数学试题 (理科)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将答案涂在答题卡上。
1.已知命题 p： x0∈R，ex0-x0-1≤ 0，则 p为 ( )
A. x0∈R，ex0-x0-1≥ 0 B. x0∈R，ex0-x0-1> 0
C. x∈R，ex-x- 1≥ 0 D. x∈R，ex-x- 1> 0
2.双曲线方程为 x2-2y2= 1，则它的右焦点坐标为 ( )
A. 22 ,0 B.
5
2 ,0 C.
6
2 ,0 D. 3,0
3.命题“若 a> b，则 a2> b2”的逆否命题是 ( )
A.若 a2> b2，则 a> b， B.若 a2≤ b2，则 a≤ b
C.若 a≤ b，则 a2≤ b2 D.若 a> b，则 a2≤ b2
4.若 a∈R，则“a2> a”是“a> 1”的 ( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x2 y25.点A a,1 在椭圆 4 + 2 = 1的外部，则 a的取值范围是 ( )
A. - 2, 2 B. -∞,- 2 ∪ 2,+∞
C. -2,2 D. -1,1
2
6. x双曲线 4 - y
2= 1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A. 2 B. 4 C. 2 55 5 5 D.
4 5
5
x2 y27.若过椭圆 4 + 2 = 1内一点P(1,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线方程为 ( )
A. x- 2y+ 1= 0 B. x- 2y- 3= 0 C. x+ 2y- 3= 0 D. x+ 2y+ 3= 0
第1页,共4页
8.若F1，F2为双曲线C:x2-y2= 2的左右焦点，点P在C上， PF1 = 2 PF2 ，则 cos∠F1PF2= ( )
A. 14 B.
3
5 C.
4
5 D.
3
4
9.已知命题 p: x0∈ [0,π],使得 sinx0< a，命题 q: x∈ 1 ,3 1 2 ，x + 1> a，若 p∧ q为真命题,则 a的取值范
围是 ( )
A. 0, 43 B. (0,3) C. 1,
4
3 D. (1,3)
x2 + y
2
10.点P为椭圆 4 3 = 1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则PF1·PF2的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.不存在
11. F F C: x
2 y2
已知 1 ， 2是椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆a b
的离心率的取值范围为 ( )
A. 1 2， B. 2 2 2 2 ，1 C. 0
2
， 1 22 D. 2 ， 2
x2 y212.已知M ,N是离心率为 2的双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动a b
点，且直线PM ,PN的斜率分别为 k1，k2，k1k2≠ 0，则 k1+3k2的取值范围为 ( )
A. 6,+∞ B. (-∞,-6]∪ [6,+∞)
C. [2 3,+∞) D. (-∞,-2 3]∪ [2 3,+∞))
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.若命题“ x∈R,x2-x+ a< 0”是假命题，则实数 a的取值范围是 ．
14.已知点M (-2,0),N (2,0)，动点P满足条件 PM - PN = 2 2，则动点P的轨迹方程 ．
2 y2
15. x已知椭圆 9 + 4 = 1的两个焦点是F1、F2，点M是椭圆上一点，且 MF1 - MF2 = 2，则△F1F2M的面积
是______.
2 y2
16. x已知椭圆C的方程为 2 + 2 = 1 a> b> 0 ，F1、F2分别为其左右焦点，A、B两点在椭圆上，且满足a b
F1A+F1B=F1F2，若直线AB的倾斜角为 120°，且四边形AF1BF2的面积为 3c2，则椭圆C的离心率为
.
第2页,共4页
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17题10分，其余每题12分。
17.（满分10分）已知 p：x2≤ 5x- 4，q：x2- (a+ 2)x+ 2a< 0(a> 2)．
(1)若 p为真命题，求 x的取值范围；
(2)若 p是 q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围．
18.（满分12分）求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程.
(1)经过点P(-2 3，0)，Q(0,2)两点的椭圆；
x2( ) y
2
2 与双曲线 4 - 3 = 1有相同的渐近线且经过点 -2 3, 3 的双曲线.
19.（满分12分）设命题 p：实数 a满足不等式 2a< 4；命题 q：关于 x不等式 x2+3(3- a)x+ 9≥ 0对任意的 x
∈R恒成立．
(1)若命题 p为真命题，求实数 a的取值范围；
(2)若“p∧ q”为假命题，“p∨ q”为真命题，求实数 a的取值范围.
第3页,共4页
20.（满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为F1 - 3,0 ，F2 3,0 ，且长轴长为 4.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 y= x+ 1与椭圆相交于A、B两点，求弦长 AB .
