2023年湖北高一名校3月联考
高一数学试卷
考试时间：2023年3月14日下午15：00-17：00试卷满分：150分
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上．
2、回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
一．单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 全集，设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A与集合B，运用集合的补集、交集计算即可.
【详解】因为或，
所以或，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：B.
2. 在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】以为一组基底，利用平面向量的线性运算得到的表达式，进而得到，由此得解.
【详解】因为为边的中点，所以，，
因为，所以，
所以，
又，因此有，则.
故选：C
3. 已知，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解相关不等式，即可求得a的取值范围.
【详解】对于，有，
当时，对数函数在上为减函数，
所以，可得，
当时，对数函数在上为增函数，
所以，可得；
所以对于，有或；
对于，有，
因为在上为减函数，所以；
对于，有，
因为在上为增函数，所以；
综上：或，即.
故选：A.
4. 已知是第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求出的值.
【详解】因为，
所以
又，
∴
，，
，
.
故选：B.
5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数单调性借助中间值即可得出，再利用中间值可得，综合即可得出结论.
【详解】由对数函数单调性可知，，可得；
又因为，即，所以，即；
而，即，所以，即，可得；
所以.
故选：A
6. 已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数的最小正周期，可求得，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出，依据，即可求得答案.
【详解】由题意知，函数的最小正周期,则,得,
所以，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
因为该图象关于原点对称，则 ，所以
当时，，，不合题意，当时，，
又，所以当时，取，当时，，不合题意，
故最大值为，
故选：C
7. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的对称中心为，且与函数的图象有且仅有一个交点，则k的值为（ ）
A. B. C. 16 D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得是奇函数，利用奇函数的定义计算出，然后由函数的图象与有且仅有一个交点可得有且仅有一个解，计算判别式即可
【详解】由题意可得的对称中心为等价于是奇函数，
因为
所以，解得，
所以，
因为函数的图象与有且仅有一个交点，
所以，即有且仅有一个解，
，解得.
故选：D
8. 如图，假定两点P、Q以相同的初速度运动，分别同时从A、C出发，点Q沿射线做匀速运动，；点P沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义x为y的纳皮尔对数，对应关系为（其中e为自然对数的底数，），则P从靠近A的第一个四等分点移动到靠近B的三等分点经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A. 0.7秒 B. 0.8秒 C. 1.1秒 D. 1.2秒
【答案】B
【解析】
【分析】设点运动到靠近点的第一个四等分点时，，设点运动到靠近点的三等分点时，，计算出、，可求得的值，即为所求.
【详解】由题意可知，、两点的初速度为单位/秒，
设点运动到靠近点的第一个四等分点时，，则，
可得，
设点运动到靠近点的三等分点时，，则，
可得，
故所求时间为（秒），
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数是幂函数，且在单减，则
C. 命题“”的否定是“”
D. 函数过定点和
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义知A正确，验证得到B错误，根据全称命题的否定得到C错误，计算定点得到D正确.
【详解】对选项A：，则；若，当时，不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对选项B：时，在单增，故B错误；
对选项C：命题“”的否定是“”，故C错误；
对选项D：取，得到或，则函数过定点和，故D正确.
故选：AD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增
C. 为函数的一条对称轴 D. 函数在上有且仅有3个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数周期性的定义可判断A；根据复合函数单调性的判断方法可判断B；根据函数对称轴的性质可判断C；求出函数在上的零点可判断D.
【详解】因为时，，
即不是函数的周期，则函数的最小正周期不是，A错误；
函数，
当时，设，此时函数为增函数，
而在上单调递增，
而可看作由和复合而成，
故函数在上单调递增，B正确；
因为，即，
所以为函数的一条对称轴，C正确；
由于，令，即，
即，即，
可得或，
当时，由 可得或，
由，可得，
故函数在上有且仅有3个零点，D正确，
故选：BCD
11. 函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由所给条件推出函数的周期和对称轴，根据在的单调性，将选项中数据转化到区间中，根据单调性判断选项.
【详解】奇函数，，所以函数关于对称，
为偶函数，则，所以关于对称，
又函数关于对称，所以，即有，所以周期为4，
，所以为偶函数，
当时，，在上单调递减，
A选项：，所以，故A错误；
B选项：，所以，故B正确；
C选项：，，，所以
，即，故C正确；
D选项：，，，则，
所以，即，故D错误；
故选：BC
12. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据换元法和均值不等式即可求解.
【详解】由对数函数定义域知且，
令，
所以，
所以可转化为，
作出函数与函数，
两个函数图像的公共交点是，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
方程有解的m的范围是，
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知与的夹角为，若，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，再求出k的值.
【详解】，则，则.
故答案为：.
14. 已知函数，关于不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的，恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解.
【详解】由于，所以为奇函数，且由， 单调递增，故 在定义域内单调递增，故，
因此，由于，所以 ，因此 ，故对任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以 恒成立即可，故，
故答案为：
15. 函数在区间上的最大值为，则________．
【答案】#
【解析】
【分析】设，根据对勾函数性质，求得最小值为，最大值为，结合绝对值的定义和题设条件，分三种情况讨论，求得函数的最大值，列出方程，即可求解.
【详解】设，根据对勾函数的性质，可得函数在区间为单调递增函数，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为在区间上的最大值为，
所以当，即时，可得函数，
即，此时方程无解；
当且，即时，函数，不符合题意，舍去；
当，即时，可得函数，
即，解得，
综上可得，实数的值为.
故答案为：#.
16. 已知函数，当时，关于x方程恰有两个不同的实根，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】将原方程可化为，得到，，求得函数的值域，作出其图象，利用数形结合法求解.
