专题11.2 实数十六大考点
【人教版】
【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】 1
【考点2 利用算术平方根的非负性求值】 3
【考点3 估算算术平方根的取值范围】 5
【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】 7
【考点5 与算术平方根有关的规律探究】 9
【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】 11
【考点7 利用平方根、立方根解方程】 13
【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】 16
【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】 18
【考点9 实数、无理数的概念】 20
【考点10 实数的大小比较】 22
【考点11 实数与数轴】 24
【考点12 程序框图中的实数运算】 26
【考点13 新定义中的实数运算】 29
【考点14 实数的运算】 32
【考点15 实数运算的规律探究】 35
【考点16 实数运算的应用】 37
【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】
【例1】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）0.16的算术平方根是______，的平方根是______．
【答案】
【分析】根据求一个数的算术平方根与平方根进行计算即可求解．
【详解】0.16的算术平方根是，，则的平方根是
故答案为：，
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根与平方根，理解平方根与算术平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
【变式1-1】（2022·云南·景洪市第三中学七年级期中）计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义分别分析得出答案
【详解】解：
A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意
故选：D
【点睛】此题主要考查了立方根及算术平方根，正确把握相关定义是解题关键．
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：
(1)m＋n的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)2
(2)±2
【分析】（1）根据平方根的定义求出m、n的值，然后代入计算即可求解；
（2）先求出的值，然后再根据平方根的定义进行求解．
（1）
∵，m是169的正的平方根，
∴m＝13，
∵，n是121的负的平方根，
∴n＝﹣11，
∴m+n＝13+（﹣11）＝2；
（2）
∵m+n＝2
∴，
∴的平方根是±2．
【点睛】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，熟记一些常用的平方数是解题的关键．
【变式1-3】（2022·湖南·八年级单元测试）－27的立方根与9的平方根之和为（ ）
A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6
【答案】C
【分析】依据平方根和立方根求得这两个数，然后利用加法法则计算即可．
【详解】解：-27的立方根是-3，9的平方根是±3，
-3+3=0，-3+（-3）=-6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的意义是解题的关键．
【考点2 利用算术平方根的非负性求值】
【例2】（2022·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2)的平方根为±2
【分析】（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．
（1）
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝＝4，而，
故的平方根为±2．
【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．
【变式2-1】（2022·全国·七年级）若y＝﹣+6x，则的值为 _____．
【答案】
【分析】根据被开方数非负性即可求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】∵y＝﹣+6x，
∴，解得
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，熟记被开方数非负性是解题的关键．
【变式2-2】（2022·上海·九年级专题练习）若，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
【答案】D
【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
【变式2-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知|2020﹣m|+＝m，求m﹣20202的值．
【答案】m﹣20202＝2021
【分析】根据算术平方根的非负性确定a的范围，进而化简绝对值，再根据平方根的定义求得代数式的值．
【详解】解：∵m﹣2021≥0，
∴m≥2021，
∴2020﹣m≤0，
∴原方程可化为：m﹣2020+＝m，
∴＝2020，
∴m﹣2021＝20202，
∴m﹣20202＝2021．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a的范围化简绝对值是解题的关键．
【考点3 估算算术平方根的取值范围】
【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
【变式3-1】（2022·全国·七年级专题练习）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先确定A，B对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可．
【详解】解：由数轴得，A点对应的数是1，B点对应的数是3，
A.-2＜＜-1，不符合题意；
B.2＜＜3，符合题意；
C、3＜＜4，不符合题意；
D. 3＜＜4，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了对无理数的估算．
【变式3-2】（2022·天津·九年级期末）估计的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
【答案】A
【分析】先判断的取值范围，从而得出的取值范围．
【详解】∵
∴，
∴，
即在0到1之间，
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的估算，常见方法有2种：平方法去根号比较、将整数转化到根号内比较．
【变式3-3】（2022·重庆·八年级期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【分析】根据二次根式值的估算办法，可得结果.
【详解】解：∵3<,
∴4<,
∴,
故的值在2到3之间，选B.
【点睛】本题考查了实数的估计大小，掌握放缩法估计实数的大小是解题的关键.
