北京东城区中考数学2020-2022三年模拟（一模、二模）按题型分层汇编-07解答题中档题
1．（2020·北京东城·统考一模）解不等式组：．
2．（2020·北京东城·二模）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点
（1）求证：；（2）如果，，求弦的长．
3．（2020·北京东城·统考一模）人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．
a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：
b．人口数量在2≤x＜4这一组的是：
2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9
c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：
d．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：
0～14岁人口比例 15～59岁人口比例 60岁以上人口比例
第二次人口普查 40.4% 54.1% 5.5%
第五次人口普查 22.89% 66.78% 10.33%
第六次人口普查 16.6% 70.14% 13.26%
e．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第 位．
（2）人口增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有 个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为 千万人（保留小数点后一位）．
（3）下列说法中合理的是 ．
①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．
4．（2020·北京东城·统考一模）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，求的值．
5．（2020·北京东城·统考一模）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
6．（2020·北京东城·统考一模）观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．
解分式方程：1﹣＝．
解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x，…步骤1
去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x，…步骤2
移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3
合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4
解得x＝．…步骤5
所以，原分式方程的解为x＝．…步骤6
7．（2020·北京东城·统考一模）如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ．小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7
AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
PQ 4.00 2.31 0.84 1.43 3.07 4.77 6.49
AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63
在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为 cm．
8．（2020·北京东城·统考一模）如图，直线与⊙相离，于点，与⊙相交于点，．是直线上一点，连接并延长，交⊙于点，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求线段的长．
9．（2020·北京东城·二模）如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，连接．若，，求的度数．
10．（2020·北京东城·二模）教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现的效果．现对教育未来指数得分前35名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述和分析后，给出了部分信息．
a．教育未来指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：，，，，，，）；
b．教育未来指数得分在这一组的是：61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5
c．35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图如下：
d．中国和中国香港的教育未来指数得分分别为32.9和68.5．
（以上数据来源于《国际统计年鉴（2018）》和国际在线网）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第______；
（2）在35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线l的上方，请在图中用“○”画出代表中国香港的点；
（3）在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为_____万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是__________．（只填序号即可）
①相较于点所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距，“十三五”规划提出“教育优先发展，教育强则国家强”的任务，进一步提高国家教育水平；
②相较于点所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
11．（2020·北京东城·二模）如图，在中，，P是上的动点，D是延长线上的定点，连接交于点Q．
小明根据学习函数的经验，对线段的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在上的不同位置，画图测量，得到了线段的长度（单位：cm）的几组值，如下表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
4.99 4.56 4.33 4.23 4.53 4.95 5.51
4.99 3.95 3.31 2.95 2.80 2.79 2.86
在的长度这三个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度和_________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当时，的长度约为_______cm．
12．（2020·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，直线与x轴交于点．
（1）求的值；
（2）已知点，过点P作平行于x轴的直线，交直线于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数的图象于点D，当时，结合函数的图象，求出n的值．
13．（2020·北京东城·二模）在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
14．（2020·北京东城·二模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．（2020·北京东城·统考一模）计算：．
16．（2021·北京东城·统考一模）如图，是的内接三角形，过点C作的切线交AB的延长线于点D，于点E，交CD于点F．
（1）求证：；
（2）若，求线段CF的长．
17．（2021·北京东城·统考一模）解不等式组：，并写出其中的正整数解．
18．（2021·北京东城·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作交DC于点G，交AC于点M．过点G作于点N．
（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若，求线段AC的长．
19．（2021·北京东城·统考一模）计算：．
20．（2021·北京东城·统考一模）已知，求代数式的值．
21．（2021·北京东城·统考一模）解分式方程：．
22．（2021·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且过点．
（1）求直线的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与直线关于y轴对称，直线与直线围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
23．（2021·北京东城·统考二模）先化简代数式，再求当满足时，此代数式的值．
24．（2021·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（-3，-1），B（1，m）．
（1）求k和m的值；
（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
25．（2021·北京东城·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF=4，，求BE的长．
26．（2021·北京东城·统考二模）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
27．（2021·北京东城·统考二模）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CDON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；
