2023年陕西省西安市碑林区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在数轴上，点、分别表示数、，且若、两点间的距离为，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
2. 如图将一块三角板如图放置，，，点，分别在，上，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对边相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边垂直 D. 对角线互相平分
5. 如图，在中，，，点、分别在边和边上，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，如果，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，是在同一坐标系内作出的一次函数、的图象，设：：，则方程组的解是( )
A. B. C. D.
7. 二次函数图象经过点，，且，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
8. 已知，为实数，下列说法：若，且，互为相反数，则；若，，则；若，则；，则是负数，其中正确的是 ．
9. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．
10. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比约是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为，则此人的肚脐到足底的长度约是______精确到．
11. 如图，在菱形中，，点在的延长线上，在的角平分线上取一点含端点，连接并过点作所在直线的垂线，垂足为设线段的长为，的长为，关于的函数图象及有关数据如图所示，点为图象的端点，则时，______．
12. 如图，在菱形中，对角线，分别为和，于点，则 ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
13. 计算：
；
已知，求的值．
14. 计算：
；
．
四、解答题（本大题共11小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
解不等式组：．
16. 本小题分
如图，点、分别在、上，，，请说明：．
17. 本小题分
如图，在中，，、分别为、上一点，若，求证：．
18. 本小题分
如图，直角坐标系中的顶点都在网格点上．
将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，则的三个顶点坐标分别是 ， 、 ， 、 ， ；
请在图中画出；
的面积为 平方单位．
19. 本小题分
如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，转盘可以自由转动．
转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率；
转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率．
20. 本小题分
杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，雷峰塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，雷峰塔的塔尖点正好又在同一直线上点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上，这时测得米，米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度．
21. 本小题分
如图是一个运算程序：
若，，求的值；
若，输出结果的值是输入的值的两倍，求的值．
22. 本小题分
国家规定：中小学生每天在校体育活动时间不少于为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图部分如图所示组：；组：；组：；组：．
请根据上述信息解答下列问题：
本次调查的人数为______，组对应扇形的圆心角度数为______；
请补全频数分布直方图；
若该市约有名初中生，请估计其中达到国家规定的体育活动时间的学生人数．
23. 本小题分
如图，在中，，点在边上不与点，点重合，连接，．
设时，求的度数；
若，，求的长．
24. 本小题分
如图，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
如图，求该抛物线的函数解析式．
当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？保留根号
当水面上升米时，水面宽度减少多少米？保留根号
25. 本小题分
如图，在中，，，，点是斜边上的动点，联结，垂直平分交射线于点，交边于点．
如图，当点是斜边上的中点时，求的长；
联结，如果和相似，求的长；
当点在边的延长线上，且时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
、互为相反数，
、两点间的距离为，
点、分别在距离原点的位置上，
点表示的数为．
故选：．
根据，、两点间的距离为判断出点、分别表示的数即可．
本题考查数轴上点的位置以及相反数，解题关键是找到点、分别所在的位置．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
直接利用平行线的性质得出，进而得出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，正确应用平行线的性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：．
根据合并同类项的法则判断；根据单项式除以单项式的法则判断；根据同底数幂的乘法法则判断；根据幂的乘方法则判断．
本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：矩形具有的性质：有对边平行且相等，对角线互相平分，四个角是直角邻边垂直，菱形具有的性质：有对边平行且相等，对角线互相垂直，四边相等，
矩形具有而菱形不具有的性质是邻边垂直，
故选：．
利用矩形和菱形的性质可直接求的．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：过作于点，如图，
，，，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
，
故选：．
过作于点先求出，，则，所以，设，则根据折叠的性质得出，，在中，，利用勾股定理解列出，解得，即求出．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：直线和直线相交于点，
方程组的解是．
故选：．
利用两直线的交点坐标满足两函数解析式可判断方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7.【答案】
【解析】解：二次函数图象经过点，，
，，
，即，
，即，
或，
解得，
解得，
或．
故选：．
先求得，，根据，得到，解不等式组即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．准确理解二次函数的性质，正确求解不等式组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：若，且，互为相反数，即，则，说法正确；
若，，即，，则，说法正确；
若，即，则，即，说法错误；
若，则不一定是负数，例如，满足，但是是正数，说法错误．
故答案为：．
根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了实数的性质以及运算法则，熟知实数的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由图可知，，，且，