【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】
【例4】（2022·上海徐汇·七年级阶段练习）的整数部分是______．小数部分是_______．
【答案】 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为3，．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
【变式4-1】（2022·浙江·七年级阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则__________.
【答案】1
【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.
【详解】解：∵
∴，
∴
∴的整数部分为10，的整数部分为2，
∴a=
b=
代入得：
=12018
=1
【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.
【变式4-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵，
∴10＜＜11，
∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．
【变式4-3】（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
【详解】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
【考点5 与算术平方根有关的规律探究】
【例5】（2022·山东菏泽·八年级期中）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列：
3
……
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据每组数的排列规律，设，这列数中最大的有理数为，从而得出，根据每行5个数进一步求解即可．
【详解】解：设，
∵该列数中，最大的有理数为，
∴，即，
∵每行5个数，
∴在第15行第5列，
∴这组数中最大的有理数的位置记为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数字的规律探索，正确找出相应规律是解题关键．
【变式5-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅该下列材料：
（1）求下列各数的算术平方根：
＝0.002，＝0.02，＝0.2，＝2，＝20，
根据以上材料填空：＝__，＝__．
（2）已知≈1.414，直接写出：≈______，≈_____，≈______．
【答案】 200 2000 0.1414 14.14 141.4
【分析】（1） 观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解；
（2） 根据 （1） 中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解；
【详解】解：（1）由所提供的各数算术平方根的变化规律可知，当被开方数扩大（缩小）100倍，10000倍，1000000倍……则其结果就扩大（缩小）10倍，100倍，1000倍……
所以＝200，＝2000，
故答案为：200，2000；
（2）由（1）的规律可得，
＝0.1×≈0.1414，＝10≈14.14，＝100≈141.4，
故答案为：0.1414，14.14，141.4．
【点睛】本题考查了算术平方根的规律，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑．
【变式5-2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）观察下列各式：
用字母n表示出一般规律是__________．（n为不小于2的整数）
【答案】（n为不小于2的整数）
【分析】分析被开方数的变换规律即可求得
【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点：
①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5，
②整数部分与分数部分的分母有下列关系：，
2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数）
故答案为：（n为不小于2的整数）．
【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键．
【变式5-3】（2022·北京市十一学校二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是______，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是______．
【答案】 5 3
【分析】根据题意，以题目给出的思路和方法进行推理得出答案，5的任何次方尾数均是5，则可求解①，根据题意确定1225的平方根是两位数，再根据3的平方和4的平方即可确定②．
【详解】∵5的任何次方尾数均是5，
∴1225的平方根的个位数是5，
∵，，9＜12＜16，
∴1225的平方根的十位数是3，
故答案为：5，3．
【点睛】考查了实数的意义，平方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解题目提供的解题方法是解答本题的关键．
【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】
【例6】（2022·山西临汾·七年级期中）若正数a的两个平方根分别是和，则a的值为___________．
【答案】9
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得出x的值，再根据即可解题．
【详解】∵正数a的两个平方根分别是和
∴x+2+2x-5=0，
解得：x=1．
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平方根的知识，属于基础题，注意掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
【变式6-1】（2022·福建·古田县玉田中学八年级阶段练习）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是( )
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
【答案】A
【分析】根据一个数的平方根是它的本身的数是0，一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，进行解答即可．
【详解】∵＝0，
∴一个数的平方根是它的本身的数是0，
∵＝0，＝-1，＝1，
∴一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，
∴一个数的平方根和立方根都是它本身的数为0，
故选A．
【点睛】本题考查平方根和立方根的性质，牢记一个数的平方根是它的本身的数是0，一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，是解题的关键．
【变式6-2】（2022·江苏·八年级专题练习）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
【变式6-3】（2022·河南·平顶山市第三中学七年级期中）若4 2a与3a+1是同一个正数的两个平方根．
(1)求a的值；
(2)求这个正数．
【答案】(1)a=-5；
(2)这个正数为196．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数解答即可；
（2）由a的值可求得这个正数．
（1）
解：由题意得：4-2a+3a+1=0，解得a=-5，
答：a=-5；
（2）
解：当a=-5，
∴4-2a=4-2×(-5)=14，
∴这个正数为196．
【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提，掌握一个正数两个平方根的特征是正确解答的关键.
