绝密★启用前
2023 年普通高等学校招生第三次统一模拟考试
文科数学 2023.03
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非
选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1、如图，设全集U = N ，集合 A = {1,3,5,7,8}，B = {1,2,3,5,9},则图中阴影部分表示的集合
为（ ）
A．{2,9} B．{7,8} C．{1,3,5} D．{1,2,3,5,9}
2、复数 (4 + i) i 的虚部是（ ）
A． 2 B． 2i C． 4 D． 4i
3、已知 x > 0 ， y > 0 ， a = (x,1)，b = (1, y 1)，若 a b 1 4⊥ ，则 + 的最小值为（ ）
x y
A． 4 B．9 C．8 D．10
高三文科数学试题第 1 页（共 12 页）
4、某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的
了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比
例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（ ）
①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多
②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大
③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低
④产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入
A．②③ B．③④ C．①②③ D．①②④
x + 3y 5 ≤ 0
5 y 3、若 x、 y 满足线性约束条件 3x 2y + 7 ≥ 0 ，则 （ ）
x 3
2x 5y +1≤ 0
A 1 1．有最小值 2 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 2
4 4
6、已知角α 的终边上一点 P 的坐标为 ( 1,2)，角 β 的终边与角α 的终边关于 x 轴对称，则
tan β π + =（ ）
4
A 1 B 1． ． C．3 D． 3
3 3
高三文科数学试题第 2 页（共 12 页）
7、某学习小组研究一种卫星接天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，
在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处
（如图②所示），已知接收天线的口径（直径）为3.6m ，深度为 0.6m ，则该抛物线的焦点到
顶点的距离为（ ）
A．1.35m B． 2.05m C． 2.7m D．5.4m
8、执行如图所示的程序框图，如果输入的 N =100 ,则输出的 x =（ ）
A． 0.95 B． 0.98 C． 0.99 D．1.00
9、函数 y = f (x)在 P (1, f (1))处的切线如图所示，则 f (1) + f ′(1) =（ ）
A 1 3 1． 0 B． C． D．
2 2 2
高三文科数学试题第 3 页（共 12 页）
10、已知 l,m 表示两条不同的直线，α ,β 表示两个不同的平面， l ⊥α ,m β ，则有下面四
个命题：①若α / /β，则l ⊥ m；②α ⊥ β，则l / /m；③ l / /m,则α ⊥ β ；④ l ⊥ m,则α//β .
其中所有正确的命题是（ ）
A．①③． B.①④ C.②③ D.①②③④
11、2022 年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义：
在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点 F1 ( a,0)F (a,0)的距离之积等于 a22 (a > 0)的点的轨迹
称为双纽线C .已知 P (x0 , y0 )是双纽线C 上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．双纽线C 关于原点O成中心对称
B. a ≤ y a0 ≤ 2 2
C.双曲线C 上满足 PF1 = PF2 的点 P 有两个
D. OP 的最大值为 2a
12 f (x) xex 1、设函数 = x 3 的零点为 x
2 1
, x2 , xn ，[x]表示不超过 x的最大整数，有下述四
f (x)
个结论：①函数 f (x)在 (0,+∞)上单调递增；②函数 f (x)与 有相同零点③函数 f (x)有
x
高三文科数学试题第 4 页（共 12 页）
且仅有一个零点，且 [x1 ] = 2 ；④函数 f (x)有且仅有两个零点，且 [x1 ] + [x2 ] = 6 .其中所有正
确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
高三文科数学试题第 5 页（共 12 页）
二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、在三棱锥 D ABC 中，已知 AD ⊥平面 ABC ，且 ABC 是边长为 6 的正三角形，三棱
锥 D ABC 的外接球的表面积为 24π ，则三棱锥 D ABC 的体积为 ．
14、由曲线 x2 + y2 = 2 x + 2 y 围成的图形的面积为 ．
15、2022 年神州十五号载人飞船发射任务都取得圆满成功，神州十四号航天员与神州十五
号航天员首次完成空中会师，现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一
人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过 10 分钟，如果 10 分钟内完成任务则试
验成功任务结束，10 分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次。已知
4 3 2
甲、乙、丙 10 分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，每个人能否完成任务相互独立，
5 4 3
该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为 ．
16、某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径。如图，将三个半径为 20cm 的
小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切。利用“十”字尺测
得小球的高度差 h为8cm ，则圆弧的半径为 cm ．
高三文科数学试题第 6 页（共 12 页）
三、 解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据
要求作答．
（一） 必考题：共 60 分．
17、（12 分）
3
等差数列{an}中， a3 + a8 = 4 ， a2 = . 5
（1）求数列{an}的通项公式；
3 3
（2）设 cn = ，T 是数列{C }的前 n项和，求证：T < . 25a n n nnan+1 2
高三文科数学试题第 7 页（共 12 页）
18、（12 分）
自 2022 年起内蒙古自治区将进入新一轮的高中课程改革，同时进入新高考的时代，某
中学新高一开始试行走班制教学。试行阶段，每位教师均有各自的教室，为调研学生对 A、
B 两位高一数学教师的满意度，从在 A 、 B 两位教师的教室中上过课的学生中随机抽取了
100人，每人分别对两位高一数学教师进行评分，满分均为 60分。整理评分数据，将分数以
10为组距分为 6 组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到 A教师
的分数的频率分布直方图和 B 教师的分数的频数分布表：
（1）在抽样的100人中，求对 A教师评分低于30的人数；
（2）从对 B 教师评分在 [0,20)范围内的人中随机选出 2人，求 2人中恰有1人评分在 [0,10)
范围内的概率；
（3）如果从 A、 B 两位教师的教室中选择一个教室作为今后三年上课的教室，你会选择
哪一个教室？说明理由.