③画射线OQ；
④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；
⑤画射线CD．
射线CD就是所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=________．
∵OC=CD，
∴∠MOD=________．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CDON（ ）（填推理的依据）．
28．（2021·北京东城·统考二模）如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．
（1）求BF：DF的值；
（2）若AB=2，AE=，求BD的长．
29．（2021·北京东城·统考二模）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．
30．（2021·北京东城·统考一模）第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息：
名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图：
名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）：
测试成绩在这一组的是：．
小明的冬奥知识测试成绩为分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小明的测试成绩在抽取的名同学的成绩中从高到低排名第______；
(2)抽取的名同学的成绩的中位数为______；
(3)序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______；
(4)成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人．
31．（2022·北京东城·统考一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．
(1)求证：；
(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
32．（2022·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，点P为反比例函数的图象上一点．
(1)求m，k的值；
(2)连接OP，AP．当时，求点P的坐标．
33．（2022·北京东城·统考一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4
h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88
在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为_______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）
34．（2022·北京东城·统考一模）解不等式组．
35．（2022·北京东城·统考一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
36．（2022·北京东城·统考一模）已知：线段AB．
求作：，使得，．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵，
∴为等边三角形（ ）．（填推理的依据）
∴．
∵，
∴．
∴__________（ ）．（填推理的依据）
∴．
∴．
在中，
∴．
37．（2022·北京东城·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若，，，，求BE的长．
38．（2022·北京东城·统考一模）如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求AE的长．
39．（2022·北京东城·统考二模）如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
40．（2022·北京东城·统考二模）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．
(1)建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含的代数式表示）；若总篱笆长为米，请写出总篱笆长（米）关于边长（米）的函数关系式__________；
(2)列表：
根据函数的表达式，得到了与的几组对应值，如下表：
1 2 3 4 5
10 6
表中________， ________；
(3)描点、画出函数图象：
如图，在平面直角坐标系中，将表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
(4)解决问题：
根据以上信息可得，当__________时，有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为_________米．
41．（2022·北京东城·统考二模）如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作．
(1)求证：是⊙A的切线；
(2)若，，求的长．
42．（2022·北京东城·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，直线：经过点．
(1)求的值；
(2)过点作垂直于轴的直线，与双曲线交于点，与直线交于点．
①当时，判断与的数量关系；
②当时，结合图象，直接写出的取值范围．
43．（2022·北京东城·统考二模）某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新水平进行了评估。科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）。该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析。下面给出了部分信息：
a．综合指数得分的频数分布表（数据分成6组：，，，，）：
综合指数得分 频数
8
16
8
2
1
合计 40
b．综合指数得分在这一组的是：
70.0 70.4 70.6 70.7 71.0 71.0 71.1 71.2 71.8 71.9 72.5 73.8 74.0 74.4 74.5 74.6
c．40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
（数据来源于网络《2021年中国城市科技创新指数报告》）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)综合指数得分的频数分布表中，______________；
(2)40个城市综合指数得分的中位数为____________；
(3)以下说法正确的是____________．
①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．
44．（2022·北京东城·统考二模）如图，在中，，，在△ABC的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点．
(1)依题意补全图形；
(2)连接，求证：；
(3)过点作于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
45．（2022·北京东城·统考二模）如图，在中，．
求作：直线，使得//．
小明的作法如下：
①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交的延长线于点，交线段于点；
②分别以点为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画直线．
直线即为所求，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明。
证明：由作法可知：平分．
∴（______________）．（填推理的依据）
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴__________．
∴//（___________________________）．（填推理的依据）
46．（2022·北京东城·统考二模）已知关于的一元二次方程．
(1)不解方程，判断此方程根的情况；
(2)若是该方程的一个根，求代数式的值．
47．（2022·北京东城·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标；
(2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(3)若抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围．
参考答案：
1．﹣6＜x≤13．
【分析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
【详解】解：原不等式组可化为：
，
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13．
2．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A=90°，又∠CDE+∠A=90°，可得∠CDE=∠ACE，则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切，是的半径，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴，
∴.
（2）∵为直径，
∴.
在中，，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，，
∴.
∴.
在中，.
在和中，
∵，
∴，
∴，即，
∴.