【考点7 利用平方根、立方根解方程】
【例7】（2022·江苏·八年级专题练习）求下列等式中的x；
（1）若，则______；（2）若，则______；
（3）若，则______；（4）若，则______．
【答案】
【分析】（1）根据平方根的定义，由，可得的值；
（2）根据平方根的定义，由，可得的值；
（3）根据平方根的定义，由=25，可得的值；
（4）根据平方根的定义，由，可得的值．
【详解】（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴
故答案为：
（3）∵
∴
故答案为：
（4）∵
∴
故答案为：
【点睛】考核知识点：平方根．理解平方根的定义是关键．
【变式7-1】（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级阶段练习）用学过的知识解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）采用开立方的方法即可求解；
（2）采用开平方的方法即可求解．
（1）
；
（2）
即，，
即方程的解为：，．
【点睛】本题考查了利用开立方和开平方的方法求解方程，掌握开平方和开立方的知识是解答本题的关键.
【变式7-2】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）5+＝3．
【答案】-9
【分析】先将5移到等式右边，与3合并，两边再立方，即可求出x 的值．
【详解】解：5+＝3
＝-2
x+1=-8
x=-9
【点睛】本题考查了关于立方根的方程，熟练掌握立方根的性质是解决本题的关键．
【变式7-3】（2022·湖北·监利市玉沙初级中学七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据求立方根的方法解方程即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可．
（1）
解：∵，
∴，
∴；
（2）
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了利用求平方根、求立方根的方法解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解题的关键.
【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】
【例8】2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2)．
【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
(1)
解：∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
(2)
解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
【变式8-1】（2022·福建厦门·七年级期中）已知，，则______．
【答案】1
【分析】利用平方根和立方根的意义求得，的值，将，的值代入利用算术平方根的意义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根和算术平方根的意义，根据题意正确确定字母的值是解题的关键．
【变式8-2】（2022·四川·自贡市田家炳中学七年级期中）已知x+2的平方根±3，2x+y+7的立方根是3，试求的立方根．
【答案】
【分析】首先根据平方根和立方根的定义求出x，y的值，再把x，y的值代入要求的式子，然后根据立方根的定义即可得出答案．
【详解】由题得： ，
解得，
∴
【点睛】此题主要考查了求一个数的立方根和平方根的定义，解题的关键是正确理解立方根和平方根的定义．
【变式8-3】（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)=9，=1
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义进行求解；
（2）由（1）将a，b的值代入求解即可．
（1）
解：∵的算术平方根是，的立方根是3，
∴=17，=27，
∴=9，=1．
（2）
解：由（1）知=9，=1，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查实数的应用，准确地理解算术平方根，立方根和平方根的定义是解决问题的关键．
【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】
【例9】（2022·山西吕梁·七年级期末）如图，在数学活动课上，小颖制作了一个表面积为的无盖正方体纸盒，这个正方体纸盒的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得：这个正方体纸盒的每个面的面积为，再根据算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个正方体纸盒的每个面的面积为，
∴这个正方体纸盒的棱长是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
【变式9-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
【答案】肇事汽车的速度大约是80km/h
【分析】将d，f的值代入公式计算出的值，再根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：当，时，
，
∴．
答：肇事汽车的速度大约是80km/h．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
【变式9-2】（2022·福建福州·七年级期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为且面积为的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．
【答案】不能，理由见解析
【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．
【详解】解：不能，理由如下：
设长方形标准篮球场的长为5x m．宽为3x m，
由题意得：5x×3x＝540，
解得：x＝ 6（舍去）或6，
即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，
∵18m＞16m，
∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．
