河南省商丘市部分学校2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2023高二上·商丘期末）点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二上·商丘期末）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（2023高二上·商丘期末）直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二上·商丘期末）已知在正项等比数列中，，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（2023高二上·商丘期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高二上·商丘期末）已知双曲线的中心在坐标原点处，其对称轴为坐标轴，经过点，且一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高二上·商丘期末）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．16
8．（2023高二上·商丘期末）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．12 D．21
9．（2023高二上·商丘期末）若直线在轴、轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．（2023高二上·商丘期末）已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二上·商丘期末）已知椭圆关于轴 轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二上·商丘期末）已知分别为双曲线的左 右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立表示面积），则实数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023高二上·商丘期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则 .
14．（2023高二上·商丘期末）在四棱锥中，四边形是平行四边形，，若，则 .
15．（2023高二上·商丘期末）若直线与双曲线的两支各交于一点，则实数的取值范围为 .
16．（2023高二上·商丘期末）已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则 .
三、解答题
17．（2023高二上·商丘期末）已知数列满足.
（1）证明：是等比数列.
（2）判断是否可能是数列中的项.若是，求出的最大值；若不是，请说明理由.
18．（2023高二上·商丘期末）已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求.
19．（2023高二上·商丘期末）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：.
20．（2023高二上·商丘期末）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若时，，求数列的前项和.
21．（2023高二上·商丘期末）已知圆的直径，圆所在平面，，点是圆周上不同于、的一点.
（1）证明：；
（2）已知，点是棱上一点，若与平面所成角的余弦值为，且，求的值.
22．（2023高二上·商丘期末）已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：C
【分析】根据空间直角坐标系的定义，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线可化为，则，
由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为4，
故答案为：A.
【分析】化简抛物线的方程为为，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】因为直线，所以，
则直线的倾斜角，
又直线，所以直线的倾斜角为，
所以直线与直线的夹角为，
故答案为：B.
【分析】根据直线和方程，分别求得直线和的倾斜角，进而求得两直线的夹角.
4．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，解得
所以，所以
故答案为：B
【分析】根据，利用等比数列的性质，求得，结合，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】，
，不存在满足的点；
满足的点在双曲线的下支；
满足的点在双曲线的上支；
满足的点的轨迹是整个双曲线；
故答案为：C．
【分析】根据题意得，由，结合双曲线的定义，可判定A项点不存轨迹；B项中点在双曲线的下支；C项中点在双曲线的上支；D项点的轨迹是整个双曲线.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意设双曲线方程为，
因为双曲线经过点，
所以，得，
所以双曲线方程为，即为，
故答案为：D
【分析】由题意设双曲线方程为，代入点，求得的值，即可求得双曲线的方程.
7．【答案】A
【知识点】圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】因为圆的圆心，半径为
因为是圆的切线，
所以，即是以为直角的直角三角形
则
又因为
又因为
所以
所以
故答案为：A
【分析】由是圆的切线，得到，结合圆的切线长公式，求得，利用直角三角形的面积公式，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式
【解析】【解答】正项数列满足，，所以，
可得，所以是等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故答案为：A．
【分析】根据题意，化简得到，得到是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆化为：，
所以圆心为，半径为.
由直线将圆的周长平分，且在轴、轴上的截距相等，
所以直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，
所以直线的方程为或，即或.
故答案为：D.
【分析】由直线将圆的周长平分，且在轴、轴上的截距相等，得到直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线
易得，
菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥
在菱形中，，翻着后垂直不变，即
所以是二面角的平面角，即
又因为
所以平面，取中点，连接
又因为平面
所以
在中，，并且为的中点，
所以
故是异面直线与的距离
又因为异面直线与的距离是菱形边长的
所以
在中，
所以，又因为
所以
故答案为：C
【分析】设菱形的边长为，连接两条对角线交于点，证得，得到是二面角的平面角，取中点，连接，证得，进而证得得到是异面直线与的距离，结合题意得到，在中，得到，即可求解.
11．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故.
故答案为：B
【分析】设椭圆的方程为，由题意得到，进而得到，同除以，结合离心率的定义，即可求解.