【详解】由可化为，
解得，，
因为，则，所以，
又，，所以的图象如图所示：
方程恰有两个不同的实根，等价于和各有一个实数解（且不相同）或有两个不同的实数解且无实数解或者有两个不同的实数解且无实数解；
①当时，则，无实数解，最多一个实数解，不符合题意；
②当时，则，有两个不同的实数解且无实数解，符合题意；
③当时，则，有两个不同的实数解且有一个实数解，故此时共三个不同的实数解，不符合题意；
④当时，则，有两个不同的实数解且有一个实数解，故此时共三个不同的实数解，不符合题意；
⑤当时，则，和各有一个实数解（且不相同），符合题意；
⑥当时，则，最多一个实数解， 无实数解，不符合题意；
综上，m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处在于将方程转化成和的实数解的个数情况，通过数形结合对进行讨论，情况较多，要做到不重不漏
四、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）化简；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）由题可得，然后利用二倍角正弦结合弦化切的思想即得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，.
所以
18. 已知函数
（1）若函数在上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）时结合一次函数的单调性可得结果；由二次函数的开口方向、对称轴和单调性列出不等式组，可求出m的取值范围；
（2）因式分解后，分，和三种情况讨论，求出不等式组的解集即可.
【小问1详解】
在单增，若，则，
在单增，所以；
若在单增，则，
解得到，，
综上所述：；
【小问2详解】
若，则，即，
所以，
若即，不等式的解集为；
若即，此时，不等式的解集为；
若即，此时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是．
19. 如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．
（1）写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；
（2）当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．
【答案】（1），定义域为；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）求得，，，，利用化简求解即可；
（2）根据二次函数的性质分类讨论，结合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以，，，
，
所以
，
由题意，解得，所以的定义域为；
【小问2详解】
因为的对称轴为，
若，则在单调递增，在上单调递减，
所以；
若，则在单调递增，所以；
综上，当时，，；
当时，，.
20. 已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若函数，且在上有两个零点，求b的取值范围及的值．
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变化得，由，图象相邻对称中心之间的距离为，可求得，即可得再根据正弦函数的单调性求解即可；
(2)由题意可得在上有两个零点，设，则,根据正弦函数的图象及对称性即可求得答案.
【小问1详解】
解：因为，
由题意可以得的最小正周期为，
即，所以，
因为，
所以，
由，得到，
所以在上的单增区间为；
【小问2详解】
解：由，可得，
即，
设，
因为，
所以
结合的图象，
又因为上
所以，
故，
由正弦函数的对称性可得或，
当时，则有，
所以；
当时，
则有，
；
综上所述：；或.
21. 已知函数，函数为偶函数．
（1）求实数t的值并写出的单调递增区间；
（2）若对于，，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）已知函数为偶函数，利用求出参数t，并根据指数函数的单调性即可分析出单调区间；
（2）已知，，成立，则，求出，可得，恒成立，根据对数函数的单调性得恒成立，求出，再根据对数函数的定义域，综合可求实数a的取值范围.
【小问1详解】
∵为偶函数，∴恒成立，
∴恒成立，即，∴
∴．
的单调递增区间为
【小问2详解】
，
当且仅当即时等号成立，∴
由题意可得：恒成立，
即恒成立，
由有意义，得，
由有意义，得在恒成立，
即在上恒成立，设，
易知在上的值域为，故，所以．
又恒成立，
即恒成立，
即恒成立，即恒成立，
，∴．
综上，实数a的取值范围为
22. 已知函数和．
（1）若，画出的简图并解不等式；
（2）若的最小值为，求a的值；并求出满足不等式的k的范围．
【答案】（1）图象见解析；或
（2），且
【解析】
【分析】（1）根据题意画出函数的图像，结合图像即可得到不等式的解集；
（2）根据题意，结合韦达定理即可得到两根范围，得到函数最小值之后，根据函数单调性列出不等式，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，
，由图知，的解集为:或.
【小问2详解】
的，设两根为，，且，
由，故．
当或时，此时有，
故代入得，即（舍）或；
当时，
若时最小值大于；若时最小值小于；
综上，由得，
又关于对称，且在上单调递减，
∴解得:且2023年湖北高一名校3月联考
高一数学试卷
考试时间：2023年3月14日下午15：00-17：00试卷满分：150分
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上．
2、回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
一．单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 全集，设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，D为中点，连接，若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知，则实数a取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知是第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的对称中心为，且与函数的图象有且仅有一个交点，则k的值为（ ）
A B. C. 16 D. 22
8. 如图，假定两点P、Q以相同的初速度运动，分别同时从A、C出发，点Q沿射线做匀速运动，；点P沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离，那么定义x为y的纳皮尔对数，对应关系为（其中e为自然对数的底数，），则P从靠近A的第一个四等分点移动到靠近B的三等分点经过的时间约为（ ）（参考数据：）
A. 0.7秒 B. 0.8秒 C. 1.1秒 D. 1.2秒
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 函数是幂函数，且在单减，则
C. 命题“”的否定是“”
D. 函数过定点和
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增
C. 为函数的一条对称轴 D. 函数在上有且仅有3个零点
11. 函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ）
A 3 B. 4 C. 5 D. 6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知与夹角为，若，则k的值为________．
14. 已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________．
15. 函数在区间上的最大值为，则________．
16. 已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实根，则实数m的取值范围是________．
四、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）化简；
（2）已知，求值．
18. 已知函数
（1）若函数在上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若，解关于x的不等式．
19. 如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．
（1）写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；
（2）当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．
20. 已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为．
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若函数，且在上有两个零点，求b的取值范围及的值．
21. 已知函数，函数为偶函数．
（1）求实数t的值并写出的单调递增区间；
（2）若对于，，都有成立，求实数a的取值范围．
22. 已知函数和．
（1）若，画出的简图并解不等式；
（2）若的最小值为，求a的值；并求出满足不等式的k的范围．
