一、单选题（本大题共 12小题，共 36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的 ① ( )为非奇非偶函数；② ( )的值域为[ 1,1]；
一项） ③ ( )是以 为最小正周期的周期函数；
1. 若角 的终边上一点的坐标为(1, 1)，则cos =( ) ④当 + 2 < < 2 + ( ∈ )时， ( ) > 0．
2
A. 1 B. √2 C.
√2 D. 1
2 2 其中正确的为 ( )
2. 下列说法正确的是 ( ) A. ②④ B. ①③ C. ③④ D. ①④
A. 第二象限角比第一象限角大 9. sin45 cos15 + cos225 sin15 的值为 ( )
B. 60 角与600 角是终边相同角 √3 3 1 1A. B.
√ C. D.
2 2 2 2
C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角
10. 已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )是奇函数，且 ( )的最小正
D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为
3 周期为 ，将 = ( )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图
3. 下列叙述中正确的个数是：( ) 3 象对应的函数为 ( )，若 ( ) = √2，则 ( ) =( )
4 8
①若 = ,则 3 > 2 ；②若| | = | |,则 = 或 = ；③若 = ,则 =
A. 2 B. √2 C. √2 D. 2
④若 // , // ,则 // ⑤若 = ，则 //
11. 函数 ( ) = sin ( + )(其中 > 0，0 < )的图象如图所示，为了得到 =
2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
sin 的图象，则需将 = ( )的图象( )
2
4. 若 √sin cos = ，则sin4 + cos4 =( )
2
3 5 7 8
A. B. C. D.
4 6 8 9
1 3
5. 已知sin( + ) = ，则cos( )等于 ( )
3 2
1 1
√3 √3A. B. C. D.
3 3 3 3 1
A. 横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位
2 4
6. 已知 ∈ (0, )
5
， √sin ( ) = ，则sin (2 + )的值为( ) 2 4 5 3 1
B. 横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位
2 8
3√3 4 4 3 3 3 3+4 4 3+3A. B. √ C. √ D. √
10 10 10 10
C. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位
4
7. 在△ 中，| | = | | = | + |，则△ 是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 D. 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位 8
8. 定义 { , }为 ， 中较大的数，已知函数 ( ) = {sin , cos }，给出下列命
题： 12. 已知函数 ( ) = sin (sin + cos )，给出以下四个命题：① ( )的最小正周期为
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天津开发区第一中学 2022—2023 学年度第二学期高一年级数学学科练习卷（3 月 15）
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线……………………………
5 1
；② ( )在[0, ]上的值域为[0,1]；③ ( )的图像关于点( , )中心对称；④ ( )的图 19. (本小题6.0分)如图，四边形 是平行四边形，点 在 上，判断下列各式
4 8 2
是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的打“×”)．
11
像关于直线 = 对称．其中正确命题的个数是 ( )
8
(1) + = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(2) + + = ( )
二、填空题（本大题共 6小题，共 24.0分）
(3) + + = ( )
2
13. 若 = ，则sin( ) = ．
3 20. (本小题8.0分)已知函数 ( ) = √3sin cos cos2 ．
14. ( + ) + ( + + ) = (Ⅰ)求 ( )的最小正周期；
15. 函数 = √1 2sin 的定义域为 ． (Ⅱ)当 ∈ [ , ]时，讨论 ( )的单调性并求其值域．
6 2
16. 若方程sin = 4 + 1在 ∈ [0,2 ]上有解，则实数 的取值范围是________．