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
3．（1）6；（2）2，3.8；（3）①②
【分析】（1）观察统计图结合已知条件即可判断．
（2）观察散点图可得结论．
（3）根据题意①②说法都是合理的．
【详解】解：（1）∵人口为0≤x＜2千万人的有5的地区，
又∵人口数量在2≤x＜4这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9，北京在第一位，
∴我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．
故答案为6．
（2）由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，
故答案为2，3.8．
（3）①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．
故答案为①②．
【点睛】本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（1）详见解析；（2）﹣1
【分析】（1）根据菱形的性质得到CB＝CD，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，推出△DEG与△BEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BF＝DE；
（2）解：∵∠A＝45°，四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，
∴∠CBG＝∠G＝45°，
∴△DEG与△BEC是等腰直角三角形，
设BE＝CE＝a，
∴BC＝AD＝a，
∵∠A＝∠G＝45°，
∴AB＝BC，∠ABG＝90°，
∴AG＝2a，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．（1）a＞﹣且a≠0；（2）a的值为1，方程的另一个实数根为﹣3
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答；
（2）解方程即可得到结论．
【详解】（1）∵关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且a≠0，
即22﹣4a （﹣3）＞0，且a≠0，
∴a＞﹣且a≠0；
（2）将x＝1代入方程ax2+2x﹣3＝0，
解得：a＝1，
把a＝1代入ax2+2x﹣3＝0，得x2+2x﹣3＝0，
解方程得，x1＝1，x2＝﹣3，
∴a的值为1，方程的另一个实数根为﹣3．
【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．
6．x＝1，详见解析
【分析】根据解分式方程的步骤来分析，记得验根．
【详解】出错的步骤：
步骤1：去分母时，方程两边同时乘2（x+1），等号右边应该是6x；
步骤2：遇到负号去括号时要变号，等号左边﹣3改成+3；
步骤3：移项要变号，等号右边是3﹣2；
步骤6：分式方程的根要检验．
正确结果：
1﹣＝．
2x+2﹣（x﹣3）＝6x
2x+2﹣x+3＝6x
2x﹣x﹣6x＝﹣2﹣3
﹣5x＝﹣5
x＝1
检验：把x＝1代入2（x+1）≠0，所以原分式方程的解是x＝1
【点睛】本题主要考查了解分式方程的步骤，尤其是最后的检验步骤，一定不能忘记，这也是分式方程根整式方程的不同之处．
7．（1）AP、PQ、AQ；（2）详见解析；（3）3.07（答案不唯一）
【分析】（1）根据变量的定义即可求解；
（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；
（3）两函数图象交点的横坐标即为所求．
【详解】解：（1）根据变量的定义，AP是自变量，PQ、AQ是因变量，即PQ、AQ是AP的函数，
故答案为：AP、PQ、AQ；
（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；
（3）当AQ＝PQ时，即为两个函数图象的交点，
从图上看，交点的横坐标大约为3.07cm，
故答案为：3.07（答案不唯一）．
【点睛】本题是动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论；
（2）过点作于，设，，由勾股定理可求，，由勾股定理可求的长，通过证明∽，可求的长，由等腰三角形的性质可求的长．
【详解】解：(1) 证明：如图，连结，则．
．
，
．
而，即．
．
即．
，
，故是⊙的切线．
（2）∵ ，
∴ 在Rt△ACP中，设AP=x，AC=2x．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
，
∴．
∵，
由勾股定理，得．
即 ．
解得 ．
∴ AP=2．
∴．
∴．
∴ ．
过作于，
在和中，
，，
∴∽．
．
．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题关键．
9．
【分析】由三角形内角和计算出的度数，由BA=BD，，计算出的度数，进而得到的度数．
【详解】解：如图，，
．
由作图可知，．
．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
10．（1）14； （2）见解析；（3）6.3；（4）①，②．
【分析】（1）在频率分布直方图中，计算70分以上的频数，将之间的数据按照从大到小排列，即可确定；
（2）根据（1）在图中画出即可；
（3）根据统计图中提供的人均国内生产总值和和教育未来指数分析即可；
（4）根据统计图分析合理即可在．
【详解】（1）由条形统计图可知：的国家数为：8+5=13
在这一组中，将数据按照从大到小排列，68.5排在第一位，故香港位于第14位
故答案为：14．
（2）补充如图所示：
（3）根据统计图中提供的人均国内生产总值和和教育未来指数分析，得人均国内生产总值的最大值约为6.3万美元．
故答案为：6.3．
（4）根据统计图中提供的人均国内生产总值和和教育未来指数分析：
①相较于点所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距，“十三五”规划提出“教育优先发展，教育强则国家强”的任务，进一步提高国家教育水平；合理．
②相较于点所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理．
【点睛】本题考查了数据的分析，读懂统计图，并理解题意是解题的关键．
11．（1）；（2）图形见解析；（3）3.63
【分析】（1）根据变量的定义即可求解；
（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；
（3）画出直线AP的图象y=x,画出(DP+DQ)的函数图象，两函数图象交点的横坐标即为所求．
【详解】解：（1）根据变量的定义，AP是自变量，DP、DQ是因变量，即DP、DQ是AP的函数，
（2）如图所示：
(3)在图象上画出直线AP的图象y=x,画出(DP+DQ)的函数图象，新画的两个函数的交点U，即为AP=(DP+DQ)的点，此时AP的长度约为3.63.