【变式9-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
(1)求长方体的水池长、宽、高为多少？
(2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01 cm）？
【答案】(1)长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
(2)该小球的半径为4.05cm．
【分析】（1）设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，根据长方体体积公式列方程，根据立方根定义即可求解，问题得解；
（2）设该小球的半径为rcm，根据溢出水池外的水的体积为水池体积的列方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x 2x 4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）
解：设该小球的半径为rcm，
由题意得 ×16 000，
∴r3＝×16 000×，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【点睛】本题考查了立方根的应用，熟知立方根的意义，根据题意列出方程是解题关键．
【考点9 实数、无理数的概念】
【例9】（2022·山东青岛·八年级期中）下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】分别根据无理数、有理数的定义逐个判定即可．
【详解】解：1.414，3.1415926，是有限小数，属于有理数；＝6，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；无理数有20π，，8.181181118…按规律排列）共3个．
故选A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
【变式9-1】（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示
C．它可以表示面积为19的正方形的边长 D．它不是实数
【答案】D
【分析】分别根据无理数的定义、数轴的意义、正方形面积公式，实数的分类判断即可．
【详解】解：A、是一个无理数，说法正确，故此选项不合题意；
B、可以用数轴上的一个点来表示，说法正确，故此选项不合题意；
C、可以表示面积为19的正方形的边长，利用正方形的面积公式可以验证此说法正确，故选项C不合题意；
D. 是一个无理数，自然也是实数，说法不正确，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义、数轴的意义，正方形面积公式，实数的分类，掌握相关概念是解题的关键．
【变式9-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期中）设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（ ）
A．92个 B．180个 C．182个 D．184个
【答案】B
【分析】1至100之间，除去完全平方数，余下的数字的平方根均为无理数．
【详解】1至100之间（不含1和100）共计有98个数，完全平方数有4、9、16、25、36、49、64、81，共计8个数，
则余下的数有98-8=90个数，
则m可以取的数有90个，
这90个数的平方根有180个，且都是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数以及平方根的知识．无限不循环的小数是无理数，找到m可以取值的个数是解答本题的关键．
【变式9-3】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）把下列各数分别填入相应的集合里．
（每两个1之间0的个数依次增加1）
(1)负数集合：{ …}；
(2)非负整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
【答案】(1)（每两个1之间0的个数依次增加1）
(2)
(3)
(4)
【分析】根据实数的分类进行判断即可，有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数），无限不循环小数是无理数，即可求解．
（1）
解∶ ，
负数集合：{（每两个1之间0的个数依次增加1）…}；
（2）
解∶ ，
非负整数集合：{…}
（3）
解∶ ，
分数集合：{…}；
（4）
解∶ ，
无理数集合：{ （每两个1之间0的个数依次增加1）…}
【点睛】本题考查了实数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【考点10 实数的大小比较】
【例10】（2022·安徽合肥·七年级期末）下列四个数中最小的实数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据实数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】解：∵正数>0>负数，
∴较小的三个数为：、 2、 3，
∵| 2|＜| 3|＜||，
∴ 2＞ 3＞，
∴最小的数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数大小比较的法则是关键．
【变式10-1】（2022·福建福州·七年级期中）比较大小：__________6．（用“>”或“<”连接）
【答案】>
【分析】根据进行判断得到答案．
【详解】∵
∴
故答案为：>．
【点睛】本题考查实数大小的判断，解题的关键是熟练掌握平方根的相关知识．
【变式10-2】（2022·湖北·测试·编辑教研五八年级阶段练习）四个实数，，，中最大的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正数大于，大于负数，再估算出的值即可判断出最大的实数．
【详解】解：，
，
在四个实数，，，中，
，
最大的数是：，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，准确估算出的值是解题的关键．
【变式10-3】（2022·辽宁阜新·八年级期末）比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】将两数分别平方后，再比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了算术平方根，实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键.