21. (本小题8.0分)
17. 下列五个命题：
设 1 , 2 是两个不共线的向量，已知 = 2 8 , = + 3 1 2 1 2 , = 2 1 2 ．
①终边在 轴上的角的集合是{ | = , ∈ };
2 (1)求证： ， ， 三点共线；
②在同一坐标系中，函数 = sin 的图象和函数 = 的图象有三个公共点; (2)若 = 3 1 2 ，且 // ，求实数 的值．
2
③把函数 = 3sin(2 + )的图象向右平移 个单位长度得到 = 3sin2 的图象; 22. (本小题9.0分)已知函数 ( ) = 2√3sin cos + 2cos ( > 0)，且 ( )的最小
3 6
正周期为 ．(Ⅰ)求 的值及函数 ( )的单调递减区间；
④函数 = sin( )在[0, ]上是单调递减的;
2
(Ⅱ)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到函数 ( )的图象，求当 ∈ [0, ]时，
6
2
⑤函数 = tan(2 + )的图象关于点( , 0)成中心对称图形．
3 6
函数 ( )的最大值．
其中真命题的序号是 ．
23. (本小题9.0分)已知数 ( ) = √3sin ( + ) + 2sin2
( + ) 1( > 0)的相邻
6 2 12
18. 函数 ( ) = ( + ) ( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示．若方程
2
两对称轴间的距离为 ．(1)求 ( )的解析式；
2
( ) + 2 (4 + ) = 有实数解，则 的取值范围为 ．
3 1
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 (纵坐标
6 2
不变)，得到函数 = ( )的图象，当 ∈ [ , ]时，求函数 ( )的值域；
12 6
4 4
(3)对于第(2)问中的函数 ( )，记方程 ( ) = 在 ∈ [ , ]上的根从小到大依次为 1，3 6 3
三、解答题（本大题共 5 小题，共 40.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 2，…， ，若 = 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 1 + ，试求 与 的值
骤）
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线……………………………
天津开发区第一中学 2022—2023 学年度第二学期 故选 D．
高年级数学学科练习卷答案
3.【答案】
【解析】
1.【答案】
【分析】
【解析】
本题考查向量概念、向量的模、向量相等、向量平行，属基础题．
【分析】
对各个选项逐一验证可以得出答案．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
【解答】
角 的终边上一点(1, 1)与原点的距离 = √2，利用任意角的三角函数定义求出cos 的值．
解：因为向量不能比较大小，所以①错误，
【解答】
单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，
解：∵角 的终边上一点的坐标为(1, 1)，
当 = 0时， = = 0 ，但是 与 不一定相等，所以③错误，
∴此点与原点的距离 = √12 + ( 1)2 = √2，
当 = 0 时， 和 可能不平行，所以④错误，
1 √2
∴ cos = = = ．
√2 2 两个向量相等则它们一定平行，所以⑤正确，
故选 B．
2.【答案】
【解析】 4.【答案】
【分析】 【解析】
本题考查了终边相同的角、象限角等基本概念及其意义，属于基础题． 【分析】
举例说明 A 错误；由终边相同角的概念说明 B 错误；由三角形的内角得范围说明 C 错误；求出分针转 本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
过的角的弧度数说明 D 正确． 利用同角三角函数的基本关系即可求解．
【解答】 【解答】
解：对于 ，120°是第二象限角，420°是第一象限角，120° < 420°，故 A 错误； 1 1解：由题意，得(sin cos )2 = 1 2sin cos = sin cos = ，
2 4
对于 ，600° = 360° + 240°，与60°终边不同，故 B 错误； 2
则sin4 + cos4 = (sin2 + cos2
1 7
)2 2sin2 cos2 = 1 2 × ( ) = ．
对于 ，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或 轴正半轴上的角，故 C 错误； 4 8
故本题选 C．
对于 ，分针转一周为60分钟，转过的角度为2 ，将分针拨慢是逆时针旋转，
1
∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为 × 2 = ，故 D 正确．
6 3
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5.【答案】 3 1 4 √3 3 + 4√3