【点睛】本题是动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（1），；（2）或．
【分析】（1）将A点代入反比例函数解析式，将B点代入一次函数解析式，即可求出答案；
（2）由题意可得，，PD=|-2n|，在分点D在点P的下方时和点D在点P的上方时两种情况求解即可．
【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点，
．
又直线与x轴交于点，
；
（2）由（1）知，k=-4，m=2，
则反比例函数为：，
直线函数解析式为：y=-2x+2，
如图点P(n，-2n)，
过P点平行于x轴的直线为：y=-2n，
过P点平行于y轴的直线为：x=n，
则把y=-2n代入y=-2x+2，
则有-2n=-2x+2，解得x=n+1，
则C点坐标为(n+1，-2n)，
则PC=n+l-n=1，
把x=n代入，
则有，
则P点坐标为(n，)，
则PD=|-2n|，
又∵PD=2PC，
当-2n>0时，-2n=2×1，
n2+n-2=0，
(n+2)(n-1)=0，
n1=1，n2=-2(舍去)，
经检验n=1是原方程的解，
当-2n<0时，2n-=2×1，
n2-n-2=0，
(n-2)(n+1)=0，
n1=2，n2=-1(舍去)，
经检验n=2是原方程的解，
综上，当时，或．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，一元二次方程，根据题意得出PD=|-2n|是解题关键．
13．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形ABCD的性质得∠AOB=90°即可推出四边形是菱形．
（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得OF=AD=5，然后在直角三角形AOF中，解直角三角形可以求出AO的长，从而得到AC的长.
【详解】（1）证明：点E是的中点，，
四边形是平行四边形．
又∵四边形是菱形，
，即．
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
又四边形是菱形，
．
．
在中，，
．
．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．，解集见解析；
【分析】先求出不等式的解集，然后画出数轴表示即可．
【详解】解：．
．
．
．
不等式的解集在数轴上表示为：
【点睛】此题主要考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集，即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
15．
【分析】直接利用绝对值的性质以及非零数的零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简即可得到答案．
【详解】解：
=
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各式是解答此题的关键．
16．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）连接OB，OC，证明OE垂直平分BC，OE是的角平分线，得到，再根据圆周角定理求解即可；
（2）根据已知条件证明，再利用勾股定理求解即可；
【详解】（1）连接OB，OC，
是的切线，，
，
∴，，
∴，，
∵弦BC，
∴OE垂直平分BC，OE是的角平分线，
∴，
∵为弧BC所对的圆周角，为弧BC所对的圆心角，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，OE垂直平分BC，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，锐角三角函数的应用，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理求解是解题的关键．
17．；正整数解为1．
【分析】分别求出两个不等式得解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组得解集，再找出解集中得正整数解即可得答案．
【详解】
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组得解集为，
∴不等式组的正整数解为：1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组得正整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）AC=40．
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠GNE=∠MEN=90°，根据平行线的性质可得∠MGN=90°，即可证明四边形NEMG是矩形；
（2）根据sin∠CAB=可求出MB得长，利用勾股定理可求出AM的长，根据平行四边形的性质可得∠CAB=∠ACD，利用AAS可证明△ABM≌△CDE，可得CE=AM，根据矩形的性质可得ME=NG，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】（1）∵，，
∴∠GNE=∠MEN=90°，
∵，
∴∠MGN+∠GNE=180°，
∴∠MGN=90°，
∴四边形NEMG是矩形．
（2）∵四边形NEMG是矩形，GN=8，
∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，
∵sin∠CAB=，AB=26，
∴MB=10，
∴=24，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠CAB=∠ACD，
在△ABM和△CDE中，，
∴△ABM≌△CDE，
∴CE=AM=24，
∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
19．．
【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．
20．
【分析】化简代数式，再整体代入即可．
【详解】解：，
=，
=，
∵，
∴，
故代数式的值为．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是熟练化简整式，再整体代入求值．
21．．
【分析】先去分母转化成整式方程，解整式方程求出解，再检验即可求得答案．
【详解】
去分母得：，
移项、整理得：，
解得：，
检验：时，≠0，
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤、正确运算是解题的关键，注意，解分式方程要检验，避免出现增根．
