已知．
(1)若，证明：；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值．
21、（12分）北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；
（2）设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；
22．（12分）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.丰城九中2022-2023学年高二年级上学期期末考试数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B C D D C C ABCD ACD ABC AC
三、填空题
13、 60 14、或 15、 7 16、
四、解答题
17、 (1) 由题意得,
即 ， 解得 或 （舍去）.…………………………5分
(2) 二项展开式的通项为, 今 得,………8分
所以展开式中含 项的系数为.…………………………10分
18.（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.个.………4分
（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个………………8分
（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个…………………………12分
19、（1）由题意可设圆心，因为y轴被圆M截得的弦长为4，
所以，又，
则，化简得，解得，则圆心，………3分
半径，…………………………5分
所以圆M的标准方程为.…………………………………6分
（2）点关于x轴的对称点为，……………………7分
则，………………8分
当且仅当M，P，三点共线时等号成立，
因为，则直线的方程为，即，………10分
令，得，则.……………12分
20、（1）连结，由于为中点，且，故………1分
又有，而，故可知，则，……3分
又 所以平面，…………4分
而平面，故．…………5分
（2）取的中点，连接，
在中，，，为中点，
所以，．
在中，，，所以．
又∵，．∴．
又∵，，平面，平面，
∴面．所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，…………7分
则，则．
设平面的一个法向量为，则，
所以．……………………9分
易知为平面的一个法向量，，…………11分
由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角平面角的余弦值为．……12分
（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，
则.……………………4分
（2）X的可能取值为2，3，4.…………………6分
，，，………9分
X的分布列为：
X 2 3 4
p
数学期望………………………12分
（1）依题可得解得………………………3分
所以椭圆的方程为；………………4分
（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，……………………5分
所以，即，……………7分
而，即，
化简可得，
，
化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.…………………………9分
所以直线的方程为，易知，
设定点
，…………………………10分
因为，且，
所以，所以，
设，
所以，
当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.…………………12分
.