= × + × =
5 2 5 2 10
【解析】
故选 D．
【分析】
本题考查了诱导公式，属于基础题．
7.【答案】
直接利用诱导公式求解即可．
【解析】
【解答】
【分析】
1 1
解：由 sin( + ) = sin = ，可得sin = ，
3 3 本题考查向量的加法，属于基础题．
3 1
由 cos ( ) = sin = ， 根据向量的加法即可求解．
2 3
【解答】
故选 B．
解：∵ + = ，| | = | | = | + |，
则| | = | | = | |，
6.【答案】
∴△ 是等边三角形．
【解析】
故选 B．
【分析】
本题考查二倍角公式， 两角和与差公式，同角三角函数基本关系，属于中档题．
8.【答案】
2 2√5由题可得 为锐角，所以cos( ) = √1 sin ( ) = ，可求得 2 和 2 的值，再求4 4 4 5
【解析】
(2 + )的值即可．
3 【分析】
【解答】 本题主要考查了函数的最值，三角函数的图象和性质，属于中档题.作出函数 ( )的图象，利用图象确
解：∵ ∈ (0, )， ∈ ( , )， 定出奇偶性，值域，周期，单调区间，即可求解．
2 4 4 4
【解答】
√5
sin( ) = ，∴ ∈ (0， )，
4 5 4 4 解：作出函数 ( )的图象，如下：
2√5
∴ cos( ) = √1 sin2( ) = ，
4 4 5
∴ sin( 2 ) = 2sin( )cos( )
2 4 4
4
= = 2 ，
5
√2
3 由图可知， ( )是非奇非偶函数，值域为[ , 1]，故①对②错；
∴ cos( 2 ) = 2cos2( ) 1 = = sin2 ， 2
2 4 5
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因为 ( )是以2 为最小正周期的周期函数，③错误； 则 ( ) = 2 2
3 3 3 √2
，则 ( ) = 2 (2 × ) = 2 = 2 × = √2，
8 8 4 2
由图可知， + 2 < < 2 + ( ∈ )时， ( ) > 0， 正确．
2 ④ 故选： ．
故选 D．
11.【答案】
9.【答案】 【解析】
【解析】 【分析】
【分析】 本题主要考查由 = ( + )的部分图象求解析式，函数 = ( + )的图象变换规律，属
略 于中档题．
【解答】 由函数 ( ) = sin ( + )(其中 > 0，0 < )的图象可得 = 2， = ，可得函数 ( ) =
2 4
略
sin(2 + )，再由函数 = ( + )的图象变换规律，得出结论．
4
【解答】
10.【答案】
【解析】 解：由函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < )在一个周期内的图象， 2
【分析】 1 1 2 7 3 可得 = = = ，解得 = 2．
2 2 8 8 2
根据条件求出 和 的值，结合函数变换关系求出 ( )的解析式，结合条件求出 的值，利用代入法进
7 7
再把点( , 0)代入函数的解析式可得0 = sin(2 × + )，
8 8
行求解即可．
7
本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出 ， 和 的值是解决本题的关键． 即sin( + ) = 0． 4
【解答】 再由0 < ，可得 = ，
2 4
解：∵ ( )是奇函数，| | < ，∴ = 0，
故函数 ( ) = sin(2 + ).
4
∵ ( )的最小正周期为 ，
2 把函数 = sin(2 + )的图象先把横坐标伸长到原来的2倍，
∴ = ，得 = 2， 4
则 ( ) = 2 ，将 = ( )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 可得 = ( + )的图象，再向右平移 个单位可得 = ， 4 4
则 ( ) = ， 故选 C．
若 ( ) = √2，则 √2 ( ) = = = √2，即 = 2， 4 4 4 2
12.【答案】
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【解析】 【分析】
【分析】 本题考查向量的加法，属于基础题．
本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图像和性质，属中档题，利用恒等变形化简为 ( + 利用结合律及加法的法则可得答案．
) + 的形式，然后根据三角函数的性质逐一作出判定、 【解答】
【解答】 → → → → →解：( + ) + ( + + )
解： 1 2 1 √2 1 ( ) = 2 + = + 2 = ( 2 ) + ，
2 2 2 4 2 = ( + ) + ( + ) +
2
① ( )的最小正周期为 = = ； =
+ +
2
= + 0
② ∈ [0, ]，2 ∈ [ , ]， √2 √2
4 4 4 4 (2 ) ∈ [ , ]，∴ ( )的值域为[0,1]； 4 2 2
= ，
5 5 1
③ (2 × ) = = 0，∴ ( )的图像关于点( , )中心对称；
8 4 8 2 故答案为 ．
11 5 11
④ (2 × ) = = 1，∴ ( )的图像关于直线 = 对称．