2 y2
21.（满分12分）已知椭圆C: x2 + 2 = 1(a> b> 0)
6 3 3
的离心率为 3 ，且经过点 2 ,- ．a b 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过P 0,2 的直线交椭圆C于A,B两点，求△OAB(O为原点)面积的最大值．
22.（满分 12分）已知M ( 3,0)、N (3,0),P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PM的斜率之积为
59 .
1 求P点的轨迹方程；
2 设 P点的轨迹为曲线 C ,过点Q(2,0)斜率为 k1的直线 l与曲线 C交于不同的两点 A、B，AB中
点为R,直线OR(O为坐标原点)的斜率为 k2，求证 k1k2为定值；
3 在 (2)的条件下，设QB= λAQ，且 λ∈ [2,3]，求直线 l在 y轴上的截距的变化范围.
第4页,共4页
射洪中学高 2021级高二下期第一次月考
数学试题 (理科)参考答案
1.答案：D
y2
2.答案：C 【解析】化为标准形式：x2- 1 = 1，所以焦点在 x轴，且 a
2= 1 1，b2= 2 ，
2
3 6
所以 c2= 2 ，所以 c= 2 .所以答案为C.
3.答案：B
【解析】原命题: “若 p，则 q”那么：“若 q，则 p”是原命题的逆命题，
“若 p，则 q”是原命题的否命题，“若 q，则 p”是原命题的逆否命题．所以答案为B.
4.答案：A
【解析】由 a2> a,解得 a> 1或 a< 0，显然 a|a> 1 a|a> 1或 a> 0 ，
所以“a2> a”是“a> 1”的必要不充分条件.所以答案为A.
5.答案：B
x2 y2 a2 1
【解析】所以将 a,1 代入椭圆 4 + 2 > 1得 4 + 2 > 1，
即 a2> 2，解得 a> 2或 a<- 2，所以答案为B.
6.答案：C
【解析】因为任何顶点到渐近线的距离都相等，故取右顶 2，0 ，渐近线取 x- 2y= 0，
2 2 5
所以距离 d= = 5 .故答案为C.5
7.答案：C
【解析】弦的中点P0(x0，y0)，
x2 1 + y
2
1
2 2 = 1 x2-x2 y2-y2(点差法)设弦AB的端点A(x y ) B(x y ) a b 1 2 + 1 21， 1 ， 2， 2 ，则 x2 2 2 2 = 0， 2 +
y2 = 1 a b a2 b2
(x1+x2) (x1-x2) + (y1+y2) (y1-y2) = 2x0 0(x1-x2) + 2y0k(x1-x2) = x y0k即 2 2 ，即 2 2 0，即
0 + = 0.
a b a b a2 b2
1 k
由上述可知：4 + 2 = 0，所以 k=-
1
2 ，
1
所以该弦所在直线方程为 y- 1=- 2 x- 1 ，化简整理得 x+ 2y- 3= 0.所以答案为C.
8.答案：D
x2 y2
【解析】化为标准形式 2 - 2 = 1，
由双曲线定义可得 PF1 - PF2 = 2 2，而 PF1 = 2 PF2 ，
4 2 2+ 2 2 2-42
所以 PF1 = 4 2， PF2 = 2 2 3，又 F1F2 = 4，所以 cos∠F1PF2= = .所以答案为D.2× 4 2 × 2 2 4
9.答案：A
【解析】当 p为真时，a> sinx0在 [0,π]上能成立，所以 a> sinx0 min，x0∈ [0,π],所以 a> 0；
当 q为真时，a< 1x + 1在
1 2 ,3
1 1 4
恒成立，所以 a< x + 1 ，x∈ 2 ,3 ，所以 a< ;min 3
因为 p∧ q为真命题，所以 p，q均为真命题，
a> 0a 4则 的取值范围是 < 4 ，所以 0< a< 3 .所以答案为A.a 3
10.答案：B
【解析】设P x，y ，F1 -1，0 ，F2 1，0 ，
3 1
所以PF1·PF2= -1- x，-y 1- x，-y = x2+y2-1= x2+3- x2 24 -1= 4 x +2 -2≤ x≤ 2 ，
所以当 x=±2时，取到最大值，最大值为 3. 所以答案为B.
11.答案：B y M
【解析】若椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，
则焦点三角形的顶角的最大角∠F1MF2必大于等于 90°， F1 O F2 x
∴∠F1MO≥ 45°，sin∠F c c1MO= a ，∴ a ≥
2
2 ，
又椭圆离心率在 0，1 ，所以答案为B.