22．（1）；（2）或．
【分析】（1）根据直线与直线平行，且过点A（2，7）从而可以求出对应的函数解析式即可；
（2）根据直线与直线关于y轴对称，在根据（1）中求得的，求出对应的，再根据整点的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵直线与直线平行
∴直线
又∵直线过点A（2，7）
∴，即
∴直线的解析式为
（2）∵直线
∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，1）
设直线的解析式为
∵直线与直线关于y轴对称
∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，1）
∴解得
故可画出如下图所示的函数图像
当，由图像可知m值越小所围的区域越大
当时，整点有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）、（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）恰好6个整点
当时，只有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）三个整点，（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）这三个点正好在边界上
故时恰好有6个整点
故由对称性可知当，所围成的区域也恰好有6个整点
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．
23．，4
【分析】先利用异分母分式加减法法则进行计算，再将所求字母的值代入求值即可．
【详解】解：
∵，
∴．
∴原式=4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键．
24．（1）；（2）或
【分析】（1）把 代入得，把 代入得；
（2）用待定系数法求得直线l的表达式为 ，再求得点C的坐标为，根据图象即可求得n的取值范围．
【详解】（1）把 代入得
把 代入得
（2）设直线l的表达式为 ，
分别把，代入得 解得
直线l的表达式为
直线l与x轴的交点为．
结合图象可知：当点P在线段BA的延长线上或在线段BC（不含端点）上时，点Q位于点P右侧．
∴点P的纵坐标n的取值范围是或
【点睛】本题时一次函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决第（2）题的关键．
25．（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明BD是⊙O的切线，需要连接OB，通过角的等量代换，求证，即可．
（2）连接交于点，由直径所对的角为直角及平行线的判定及性质得出，再根据等角的正弦值相等及勾股定理即可求出，易证四边形BEFG是矩形，最后根据矩形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OB，
∵AC是直径，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴是☉O的切线．
（2） 解：如图，连接交于点，
∵AC是直径，
，
，
，
．
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
根据勾股定理，得．
，
，
，
，
∴四边形BEFG是矩形，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的切线证明，三角形的勾股定理应用，锐角三角函数的计算以及矩形的性质等相关知识点，能根据题意进行准确的条件分析是解题关键．
26．（1）见解析；（2），
【分析】（1）进行判别式的值得到△＝，然后根据判别式的意义可判断方程总有实数根；
（2）确定一个大于1的实数根，代入求出，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：，
∴该方程总有实数根．
（2）解：当时，原方程为，解得，，
代入原方程得，．即．
解得：
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用一元二次方程的相关知识进行求解计算．
27．（1）见解析；（2）∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据作图方法要求，依次完成即可；
（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图：
（2）证明： ∵OD平分∠MON，
∴∠MOD=∠NOD．
∵OC=CD，
∴∠MOD=∠CDO．
∴∠NOD=∠CDO．
∴CD∥ON（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：∠NOD；∠CDO；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键．
28．（1）2：1；（2）
【分析】（1）根据菱形的性质结合相似三角形的判定和性质求解；
（2）根据菱形的性质及勾股定理的逆定理判定∠AED=90°，然后利用特殊角三角函数值计算求解
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴△ABF∽△DEF．
∴ ．
∵点E是CD的中点，
∴AB=CD=2DE．
∴BF：DF=2：1．
（2） 连接AC
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∵AB=2，
∴AD=2，DE=1．
∵AE=，
∴=+。
∴∠AED=90°．
∵ sin∠ADE=，
∴∠ADE=60°．
在菱形ABCD中，BD为对角线，
∴∠ADB=∠ADE=30°．
连接AC，交BD于点O ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OB=OD．
∴ AO=AD=1．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=．
∴BD=2OD=2．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
29．（1）DP⊥AE；（2）①见解析；②BF=DF，证明见解析
【分析】（1）已知△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得DP⊥AE；
（2）①根据题目要求，补全图形，根据已知条件易证∠BAE+∠CAE=90°，∠ACP+∠CAE=90°．再根据同角的余角相等即可证得∠BAE=∠ACP． ②线段BF与DF的数量关系：BF=DF． 过点B作BH⊥AE于点H．易证△BAH ≌△ACP，由全等三角形的性质可得BH=AP=DP．再△BFH ≌△DFP，由此可得BF=DF．