8 4 2 8
7
故选 D． 15.【答案】[2 , 2 + ], ∈ 6 6
2
13.【答案】 【解析】
3
【分析】
【解析】
本题主要考查函数的定义域和三角函数图像，属于基础题．
【分析】
首先由二次根式有意义的条件，可得1 2sin 0，即得出sin 的范围，再根据正弦函数的图象求出
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
函数的定义域．
利用诱导公式化简即可得解．
【解答】
【解答】
解：函数 = √1 2sin ，
2
解：∵ = ，
3
∵ 1 2sin 0，
2
∴ sin( ) = = ．
3 1∴ sin ，
2
2
故答案为： ．
3 7 ∴ 2 2 + , ∈ ，
6 6
7
故函数 = √1 2sin 的定义域为[2 , 2 + ], ∈ ． 6 6
14.【答案】
7
【解析】 故答案为[2 , 2 + ], ∈ ． 6 6
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综上所述，本题答案为③⑤．
1
16.【答案】[ , 0]
2
9
【解析】 18.【答案】[ 4, ] 4
【分析】 【解析】
本题考查了正弦函数的图象与性质的相关知识，属于基础题． 【分析】
根据已知条件可得到 的取值范围，进而可求得 的取值范围． 本题考查函数的最值、函数 = ( + )的图象与性质、两角和与差的三角函数公式，属于中档
【解答】 题．
解：由正弦函数的图象，知当 ∈ [0,2 ]时， ∈ [ 1,1]， 根据图象求出函数的解析式为 ( ) = 2 (2 + )，求出 ( ) = 2 (2 + ) + 2 (4 + ) =
6 6 3
要使方程 = 4 + 1在 ∈ [0,2 ]上有解，
2 (2 + ) + 2 [1 2sin2 (2 + )]，令 = sin (2 + )， ∈ [ 1,1]，根据二次函数的性质，即可
6 6 6
则 1 ≤ 4 + 1 ≤ 1，
求出结果．
1
故 ≤ ≤ 0．
2
【解答】
1
故答案为[ , 0]．
2 2 解：由图可得 = 2， = = ，
2 3 6 2
17.【答案】③⑤
所以 = ，所以 = 2，
【解析】
当 = 时， ( ) = 2，可得2 (2 × + ) = 2，
6 6
【分析】
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题． 因为| | < ，所以 = ， 2 6
【解答】 所以函数 ( )的解析式为 ( ) = 2 (2 + )，
6
解：①当 为偶数时，终边在 轴上，故该项错误;
设 ( ) = ( ) + 2 (4 + )，
3
②在同一直角坐标系中，函数 = sin 的图象和函数 = 的图象有一个公共点，为原点，故该项错误
; 则 ( ) = 2 (2 + ) + 2 (4 + ) 6 3
③ = 3sin(2 + )的图象向右平移 得到 = 3sin[2( ) + ] = 3sin2 的图象，故该项正确; = 2 (2 + ) + 2 [1 2sin2 (2 + )]，
3 6 6 3 6 6
④ = sin( ) = cos ，在(0, )上是增函数，故该项错误; 令 = sin (2 + )， ∈ [ 1,1]，
2 6
1 9
⑤当 = 时，代入函数中可得， = tan[2 × ( ) + ] = tan0 = 0，则可知( , 0)为对称中心，故 记 ( ) = 4 2 + 2 + 2 = 4( )2 + ， 6 6 3 6 4 4
该项正确． 9因为 ∈ [ 1,1]，所以 ( ) ∈ [ 4, ]，
4
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9 9 5
即 ( ) ∈ [ 4, ]，故 ∈ [ 4, ]， (Ⅱ)由 ∈ [ , ]得到2 ∈ [ , ]，根据正弦函数的单调性即可得到结果．
4 4 6 2 6 2 6
9
故 的取值范围为[ 4, ]．
4
21.【答案】解：(1)证明：由已知可得： = =
9 1
4 2
故答案为[ 4, ]．
4
= 2( 1 4 2) = 2 // ，
∵ 与 有公共点 ，
→ → →
19.【答案】解：(1) + ≠ ,所以 ×； ∴ 、 、 三点共线；
(2) + + = + = ，所以√； (2)解：∵ // ，
(3) + + = + = ≠ ，所以×． ∴存在实数 ，使 = ，
【解析】本题考查向量的运算，属于基础题． ∴ 3 1 2 = 1 4 2 ，
利用向量的运算法则逐项判断即可． ∴ (3 ) 1 = ( 4 ) 2
又∵ 1 , 2 不共线，
3 = 0
20.【答案】解：(Ⅰ √3 1+cos2 ) ( ) = sin2 ， ∴ { ,
2 2 4 = 0
1
= sin2 cos 2 sin 解得 = 12．
6 6 2
【解析】本题考查了向量线性运算，向量共线定理，属于中档题．
1
= sin(2 ) ．
6 2
(1)先求出 ，只要证明 = 2 即可；
2
所以 ( )的最小正周期为 = ．
2 (2)利用向量共线定理即可求解．
(Ⅱ)当 ∈ [ , ]
5
时，2 ∈ [ , ]，
6 2 6 2 6
22.【答案】解：(1)由题意知 ( ) = √3sin 2 + 1 + cos 2 = 2 (2 + ) + 1，