【考点11 实数与数轴】
【例11】（2022·广东韶关实验中学九年级期中）己知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数轴上点的位置可知，据此逐一判断即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可知，
∴，
∴四个选项中只有D选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确根据数轴得到是解题的关键．
【变式11-1】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，在数轴上表示-1，的对应点为A，B，若点A是线段BC的中点，则点C表示的数为______．
【答案】##
【分析】设C表示的数是x，根据A是线段BC的中点，列出算式，求出x的值即可．
【详解】解：设C表示的数是x，
∵A是BC中点，
∴AB=AC，
即，
∴x=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了实数与数轴、线段的中点．解题的关键是理解线段中点的含义．
【变式11-2】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学七年级期中）如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点重合，则点表示的数为_____________
【答案】或
【分析】计算圆的周长为，分在的左边与右边两种情形讨论即可求解．
【详解】解：∵圆的周长为，
根据题意，点表示的数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了实数与数轴，理解题意，分类讨论是解题的关键．
【变式11-3】（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
【答案】
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可．
【详解】解：
又 两边同时乘以
两边同时除以
综上所述：
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
【考点12 程序框图中的实数运算】
【例12】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式12-1】（2022·福建厦门·七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为2或4；
②当输入值x为9时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中正确的是________．
【答案】②④##④②
【分析】根据流程图逆向分析即可判断①，把x=9代入流程图判断②；通过特殊值法排除③；当x=1时判断④．
【详解】解：①当时，，，2取算术平方根为，输出值y为，则输入值x为2或4或等，故①不符合题意；
②，取算术平方根为，输出值y为，故②符合题意；
③如x=π2时，是正无理数不是正整数，输出值y为π是正无理数，故③不符合题意；
④当x=1，1的算术平方根为1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值，故④符合题意；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了实数的性质，求一个数的算术平方根，无理数的定义，理解题意是解题的关键．
【变式12-2】（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：
（1）当输入时，输出的结果为______
（2）若输入的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的的值是______
【答案】 26 或4##4或
【分析】（1）把代入进行计算，得到结果大于15，可以输出，从而可得答案；
（2）分三种情况讨论：第一次输出的数为17，第二次输出的数为17，第三次输出的数为17，再利用平方根的含义解方程可得答案．
【详解】解：（1）当时，
∴
∴输出的数是26．
（2）当第一次输出的结果为17时，
∴
解得：或
又∵
∴
当第二次输出的结果为17时，则
∴ （舍去）
解得：（舍去）
当第三次输出的数为17时，则
此时不合题意，舍去，
综上：x的值为：或4
故答案为：（1）26；（2）或4
【点睛】本题考查的是程序框图与实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，理解题意得到关于x的方程是解本题的关键．
【变式12-3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据是8时，输出的数据是_______；当输入数据是ｎ时，输出的数据是_____
【答案】 256
【分析】从绝对值来看，输出数据等于以2为底、输入数据为指数的幂．从符号来看，输入数据为奇数，输出数据为负;输入数据为偶数，输出数据为正．根据这两个特征即可得到解答．
【详解】解：设输入数据为a，输出数据为b，则由题意可得：，所以：
当输入数据是8时，输出的数据是；当输入数据是ｎ时，输出的数据是 ．
故答案为256；．
【考点13 新定义中的实数运算】
【例13】（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则______．
【答案】3
【分析】估计出，再结合题意，表示不超过的最大整数，因此即可得出的答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的估算，以及新定义运算，熟练找准无理数的整数部分是本题的关键．
【变式13-1】（2022·全国·七年级）对于正数，规定，例如，，计算： ___________
【答案】2020
【分析】按照定义式规定，发现规律，两两组合相加，剩下，最后再求和即可．
【详解】解：∵，，，…，，
，，…，，
∴，
，
…，
，
∴
=+2020
=2020．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
【变式13-2】（2022·四川省德阳市第二中学校七年级阶段练习）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]＝2，[3.7]＝3，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行_________次操作后变为1
【答案】3
【分析】根据题意可得109 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：109 ，
∴对109只需进行3次操作后变为1．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，明确题意，准确理解[a]的含义是解题的关键．
【变式13-3】（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“加油数”．对于一个“加油数”n，将n的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令．
例如：当时，∵且，∴1541是“加油数”：此时，，；当时，∵但，∴3213不是“加油数”．