【详解】（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；理由如下：
∵△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，
∴DP⊥AE；
（2）①补全图形，如图：
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAE=90°．
∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，
∴DP⊥AE，即∠APD=90°．
∵点C，D，P在同一条直线上，
∴∠ACP+∠CAE=90°．
∴∠BAE=∠ACP．
② 线段BF与DF的数量关系：BF=DF．
证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∴∠AHB=∠APD=90°．
∵ ∠BAE=∠ACP，AB=AC，
∴△BAH ≌△ACP(AAS)．
∴BH=AP=DP．
∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，
∴△BFH ≌△DFP(AAS)．
∴BF=DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练运用等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
30．(1)5
(2)74
(3)
(4)140
【分析】（1）根据图由大到小数即可得出结论；
（2）根据中位数的定义，可以得到结论；
（3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
（4）由图可知，成绩在分以上的有人，总占比，再乘总人数即可得出结论．
【详解】（1）在30名同学冬奥知识测试成绩的统计图中画出成绩为85分的水平线，如下图：
由图可知：小明的成绩是，位于第名；
故答案为：；
（2）抽取的人数为，
∵，，，，，的人数分别为：人，人，人，人，人，人；
即中位数落在的范围内，
又∵的范围内的成绩为：70，73，74，74，75，75，77，78，
∴中位数是第和第个分数的平均数，
∴中位数为，
故答案为：；
（3）为便于观察，画出年级分隔先，如图，
∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由上图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，
∴，
故答案为：；
（4）由直方图可知，成绩在分以上的有人，总占比，
即：（人），
故答案为：．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及中位数，方差，用样本估计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察．分析．研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
31．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据正方形的性质可得依据SAS证明即可得出结论；
（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接EG，证明,得GE=BE,，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠
在△和△中，
∴△
∴
（2）①补全图形如下：
②连接GE，如图，
∵
∴∠
∴∠
∴，，
又
∴△
∴
∴，
由（1）知：△，
∴∠
∴∠即∠，
∴∠
由勾股定理得，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
32．(1)m的值为1，k的值为3
(2)或
【分析】（1）将代入，可求得，则，将代入，计算求解值即可；
（2）设，则到轴的距离为，将代入，解得，则，，根据，计算求解满足要求的值，进而可求点坐标．
（1）
解：将代入得，，
解得，
∴，
将代入得，，
解得，
∴，
∴的值为1，的值为3．
（2）
解：设，则到轴的距离为，
将代入，解得，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴点坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的关键在于对反比例函数的解析式、图象等的熟练掌握与灵活运用．
33．(1)d，h
(2)见解析
(3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【分析】（1）根据函数的定义即可解答；
（2）描点，连线，画出图象即可；
（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．
【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；
故答案为：d，h；
（2）解：描点，连线，画出图象如图：
；
（3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；
故答案为：0.88；
②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，
把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，
令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，
解得d3.3或d0.7，
∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
34．
【分析】先分别求出不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式得，；
解不等式得，；
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的计算．
35．(1)
(2)k=2，方程的两个根为，
【分析】(1)根据题意和一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可求得；
(2)首先根据(1)可知，k的值只能是1或2，分别代入方程，解方程，再根据方程的两个根均为整数，即可解答．
（1）
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
解得
故k的取值范围为
（2）
解：且k为正整数
k的值只能是1或2
当k=1时，方程为
解得
方程的两个根均为整数
k=1不合题意，舍去