12．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，
设内切圆半径为，
因为为的内心，成立表示面积），
所以，
所以，
因为点为双曲线右支上一点，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：C
【分析】求得，设内切圆半径为，根据，列出方程化简得到，再由点为双曲线右支上，得到，进而求得的值.
13．【答案】-1
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】由，得，
所以，半径为，
由，得，
所以，半径为，
因为两圆相交，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以当满足上式时，两圆的公共弦方程为，
因为公共弦所在的直线与直线平行，
所以，
所以，
故答案为：-1
【分析】根据两圆的位置关系，求得两圆的公共弦方程为，结合公共弦所在的直线与直线平行，即可求得的值.
14．【答案】1
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为，所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：1
【分析】根据题意求得，求得，再根据向量的运算法则，得到，结合，求得的值，即可求解.
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】联立方程 ，得…① ，设方程①的解为 ，
由题意： ，解得 ；
故答案为： .
【分析】联立方程组，结合，列出不等式组，即可求解.
16．【答案】135
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的公差为，首项为，
由题意知：数列成等差数列，且公差，
记数列为，其前项和为，
则，
又因为数列的前项和为，
所以，解得：，
所以，，解得：，
所以.
故答案为：135.
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得数列成等差数列的公差，记数列为的前项和为，求得，根据题意列出方程组，求得和，即可求得的值.
17．【答案】（1）证明：当时，，
，
，
两式相比得.
，
是以2为2公比，1为首项的等比数列.
（2）解：由（1）得.
由，得，
.
，解得.
，
的最大值为7.
可能是数列中的项，
的最大值为7.
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；等比数列与指数函数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意得到，两式相比求得，结合等比数列的定义，即可求解；
（2） 由（1）和，得到，根据，求得，进而求得的最大值，得到答案.
18．【答案】（1）解：∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等，
∴动点的轨迹是抛物线，其方程为.
（2）解：设.
∵，则，
∴.
又∵，则，
解得，
故.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意转化为到的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可求解；
（2）设，根据题意得到和，再由，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
19．【答案】（1）解：由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程为，即，
建筑物的中心的坐标为.
（2）解：因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
，圆的半径为，
点到的距离为，
开通的这条路的最低造价为（万元）.
【知识点】圆的标准方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1） 根据题意，设圆的方程为，列出方程组，求得的值，求得圆的方程，进而求得 建筑物的中心的坐标；
（2）设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，结合圆的性质，即可求解.
20．【答案】（1）解：当时，，得.
①，
当时，②，
①①可得，即，
即.
由题易知.又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，即.
（2）解：由（1）可知，
，又，
数列是等差数列，其首项为1，公差为1.
，即.
，
，
，.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1） 当时，求得，再由，得到，两式相减整理得，结合等比数列的定义，即可求解.
（2） 由（1）得，可得，得到数列是等差数列，求得，结合乘公比错位相减法，即可求解.
21．【答案】（1）证明：平面，平面，.
点是圆周上不同于、的一点，且为圆的一条直径，.
又，、平面，平面.
又平面，.
（2）解：如图，连接，，为的中点，则，
又因为平面，以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，则，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则.
设与平面所成的角为，由已知，则，
则.
整理可得，因为，解得或.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由 平面，证得，再由圆的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到；
（2） 连接，证得，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式列出方程，即可求得的值.
22．【答案】（1）解：由题可知圆与椭圆有且只有两个公共点，
这两个公共点为短轴的顶点，.
.
椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不为0，且斜率存在时，
设直线的方程为且.
联立方程组得 ， 消去得.
设，则.
.
同理得.
与相互垂直，则四边形的面积.
令，则且，.
，当时等号成立
∴且时，.
当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，
不妨设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为.
代入椭圆方程可得，，
，，.
综上，可知四边形的面积大于.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意，可得圆与椭圆的公共点为短轴的顶点，求得，进而求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组求得，利用弦长公式得到和，进而得到，令，化简得到，结合二次函数的性质，求得；当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为，求得，即可求解.
河南省商丘市部分学校2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2023高二上·商丘期末）点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间直角坐标系
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：C
【分析】根据空间直角坐标系的定义，即可求解.