(1)请判断2422，1531是否是“加油数”、并说明理由；如果是，请求出对应的的值；
(2)己知m是个位上的数字小于十位上的数字的“加油数”，将m的各个数位上的数字之和记为，若能被4整除，求m的所有可能值．
【答案】(1)2422是“加油数”， 1531不是“加油数”，理由见解析；
(2)1431、1871、2862、3853
【分析】（1）根据题干所给的方法直接进行计算即可；
（2）根据题意，设m=1000a+100(a+b)+10b+a，求出F（m），结合材料求出G（m），进而求得=a+b，再根据能被4整除，求解即可．
（1）
当时，∵且，∴2422是“加油数”，
此时x=4，y=，；
当时，∵但，∴1531不是“加油数”；
（2）
设m=1000a+100(a+b)+10b+a=1101a+110b，
其中，，，，且a、b为整数，
∴，
则x=a+b，y=(a+b)b，
∴，
，
∴，
若能被4整除，
当a=1时，满足条件的b=3或7，此时a+b=4或8，
∴m=1101a+110b=1431或1871；
当a=2时，满足条件的b=6，此时a+b= 8，
∴m=1101a+110b=2862；
当a=3时，满足条件的b=5，此时a+b= 8，
∴m=1101a+110b=3853；
当a=4时，没有b满足条件，
综上所述，m的所有可能值为1431、1871、2862、3853．
【点睛】本题考查了新定义的运算，解题的关键是根据“加油数”的定义表示出四位数m，再结合题意因式分解化简讨论即可．
【考点14 实数的运算】
【例14】（2022·河南信阳·七年级期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答．
（1）
解：
=
=
=；
（2）
解：
=
=；
【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
【变式14-1】（2022·福建龙岩·八年级期中）计算：．
【答案】
【分析】根据幂的计算，算术平方根、立方根、绝对值化简计算即可 ．
【详解】解：
＝﹣1﹣2﹣(﹣2)+2﹣
＝﹣1﹣2+2+2﹣
＝1﹣．
【点睛】本题考查了幂的计算、求一个数的算术平方根、立方根、绝对值化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式14-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义计算即可；
（2）根据绝对值的意义、算术平方根的定义计算即可；
（3）根据立方根的定义和算术平方根的定义计算即可；
（4）根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的定义、绝对值的意义进行计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
；
（3）
解：原式
；
（4）
解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的意义、有理数的乘方，解本题的关键在熟练掌握定义和运算法则．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根．
【变式14-3】（2022·辽宁鞍山·七年级期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)－2.3
(2)
【分析】（1）由算术平方根、立方根的定义进行计算，即可得到答案；
（2）由乘方、立方根、绝对值的意义进行计算，即可求出答案．
（1）
解：
=
=；
（2）
解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算
【考点15 实数运算的规律探究】
【例15】（2022·湖南·李达中学七年级期中）已知=3 ，10，，……观察以上计算过程，寻找规律计算的值为( ）
A．56 B．54 C．52 D．50
【答案】A
【分析】根据题意，得出对于来讲，等于一个分式，其中分母是从1到的个数相乘，分子是从开始乘，乘个连续自然数数．
【详解】解： ，，，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是利用已知得出分子与分母之间的规律，利用规律进行求解．
【变式15-1】（2022·贵州铜仁·九年级学业考试）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数： 250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是__________．
【答案】
【分析】由2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2，得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2，
∴，
∴
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数运算相关的规律题，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．
【变式15-2】（2022·山东济南·八年级期中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则____________．
【答案】
【分析】根据题目中的新定义，可以求得a1＝3时的a2，a3，a4，从而发现数字的变化特点，进而可以求得a2018的值．
【详解】解：由题意可得
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类、倒数的计算问题，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应项的数据．
【变式15-3】（2022·甘肃庆阳·八年级期末）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，写出第个等式：______．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题目所给式子，得出式子间的规律即可得到答案．
【详解】解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第个等式： ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数运算相关的规律，解题的关键在于能够根据题意找到式子间的规律．
【考点16 实数运算的应用】
【例16】（2022·福建龙岩·七年级期末）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
【答案】D
【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．
【详解】依题意，还在自出生后的天数是：
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．
【变式16-1】（2022·湖北武汉·七年级期中）用48米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地，另一种是围成圆形场地．选用哪一种方案围成的场地的面积较大？并说明理由．
【答案】选用围成圆形场地的方案围成的面积较大．理由见解析.