当k=2时，方程为
解得，
方程的两个根均为整数，符合题意
故k=2，方程的两个根为，
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
36．(1)见解析
(2)等边三角形的定义；；三角形中等边对等角
【分析】(1)根据题意和作法即可画出图形；
(2) 连接AD，根据等边三角形的定义及性质，可得，再根据三角形中等边对等角，可证得，根据三角形外角的性质即可求得，据此即可证得为所求作的三角形．
【详解】（1）解：如图：
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取；
③连接AC．
则为所求作的三角形．
（2）证明：如图：连接AD．
∵，
∴为等边三角形（等边三角形的定义）．
∴．
∵，
∴．
∴（三角形中等边对等角）．
．
∴．
在中，
∴．
【点睛】本题考查了作直角三角形，等边三角形的判定及性质，等边对等角，三角形内角和定理及外角的性质，按要求作出图形是解决本题的关键．
37．(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）由，可知，证明，则，进而结论得证；
（2）由，，可知，由平行四边形的性质可知，，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求解的值，根据，求解的值即可．
（1）
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴四边形AECD是平行四边形．
（2）
解：∵，，
∴，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的长为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
38．(1)见解析
(2)
【分析】(1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；
(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）证明：
（2）解：如图：连接BE
是的直径，AB=4
，
是的切线
又
又
，解得
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键．
39．(1)见解析；
(2)边长为5
【分析】由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）根据菱形的性质得出，由各角之间的数量关系得出，根据题意得出，再利用勾股定理得出EC的长，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵是的中点，
∴
∴在与中，
，
∴
∴AD=BE，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴EB=BC=BD=，
菱形的边长为5．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
40．(1)，
(2)6.25，10
(3)见解析
(4)1.5，6
【分析】（1）根据矩形的面积公式，求得另一边的长，根据矩形的周长列出函数关系式；
（2）将与代入（1）中函数关系式即可求解；
（3）表中未描出的点，补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数图像即可求解．
（1）
解：∵面积为平方米的矩形小花园，设矩形小花园的一边长为米，
则矩形小花园的另一边长为
若总篱笆长为米，则
故答案为：，
（2）
当时，，
当时，
故答案为：6.25，10
（3）
在坐标系描出点，，并用平滑的曲线连接点，如图，
（4）
根据以上信息可得，当1.5时，有最小值为6．由此，小强确定篱笆长至少为6米．
故答案为：1.5，6
【点睛】本题考查了描点法画函数图象，根据函数图象获取信息，求函数值，理解题意，掌握描点法画函数图象是解题的关键．
41．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于，根据同旁内角互补证得，可证得，利用可证得，则可证得，根据切线的判定即可求证结论．
（2）根据角相等即可得，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
过点作于，如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，且为的半径，
是的半径，
是的切线．
（2）
，
，
，
，，
，
，
，解得，
的长为．
【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键．
42．(1)k=-2，b=2；
(2)①CD=CP；②
【分析】（1）直接利用待定系数法即可确定这两个值；
（2）①过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线交于点C，与直线l交于点D，由（1）得，双曲线的解析式为，直线的解析式为：y=-2x+2，得出C(n，)，D（n，-2n+2），得出DC=，CP=，当n=2时，代入求解即可；
②考虑当CD=CP时，解方程确定n的值，然后作出函数图象，结合图象求解即可．
（1）
解：∵双曲线经过点A(2,-1)，
∴k=2×(-1)=-2，
∵直线l经过点B（2，-2），
∴-2=-2×2+b，
解得b=2，
即k、b的值分别为：-2；2；
（2）
①过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线交于点C，与直线l交于点D，由（1）得，双曲线的解析式为，直线的解析式为：y=-2x+2，
∴C(n，)，D（n，-2n+2）
∴DC=，CP=，
当n=2时，P(2,0)、C(2,-1)、D(2,-2)，此时点C与点A重合，点D与点B重合，
∴CD=-1-（-2）=1，CP=0-(-1)=1，
∴CD=CP；
②设直线l：y=-2x+2与x轴交于K，如图：
在y=-2x+2中，令y=0得x=1，
∴K（1，0），
由图可知，当P位于K及右侧，（2，0）及左侧时，CD≤CP，
∴1≤n≤2．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标系中两点间的距离及数形结合思想等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
43．(1)5
(2)73.9
(3)②
【分析】（1）用总数减去其它各组频数即可得出m的值；
（2）根据中位数的定义判断即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
（3）根据图表数据判断即可．
【详解】（1）m＝40﹣8﹣16﹣8﹣2﹣1＝5，