2．（2023高二上·商丘期末）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线可化为，则，
由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为4，
故答案为：A.
【分析】化简抛物线的方程为为，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
3．（2023高二上·商丘期末）直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】因为直线，所以，
则直线的倾斜角，
又直线，所以直线的倾斜角为，
所以直线与直线的夹角为，
故答案为：B.
【分析】根据直线和方程，分别求得直线和的倾斜角，进而求得两直线的夹角.
4．（2023高二上·商丘期末）已知在正项等比数列中，，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，解得
所以，所以
故答案为：B
【分析】根据，利用等比数列的性质，求得，结合，即可求解.
5．（2023高二上·商丘期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】，
，不存在满足的点；
满足的点在双曲线的下支；
满足的点在双曲线的上支；
满足的点的轨迹是整个双曲线；
故答案为：C．
【分析】根据题意得，由，结合双曲线的定义，可判定A项点不存轨迹；B项中点在双曲线的下支；C项中点在双曲线的上支；D项点的轨迹是整个双曲线.
6．（2023高二上·商丘期末）已知双曲线的中心在坐标原点处，其对称轴为坐标轴，经过点，且一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意设双曲线方程为，
因为双曲线经过点，
所以，得，
所以双曲线方程为，即为，
故答案为：D
【分析】由题意设双曲线方程为，代入点，求得的值，即可求得双曲线的方程.
7．（2023高二上·商丘期末）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】A
【知识点】圆的切线方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】因为圆的圆心，半径为
因为是圆的切线，
所以，即是以为直角的直角三角形
则
又因为
又因为
所以
所以
故答案为：A
【分析】由是圆的切线，得到，结合圆的切线长公式，求得，利用直角三角形的面积公式，即可求解.
8．（2023高二上·商丘期末）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．12 D．21
【答案】A
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式
【解析】【解答】正项数列满足，，所以，
可得，所以是等差数列，首项为，公差为，
所以，所以，
故答案为：A．
【分析】根据题意，化简得到，得到是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.
9．（2023高二上·商丘期末）若直线在轴、轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆化为：，
所以圆心为，半径为.
由直线将圆的周长平分，且在轴、轴上的截距相等，
所以直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，
所以直线的方程为或，即或.
故答案为：D.
【分析】由直线将圆的周长平分，且在轴、轴上的截距相等，得到直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
10．（2023高二上·商丘期末）已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线
易得，
菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥
在菱形中，，翻着后垂直不变，即
所以是二面角的平面角，即
又因为
所以平面，取中点，连接
又因为平面
所以
在中，，并且为的中点，
所以
故是异面直线与的距离
又因为异面直线与的距离是菱形边长的
所以
在中，
所以，又因为
所以
故答案为：C
【分析】设菱形的边长为，连接两条对角线交于点，证得，得到是二面角的平面角，取中点，连接，证得，进而证得得到是异面直线与的距离，结合题意得到，在中，得到，即可求解.
11．（2023高二上·商丘期末）已知椭圆关于轴 轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故.
故答案为：B
【分析】设椭圆的方程为，由题意得到，进而得到，同除以，结合离心率的定义，即可求解.
12．（2023高二上·商丘期末）已知分别为双曲线的左 右焦点，双曲线的半焦距为，且满足，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立表示面积），则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】因为，所以，
所以，解得，
因为，所以，
设内切圆半径为，
因为为的内心，成立表示面积），
所以，
所以，
因为点为双曲线右支上一点，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：C
【分析】求得，设内切圆半径为，根据，列出方程化简得到，再由点为双曲线右支上，得到，进而求得的值.
二、填空题
13．（2023高二上·商丘期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则 .
【答案】-1
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】由，得，
所以，半径为，
由，得，
所以，半径为，
因为两圆相交，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以当满足上式时，两圆的公共弦方程为，
因为公共弦所在的直线与直线平行，
所以，
所以，
故答案为：-1
【分析】根据两圆的位置关系，求得两圆的公共弦方程为，结合公共弦所在的直线与直线平行，即可求得的值.
14．（2023高二上·商丘期末）在四棱锥中，四边形是平行四边形，，若，则 .