【详解】试题分析:若围成正方形场地,则边长为48÷4=12米,面积为144平方米,若围成圆形场地,则圆的半径为,面积为平方米,然后比较大小即可解决问题.
试题解析:选用围成圆形场地的方案围成的面积较大,理由如下:设S1,S2分别表示围成的正方形场地,圆形场地的面积,则S1＝＝ (平方米),S2＝＝ (平方米),
∵π＜4,∴＜,即S1＜S2,因此围成圆形场地的面积较大.
【变式16-2】（2022·上海静安·七年级期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
【答案】1.2平方米
【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。
【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则
剩下的木料的面积 ，
，
，
，
（平方米）
答：剩下的木料的面积约为平方米．
【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系.
【变式16-3】（2022·浙江绍兴·七年级期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．
【详解】解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
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【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题11.2 实数十六大考点
【人教版】
专题11.2 实数十六大考点 1
【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】 1
【考点2 利用算术平方根的非负性求值】 1
【考点3 估算算术平方根的取值范围】 2
【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】 2
【考点5 与算术平方根有关的规律探究】 3
【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】 3
【考点7 利用平方根、立方根解方程】 4
【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】 4
【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】 5
【考点9 实数、无理数的概念】 5
【考点10 实数的大小比较】 6
【考点11 实数与数轴】 6
【考点12 程序框图中的实数运算】 7
【考点13 新定义中的实数运算】 8
【考点14 实数的运算】 9
【考点15 实数运算的规律探究】 9
【考点16 实数运算的应用】 10
考点题型变式
【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】
【例1】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）0.16的算术平方根是______，的平方根是______．
【变式1-1】（2022·云南·景洪市第三中学七年级期中）计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：
(1)m＋n的值；
(2)的平方根．
【变式1-3】（2022·湖南·八年级单元测试）－27的立方根与9的平方根之和为（ ）
A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6
【考点2 利用算术平方根的非负性求值】
【例2】（2022·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【变式2-1】（2022·全国·七年级）若y＝﹣+6x，则的值为 _____．
【变式2-2】（2022·上海·九年级专题练习）若，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
【变式2-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知|2020﹣m|+＝m，求m﹣20202的值．
【考点3 估算算术平方根的取值范围】
【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-1】（2022·全国·七年级专题练习）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·天津·九年级期末）估计的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
【变式3-3】（2022·重庆·八年级期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】
【例4】（2022·上海徐汇·七年级阶段练习）的整数部分是______．小数部分是_______．
【变式4-1】（2022·浙江·七年级阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则__________.
【变式4-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【变式4-3】（2022·江苏·八年级）设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【考点5 与算术平方根有关的规律探究】
【例5】（2022·山东菏泽·八年级期中）将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列：
3
……
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅该下列材料：
（1）求下列各数的算术平方根：
＝0.002，＝0.02，＝0.2，＝2，＝20，
根据以上材料填空：＝__，＝__．
（2）已知≈1.414，直接写出：≈______，≈_____，≈______．
【变式5-2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）观察下列各式：
用字母n表示出一般规律是__________．（n为不小于2的整数）
【变式5-3】（2022·北京市十一学校二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是______，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是______．
【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】
【例6】（2022·山西临汾·七年级期中）若正数a的两个平方根分别是和，则a的值为___________．
【变式6-1】（2022·福建·古田县玉田中学八年级阶段练习）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是( )
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
【变式6-2】（2022·江苏·八年级专题练习）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2022·河南·平顶山市第三中学七年级期中）若4 2a与3a+1是同一个正数的两个平方根．
(1)求a的值；
(2)求这个正数．
【考点7 利用平方根、立方根解方程】
【例7】（2022·江苏·八年级专题练习）求下列等式中的x；
（1）若，则______；（2）若，则______；
（3）若，则______；（4）若，则______．
【变式7-1】（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级阶段练习）用学过的知识解方程
(1)
(2)
【变式7-2】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）5+＝3．
【变式7-3】（2022·湖北·监利市玉沙初级中学七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】
【例8】2022·吉林四平·七年级期中）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【变式8-1】（2022·福建厦门·七年级期中）已知，，则______．
【变式8-2】（2022·四川·自贡市田家炳中学七年级期中）已知x+2的平方根±3，2x+y+7的立方根是3，试求的立方根．