故答案为：5；
（2）40个城市综合指数得分从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为73.8，74.0，故中位数为73.9，
故答案为：73.9；
（3）由题意可知，某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是84分，故①说法错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故②说法正确．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了频数分布表、统计图、中位数；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
44．(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)BE+2EF=DE，理由见解析
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出AD=AC，结合AB=AC，求出AD=AB，则可求得∠ABE=∠ADE，然后根据垂直平分线的性质和角的和差关系推出∠ADE=∠ACE，则可得出结论；
（3）线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE；作AG⊥BD于G，根据等腰三角形的性质推出BE+2GE=DE，然后利用“AAS”证明△AGE≌△AFE，得出GE=GF，则可得出结论．
（1）
解：如图，
（2）
证明：如图，
由题意得：AP是CD的垂直平分线，
∴AD=AC，
又∵AB=AC，
∴AD=AB，
∴∠ABE=∠ADE，
∵AP是CD的垂直平分线，
∴CE=DE，DA=CA，
∴∠CDE=∠DCE，∠CDA=∠DCA，
∴∠CDE-∠CDA=∠DCE-∠DCA，
即∠ADE=∠ACE，
∴∠ACE=∠ABE；
（3）
线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE，理由如下：
如图：作AG⊥BD于G，
∵由（2）得AB=AD，
∴GD=GB，
∴DE-GE=BE+EG，
∴BE+2GE=DE，
由（2）得ED=EC，
又∵EP是CD的垂直平分线，
∴∠DEP=∠CEP（三线合一），
∵AG⊥ED，AF⊥EC，
∴AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（AAS），
∴GE=GF，
∴BE+2EF=DE．
【点睛】本题考查了作对称图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，把EF转化为GE．
45．(1)补画图形见详解
(2)角平分线的定义，，同位角相等，两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的判定解决问题即可．
【详解】（1）解：补画图形如下：
（2）由作法可知：平分．
∴（角平分线的定义）．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∴//（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作角平分线以及平行线的判定等知识，解题关键是掌握基本尺规作图方法和平行线的判定方法．
46．(1)有两个不相等的实数根
(2)11
【分析】（1）利用根的判别式Δ=b2-4ac判断即可．
（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，整理得k2-4k=-3，再将-2k2+8k+5变形为-2（k2-4k）+5，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵Δ=b2-4ac=（-2k）2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）将x=2代入一元二次方程x2-2kx+k2-1=0，
得4-4k+k2-1=0，
整理得k2-4k=-3，
∴-2k2+8k+5
=-2（k2-4k）+5
=-2×（-3）+5
=11．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ=b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
47．(1)（0，1）；
(2)（3，﹣9a+1）；
(3)a
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；
（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线与y轴的交点为（0，1），进而判断出xA＜0，xB＞6，得出AB＝|xB﹣xA|＞6，判断出此种情况不符合题意，
②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a，再根据y顶点＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．
【详解】（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，
∴3，
∴b＝﹣6a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，
当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；
（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，
由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，
∴xA＜0，xB＞6，
∴AB＝|xB﹣xA|＞6，
∵AB≤4，
∴此种情况不符合题意，
②当a＞0时，抛物线的开口向上，
由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，
在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），
∵AB≤4，
∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，
∴a，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y顶点＝﹣9a+1＜0，
∴a，
∴a．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．
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