12.答案：B y
【解析】设P x,y ，M x0，y0 ，则N -x0，-y0 ， P N
2 2 2
则 k1=
y- y0
2 ，k2=
y+ y0 ∴ k k = y -y0x+ x ，x -x 1 2 x2
，
0 0 -x20 x
又 b2x2-a2y2= a2b2，b2x20-a2y2= a2 20 b ，
2 2 2 M
两式相减得：b2 x2-x20 - a2
y -y
y2-y2 0 b0 ，即 2 = = k k = e
2-1= 3，
x -x2 a2 1 20
当 k1，k2同为正时，k1+3k2≥ 2 3k1k2= 6，当且仅当 k1= 3k2，即 k1= 3≠ 3，k2= 1≠ 3取等号，
当 k1，k2同为负时，k1+3k2=-[ -k1 + -3k2 ]≤-2 3k1k2= 6，
当且仅当-k1=-3k2，即 k1=-3≠- 3，k2=-1≠- 3取等号，所以答案为B.
13. [ 1答案： 4 ，+∞
【解析】因为命题“ x∈R,x2-x+ a< 0”是假命题，
所以 = 1- 4a≤ 0，解得 a≥ 1 14 ，故答案为 [ 4 ，+∞ .
2 y2
14. x答案：2 - 2 = 1 x≥ 2
【解析】由双曲线定义可得动点P的轨迹为双曲线右支，又 c= 2，a= 2，则 b= 2，
P x
2 y2 x2 y2
所以动点 的轨迹方程为 2 - 2 = 1 x≥ 2 ，故答案为 2 - 2 = 1 x≥ 2 .
15.答案：4
【解析】由椭圆定义 MF1 + MF2 = 6， MF1 - MF2 = 2，
所以 MF1 = 4 1， MF2 = 2， F1F2 = 2 5，故△F1F2M为直角三角形，故S△FFM= 2 × 4× 2= 4，故答案为 4.1 2
16.答案： 3 1
【解析】由F1A+F1B=F1F2，可得四边形AF1BF2为平行四边形，故直线AB经过坐标原点O，
S 1 AF1BF= 4× 2 × OF2 2 × OA × sin120° = 3c× OA = 3c
2，
Ay
所以 OA = c，所以四边形AF1BF2为矩形，
所以 AF1 = c， AF2 = 3c，
c 2 F1
O F2 x
所以离心率 e= 1 = = 3 1，故答案为 3 1.
2 c+ 3c
3+ 1 B
17. (1)若 p为真命题，则 x2≤ 5x- 4，即 x2-5x+ 4≤ 0，
即 (x- 1) (x- 4)≤ 0，即 1≤ x≤ 4，
所以 x的取值范围 {x|1≤ x≤ 4}． .........................5分
(2)记A={x|1≤ x≤ 4}．
q：x2- (a+ 2)x+ 2a< 0(a> 2)，所以 x- 2 x- a < 0，
故当 a> 2时，B={x|2< x< a}． .........................7分
因为 p是 q的必要不充分条件，所以B是A的真子集， .............8分
a> 2
所以 ≤ ，所以 2< a≤ 4，故实数 a的取值范围为 2,4 ． ..............10分a 4
18.解：(1)因为P(-2 3，0)，Q(0,2)，
所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在 x轴上，
所以 a= 2 3，b= 2； .........................3分
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 12 + 4 = 1. .........................6分
2 2
(2) x设与双曲线共渐近线的方程为 4 -
y
3 =m m≠ 0 , .........................8分
代入点 -2 3, 3 ，解得m= 2, .........................11分
x2 y2
所以双曲线的标准方程为 8 - 6 = 1. .........................12分
19.解：(1)若命题 p为真命题，则 2a< 4成立，即 2a< 22，即 a< 2， .........................5分
(2)由 (1)可知若命题 p为真命题，则 a< 2， .........................6分
若命题 q为真命题，则关于 x不等式 x2+3(3- a)x+ 9≥ 0对任意的 x∈R恒成立
则Δ= 9 3- a 2-36≤ 0，解得-1≤ a≤ 5， .........................8分
因为“p∧ q”为假命题，“p∨ q”为真命题，所以 p,q命题一真一假，
a< 2 < a≥ 2若 p真 q假，则 > < ，即 a 1，若 p假 q真，则 - ，即 2≤ a≤ 5，a 5或 a 1 1≤ a≤ 5
综上，实数 a的取值范围为 a< 1或 2≤ a≤ 5. ..........................12分
20.解：(1)因为椭圆中心在原点，焦点为F1(- 3，0)，F2( 3，0)，且长轴长为 4，
所以 c= 3,a= 2.所以 b2= 1.