【答案】1
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为，所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：1
【分析】根据题意求得，求得，再根据向量的运算法则，得到，结合，求得的值，即可求解.
15．（2023高二上·商丘期末）若直线与双曲线的两支各交于一点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】联立方程 ，得…① ，设方程①的解为 ，
由题意： ，解得 ；
故答案为： .
【分析】联立方程组，结合，列出不等式组，即可求解.
16．（2023高二上·商丘期末）已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则 .
【答案】135
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的公差为，首项为，
由题意知：数列成等差数列，且公差，
记数列为，其前项和为，
则，
又因为数列的前项和为，
所以，解得：，
所以，，解得：，
所以.
故答案为：135.
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得数列成等差数列的公差，记数列为的前项和为，求得，根据题意列出方程组，求得和，即可求得的值.
三、解答题
17．（2023高二上·商丘期末）已知数列满足.
（1）证明：是等比数列.
（2）判断是否可能是数列中的项.若是，求出的最大值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）证明：当时，，
，
，
两式相比得.
，
是以2为2公比，1为首项的等比数列.
（2）解：由（1）得.
由，得，
.
，解得.
，
的最大值为7.
可能是数列中的项，
的最大值为7.
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；等比数列与指数函数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意得到，两式相比求得，结合等比数列的定义，即可求解；
（2） 由（1）和，得到，根据，求得，进而求得的最大值，得到答案.
18．（2023高二上·商丘期末）已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求.
【答案】（1）解：∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等，
∴动点的轨迹是抛物线，其方程为.
（2）解：设.
∵，则，
∴.
又∵，则，
解得，
故.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据题意转化为到的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可求解；
（2）设，根据题意得到和，再由，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
19．（2023高二上·商丘期末）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：.
【答案】（1）解：由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程为，即，
建筑物的中心的坐标为.
（2）解：因为为建筑物的中心坐标，
设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，
，圆的半径为，
点到的距离为，
开通的这条路的最低造价为（万元）.
【知识点】圆的标准方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1） 根据题意，设圆的方程为，列出方程组，求得的值，求得圆的方程，进而求得 建筑物的中心的坐标；
（2）设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离，结合圆的性质，即可求解.
20．（2023高二上·商丘期末）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若时，，求数列的前项和.
【答案】（1）解：当时，，得.
①，
当时，②，
①①可得，即，
即.
由题易知.又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，即.
（2）解：由（1）可知，
，又，
数列是等差数列，其首项为1，公差为1.
，即.
，
，
，.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1） 当时，求得，再由，得到，两式相减整理得，结合等比数列的定义，即可求解.
（2） 由（1）得，可得，得到数列是等差数列，求得，结合乘公比错位相减法，即可求解.
21．（2023高二上·商丘期末）已知圆的直径，圆所在平面，，点是圆周上不同于、的一点.
（1）证明：；
（2）已知，点是棱上一点，若与平面所成角的余弦值为，且，求的值.
【答案】（1）证明：平面，平面，.
点是圆周上不同于、的一点，且为圆的一条直径，.
又，、平面，平面.
又平面，.
（2）解：如图，连接，，为的中点，则，
又因为平面，以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，则，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则.
设与平面所成的角为，由已知，则，
则.
整理可得，因为，解得或.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）由 平面，证得，再由圆的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到；
（2） 连接，证得，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式列出方程，即可求得的值.
22．（2023高二上·商丘期末）已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.
【答案】（1）解：由题可知圆与椭圆有且只有两个公共点，
这两个公共点为短轴的顶点，.
.
椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不为0，且斜率存在时，
设直线的方程为且.
联立方程组得 ， 消去得.
设，则.
.
同理得.
与相互垂直，则四边形的面积.
令，则且，.
，当时等号成立
∴且时，.
当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，
不妨设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为.
代入椭圆方程可得，，
，，.
综上，可知四边形的面积大于.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 根据题意，可得圆与椭圆的公共点为短轴的顶点，求得，进而求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组求得，利用弦长公式得到和，进而得到，令，化简得到，结合二次函数的性质，求得；当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为，求得，即可求解.