故当 ≤ 2 ≤ ，即 ≤ ≤ 时， ( )单调递增， 6
2 6 2 6 3
2
5 ∵周期 = ， = ，∴ = 1，
当 ≤ 2 ≤ ，即 ≤ ≤ 时， ( )单调递减． 2
2 6 6 3 2
5 ∴ ( ) = 2 (2 + ) + 1，
当2 ∈ [ , ]时， 1 sin(2 ) 1， 6
6 2 6 6
3 2
3 1 3 1 令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，得 + ≤ ≤ + ， ∈ ．
所以 ( ) ，即 ( )的值域为[ , ]. 2 6 2 6 3
2 2 2 2
2
【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题． ∴函数 ( )的单调递减区间为[ + , + ]， ∈ ． 6 3
1
(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数 ( ) = sin(2 ) ，即可求得函数的周期； (2) ∵ ( ) = 2 [2 ( ) + ] + 1 = 2 (2 ) + 1，
6 2 6 6 6
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5 2
当 ∈ [0, ]时， ≤ 2 ≤ ， 结合正弦函数 = sin 的图象，可得方程sin = 在区间[ , 5 ]有5个解，即 = 5，
2 6 6 6 3 3
∴当2 = ，即 = 时， ( )
6 2 3
= 2 × 1 + 1 = 3．
【解析】本题考查三角函数的恒等变形， = sin( + ) + 的性质，函数的最值，难度适中．
3
(1)利用二倍角公式可得 ( ) = 2 (2 + ) + 1，利用周期得 = 1，令 + 2 ≤ 2 + ≤ +
6 2 6 2
2 ， ∈ ，可得函数的单减区间．
(2)由图象的变换得 ( ) = 2 (2 ) + 1
5
，当 ∈ [0, ]时， ≤ 2 ≤ ，可得函数的最大值．
6 2 6 6 6
其中 1 + 2 = 3 , 2 + 3 = 5 , 3 + 4 = 7 , 4 + 5 = 9 ，
1
23.【答案】解：(1)函数 ( ) = √3 ( + ) + 2 2[ ( + )] 1 = √3 ( + ) ( +
6 2 6 6 即4 1 + 4 3 2
= 3 ,
3
) = 2 ( + ) = 2
6 6 6 4 2 + 4 3 = 5 , 3 3
因为函数 ( )图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 = ，可得 = 2，
2 4 3 + 4 3 4
= 7 ,
3
所以 ( ) = 2sin2 ．
4 4 + 4 5 = 9 ，
3 3
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，可得 = 2sin(2 )的图象，
6 3
11 17
解得 1 + 2 = , + = ,
1 12
2 3 12
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 = ( ) = 2sin(4 )的图象，
2 3 23 29
3 + 4 = , 4 + 5 = ，
2 12 12
当 ∈ [ , ]时，4 ∈ [ , ]，
12 6 3 3 3 20
所以 = 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 5 = ( 1 + 2) + ( 2 + 3) + ( 3 + 4) + ( 4 + 5) = ．
3
当4 = 时，函数 ( )取得最小值，最小值为 2，
3 2
20
所以 为5， 为 ．
3
当4 = 时，函数 ( )取得最大值，最小值为 √3， 3 3
故函数 ( )的值域[ 2, √3]． 【解析】本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的变换法则，考查函数的零点与方程根的关系，
4 4 2 考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于较难题．
(3)由方程 ( ) = ，即2sin(4 ) = ，即sin(4 ) = ，
3 3 3 3 3 (1)利用三角恒等变化求出 ，即可得解;
4
因为 ∈ [ , ]，可得4 ∈ [ , 5 ]， (2)易得 ( ) = 2sin(4 )，根据正弦函数的图象与性质，可得解;
6 3 3 3 3
2 2
设 = 4 ，其中 ∈ [ , 5 ]，即sin = ， (3)令 = 4 ，原问题可转化为函数 = sin 与 = 在 ∈ [ , 5 ]上的交点个数，由交点个数确定
3 3 3 3 3 3
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的值，即可确定 = 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 1 + 的值．
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