【变式8-3】（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）已知的算术平方根是，的立方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根．
【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】
【例9】（2022·山西吕梁·七年级期末）如图，在数学活动课上，小颖制作了一个表面积为的无盖正方体纸盒，这个正方体纸盒的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得，求肇事汽车的速度大约是多少．
【变式9-2】（2022·福建福州·七年级期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为且面积为的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．
【变式9-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3．
(1)求长方体的水池长、宽、高为多少？
(2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01 cm）？
【考点9 实数、无理数的概念】
【例9】（2022·山东青岛·八年级期中）下列各数1.414，，20π，，，8.181181118…按规律排列），3.1415926中是无理数的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-1】（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示
C．它可以表示面积为19的正方形的边长 D．它不是实数
【变式9-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期中）设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（ ）
A．92个 B．180个 C．182个 D．184个
【变式9-3】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）把下列各数分别填入相应的集合里．
（每两个1之间0的个数依次增加1）
(1)负数集合：{ …}；
(2)非负整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
【考点10 实数的大小比较】
【例10】（2022·安徽合肥·七年级期末）下列四个数中最小的实数是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式10-1】（2022·福建福州·七年级期中）比较大小：__________6．（用“>”或“<”连接）
【变式10-2】（2022·湖北·测试·编辑教研五八年级阶段练习）四个实数，，，中最大的实数是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2022·辽宁阜新·八年级期末）比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点11 实数与数轴】
【例11】（2022·广东韶关实验中学九年级期中）己知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，在数轴上表示-1，的对应点为A，B，若点A是线段BC的中点，则点C表示的数为______．
【变式11-2】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学七年级期中）如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点重合，则点表示的数为_____________
【变式11-3】（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
【考点12 程序框图中的实数运算】
【例12】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
【变式12-1】（2022·福建厦门·七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为2或4；
②当输入值x为9时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中正确的是________．
【变式12-2】（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：
（1）当输入时，输出的结果为______
（2）若输入的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的的值是______
【变式12-3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据是8时，输出的数据是_______；当输入数据是ｎ时，输出的数据是_____
【考点13 新定义中的实数运算】
【例13】（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则______．
【变式13-1】（2022·全国·七年级）对于正数，规定，例如，，计算： ___________
【变式13-2】（2022·四川省德阳市第二中学校七年级阶段练习）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]＝2，[3.7]＝3，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行_________次操作后变为1
【变式13-3】（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“加油数”．对于一个“加油数”n，将n的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令．
例如：当时，∵且，∴1541是“加油数”：此时，，；当时，∵但，∴3213不是“加油数”．
(1)请判断2422，1531是否是“加油数”、并说明理由；如果是，请求出对应的的值；
(2)己知m是个位上的数字小于十位上的数字的“加油数”，将m的各个数位上的数字之和记为，若能被4整除，求m的所有可能值．
【考点14 实数的运算】
【例14】（2022·河南信阳·七年级期末）计算：
(1)
(2)
【变式14-1】（2022·福建龙岩·八年级期中）计算：．
【变式14-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式14-3】（2022·辽宁鞍山·七年级期中）计算
(1)
(2)
【考点15 实数运算的规律探究】
【例15】（2022·湖南·李达中学七年级期中）已知=3 ，10，，……观察以上计算过程，寻找规律计算的值为( ）
A．56 B．54 C．52 D．50
【变式15-1】（2022·贵州铜仁·九年级学业考试）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数： 250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是__________．
【变式15-2】（2022·山东济南·八年级期中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则____________．
【变式15-3】（2022·甘肃庆阳·八年级期末）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，写出第个等式：______．（用含的代数式表示）
【考点16 实数运算的应用】
【例16】（2022·福建龙岩·七年级期末）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
【变式16-1】（2022·湖北武汉·七年级期中）用48米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地，另一种是围成圆形场地．选用哪一种方案围成的场地的面积较大？并说明理由．
【变式16-2】（2022·上海静安·七年级期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
【变式16-3】（2022·浙江绍兴·七年级期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
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