x2
故椭圆的方程为 + y24 = 1； .........................5分
2 2
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由 x +4y = 4 = + 得A(0,1)，By x 1 -
8 - 35 ， 5 ，
所以 |AB| = 0+ 8
2 2
5 + 1+
3
5 =
8 2
5 . 12分
2
21. c解：(1) 根据题意知离心率 e= a =
6 c 2
3 ，即 a2
= 3．
2 2
因为 c2= a2-b2 a -b 2，所以 2 =
2 2
3 ，整理得 a = 3b ，①a
3 2 - 3
2
3 3 2 2 3 3
又由椭圆C经过点 2 ,- 2 ，可得 2 + 2 = 1，即 2 + = 1，②a b 4a 4b2
a
2= 3 2
联立①②，解得 2= ，所以椭圆C
x
的标准方程为 3 + y
2= 1． 5分
b 1
(2)由题意，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 y= kx+ 2，
y= kx+ 2则 x2 + 2= ，得 1+ 3k2 x2+12kx+ 9= 0，3 y 1
由Δ= (12k)2-4× 9 1+ 3k2 > 0，得 k2> 1， 7分
A x ,y ,B x ,y x +x =- 12k设 1 1 2 2 ，则 1 2 2 ,x x
9
1+ 3k 1 2
= ，
1+ 3k2
所以 |AB| = 1+ k2 x1-x2 = 1+ k2 x 21+x2 -4x1x2
= 1+ k2 - 12k
2 2
- 4× 9 = 6 1+ k2 k -11+ 3k2 1+ 2 ， 9分3k 1+ 3k2
O(0,0) kx- y+ 2= 0 d= 2点 到直线 的距离 ，
1+ k2
S = 1 |AB| d= 1 6 1+ k2 k
2-1 2 6 k2-1
所以 △OAB 2 2 1+ 3k2 = ．1+ k2 1+ 3k2
令 k2-1= t(t> 0)，则 k2= t2+1，
S = 6t = 6 ≤ 6 = 3所以 △OAB 4+ 3t2 4 + 3t 4 × ( ) 2
，
t 2 t 3t
4
当且仅当 t = 3t，即 t
2= 43 时等号成立， 11分
k2= 7此时 3 ,△OAB
3
的面积的最大值为 2 ． 12分
y y
22. 5解：(1)设P(x,y),由题意知：x+ 3 × x 3 = 9 x≠±3 ，
2 2
化简得：P x得轨迹方程为 9 +
y
5 = 1(x≠±3)； 4分
2 法 1：设 l的方程为：x= ty+ 2，
联立曲线C方程得：(5t2+9)y2+20ty- 25= 0， 6分
设A(x1,y1),B(x2,y ) y +y = -20t ① y y = -252 ，则 1 2 2 ， 1 2 2 ②，5t +9 5t +9
R 18 , -10t 1 5t可得 2 2 ，k1k2=5t +9 5t +9 t - 9 =-
5
9 . 8分
法 2：设 l的方程为：y= k1(x 2)，
2 2 x1 + y 1 = 1
设A(x1,y1),B(x2,y2),R(x 9 50,y0)，则 2 2 ， 6分
x2 + y2 9 5 = 1
y1 y2 5 x +x
相减整理得： 1 2x1 x
=
2 9 y +y
， 7分
1 2
又 x1+x2=
x
2x0,y 5 01+y2= 2y0，∴ k1= 9 y ，0
k = y0 ∴ k k = 5又 2 x ， 1 2 9 ； 8分
0
3 由QB= λQA得 y2=-λy1，
-20t
代入①②得：(1- λ)y1= 2 ③，λy
2
1= 252 ④， 9分5t +9 5t +9
③ 1 16t
2
式平方除以④式得： - 2+ λ= 2 ， 10分λ 5t +9
1 2
而 - 2+ λ在 λ∈ [2,3] 1上单调递增，2 ≤
1 - 2+ λ≤ 4 3 5t +9
λ λ 3
，∴ 4 ≤ 2 ≤ 2，16t
2
l y b b2= - 2 = 4 ∈ 28又 在 轴上的截距为 ， t 2 9 ,12 ， 11分t
∴ b∈ 2 3,
2 7
3 ∪
2 7
3 ,2 3 . 12分