，
所以．
故答案为：．
根据数轴判断出，，且，再根据绝对值的性质化简可解答．
本题考查了绝对值，数轴，是基础题，判断出、的正负情况是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设此人的肚脐到足底的长度为，则人体的头顶到肚脐的长度为，
由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
此人的肚脐到足底的长度约是，
故答案为：．
设此人的肚脐到足底的长度为，则人体的头顶到肚脐的长度为，然后根据黄金分割的定义可得得：，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：为图象端点，
与重合，
．
四边形为菱形，，
，此时，
，即，
当时，，即；
过点作于设．
，
，，
在中，，即，
，
即，
故答案为：．
证明四边形为菱形，，则，则，即，当时，，即；在中，利用，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到勾股定理的运用、菱形的性质、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
12.【答案】
【解析】解：如图，设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
13.【答案】解：原式；
方程变形得：，
开方得：．
【解析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用立方根定义计算，合并即可得到结果；
已知方程变形后，开方即可求出解．
此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解：
；
．
【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；
先计算括号内的，再把除法变为乘法约分即可．
本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式以及分式的混合运算，熟记公式和根据分式的基本性质会把分式通分和约分是解决问题的关键．
15.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为：．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
16.【答案】解：，
，两直线平行，同位角相等，
，
，等量代换，
，内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
【解析】根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可得出．
本题考查了平行线的性质和判定知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
17.【答案】证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
．
【解析】先根据条件得出，，再根据判定≌，即可得到．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图所示：、、；
故答案为：，；，；，；
如图所示：，即为所求；
的面积为：．
故答案为：．
直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
利用中各点位置，画出符合题意的图形；
利用所在矩形面积，减去周围三角形面积，进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】解：由图得：红色扇形的圆心角为，
故转动一次，指针指向红色区域的概率为；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，指针两次都落在蓝色扇形内的结果有种，
指针两次都落在蓝色扇形内的概率为．
【解析】根据概率公式即可得出答案；
画树状图，共有种等可能的结果，指针两次都落在蓝色扇形内的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：根据题意得米，米，米，米，
，
∽，
，即，
，
∽，
，即，
由得，解得米，
把代入得，解得米，
答：雷峰塔的高度为米．
【解析】先证明∽，利用相似比得到，再证明∽，利用相似比得到，由得，解得米，然后把代入可求出的长．
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
21.【答案】解：，，
，
．
由已知条件可得，，则，
当，即时，可得，
解得，
此时，不符合题意，舍去；
当，即时，可得，
解得，
此时，符合题意，
综上，．
【解析】根据、的值和运算程序得出，代入即可得出答案；
由已知条件可得，，然后根据运算程序分和两种情况，分别列出关于的方程，解方程即可得出的值，再由的值是的值的两倍，求解即可．
本题考查了代数式求值，解一元一次方程，把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值，也考查了观察图表的能力．
22.【答案】
【解析】解：组有人，占，
总人数为人，
组所占的百分比为，
组所对的圆心角为，
故答案为：，；
组的人数为人，
统计图如下：
优秀人数所占的百分比为，
达到国家规定体育活动时间的学生人数大约为人．
根据组的人数和百分比即可求出总人数，先算出组所占的百分比，再求出对应的圆心角；
根据总人数和条形统计图即可求出组人数，再补图；
根据达到国家规定的体育活动时间的学生人数的百分比即可估算出达到国家规定的体育活动的人数．
本题主要考查统计图形的应用，最关键的是得出抽查人数，只需要看两个统计图里都已知的量即可，像中位数，众数，平均数这样的统计量中考比较爱考，要牢记它们的概念和计算公式．
23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
解：过点作于点，于点，
设，则，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
．
【解析】由等腰三角形的性质得出，则可求出答案；
过点作于点，于点，由勾股定理可得出，由勾股定理得出，则可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
24.【答案】解：设该抛物线的函数解析式为，
由已知可得，点的坐标为且点在该抛物线上，
，
解得，
即该抛物线的函数解析式为；
将代入，
得，
解得，
，
，
，
即水面宽度增加米；
将代入，
得，
解得，
此时水面的宽为：，
当水面上升米时，水面宽度减少米．
【解析】根据平面直角坐标系中的函数图象，可以设抛物线的解析式为，然后将代入，即可得到抛物线的解析式；
将代入求出对应的的值，然后即可得到的长，然后减去的长，即可得到水面宽度增加多少米；
仿照的解法，可以得到水面宽度减少多少米．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：连接，，如图：
，，，
，，
是中点，
，
是的垂直平分线，
，
是中点，，
，
，，
是的垂直平分线，
，，
，，
，，
，
∽∽，
，，
，，
解得，，
；
当∽时，如图：
设，则，
，
，
解得，
；
当∽时，如图：
设，则，
，
，
解得，
；
综上所述，和相似，的长为或；
连接，过作于，如图：
，
，
，
即，
设，则，
，，
，，
在中，，
，
解得或舍去，
，
的长是．
【解析】连接，，由，，，得，，而是中点，知，从而，证明∽∽，可得，，解得，，即可得；
分两种情况：当∽时，设，则，有，解得；当∽时，设，则，可得，解得，即可得和相似，的长为或；
连接，过作于，由，有，设，则，在中，得，解方程即可得到答案．
本题考查直角三角形中的相似问题，涉及勾股定理及应用，垂直平分线等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及应用．
第1页，共1页