高三文科数学试题第 8 页（共 12 页）
19、（12 分）
如图，在四棱锥 P ABMN 中， PNM 是边长为 2的正三角形， AN ⊥ NP ，
AN // BM ， AN = 3， BM =1， AB = 2 2 ，C ， D 分别是线段 AB ， NP 的中点.
（1）求证：CD //平面 PBM ；
（2）求四棱锥 P ABMN 的体积
高三文科数学试题第 9 页（共 12 页）
20、（12 分）
法国数学家加斯帕尔·蒙日是 19 世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了
空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们
x2 y2
定义：给定椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0)，则称圆心在原点O ,半径是 a2 + b2 的圆为“椭圆a b
2
C x y
2
的伴随圆”，已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0)的一个焦点为 F ( 2,0)，其短轴的一个端点到a b
焦点 F 的距离为 3 .
（1）若点 A为椭圆C 的“伴随圆”与 x轴正半轴的交点， B ， D 是椭圆C 的两相异点，
且 BD ⊥ x 轴，求 AB AD 的取值范围.
（2）在椭圆C 的“伴随圆”上任取一点 P ，过点 P 作直线 l1 ，l2 ，使得 l1 ，l2 与椭圆C 都
只有一个交点，试判断 l1 ， l2 是否垂直？并说明理由.
高三文科数学试题第 10 页（共 12 页）
21、（12 分）
f (x) ln x 2x 1已知函数 = + + .
x
（1）求 f (x)的极值；
（2）若 g (x) = xf (x) + 3x2 ，且mn >1，证明：函数 g (m) + g (n) > 0 .
高三文科数学试题第 11 页（共 12 页）
（二） 选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分．
22、[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
x =1+ cosα
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 (α 2为参数)，直线 l : x + y = .
y = sinα 2
以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的普通方程及直线 l 的极标方程；
2 m :θ θ θ 0,π （ ）直线 = 0 0 ∈ 4
与曲线C 和直线 l 分别交于 A, B (A, B均异于点O)两点，
求 OA OB 的取值范围
23、[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) = 2x +1 x m ， (m∈R)
（1）当m =1时，解不等式 f (x) ≥ 2；
（2）若关于 x的不等式 f (x) ≥ x 3 的解集包含 [3,4]，求m 的取值范围.
高三文科数学试题第 12 页（共 12 页）按秘密级事项管理★启用前
2023 年普通高等学校招生第三次统一模拟考试
文科数学参考答案及评分标准 2023.03
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D D D A C A A C C
二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。
59
13. 2 3 ; 14. 8+4π ; 15． ; 16． 120cm .
60
三 、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 -- 21题为必考题，每
个考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（本小题满分 12分）
3
等差数列 an 中， a3 + a8=4， a2 = ．
5
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
3 3
（Ⅱ）设 cn = 25 ， Tn 是数列 { cn }的前 n项和，求证： T ． n +1 2
解：（Ⅰ） 设数列 an 首项为a1，公差为d ， ------------------------1分
2 1 + 9 = 4
由题意得{ 3 , -------------------------------3分
1 + = 5
高三文科数学 第 1 页 共 8 页
1
1 =
解得{ 5， ------------------------------------------5分 2
=
5
2 1
所以 an 的通项公式为 an = ----------------------6分
5
3 3 1 1
（Ⅱ） ∵ cn = = ( - ) -------7分
(2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
3 1 1 1 1 1
∴ Tn 1 ... ------8分
2 3 3 5 2n 1 2n 1
3 1 3 3
1 ， --------------------9分
2 2n 1 2 4n 2
3
∵ n N
, 0，--------------------------------10分
4n 2
3 3 3
∴ ， ---------------------------------11分
2 4n 2 2
3
∴ Tn . ------------------------------------------12分
2
18.（本小题满分 12 分）
自 2022 年起内蒙古自治区将进入新一轮的高中课程改革，同时进入新
高考的时代，某中学新高一开始试行走班制教学 . 试行阶段，每位教师均有
各自的教室，为调研学生对 A、B 两位高一数学教师的满意度，从在 A、B
两位教师的教室中上过课的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对两位高
一数学教师的进行评分，满分均为 60 分．整理评分数据，将分数以 10 为
组距分为 6 组： [0， 10)， [10， 20)， [20， 30)， [30， 40)， [40， 50)， [50，
60]，得到 A 教师的分数的频率分布直方图和 B 教师的分数的频数分布表：
高三文科数学 第 2 页 共 8 页
B 教师分数频数分布表
分数区间 频数
[0，10) 2
[10，20) 3
[20，30) 5
[30，40) 15
[40，50) 40
[50，60] 35
（A 教师的分数的频率分布直方图）
(Ⅰ)在抽样的 100 人中，求对 A 教师评分低于 30 的人数；
(Ⅱ )从对 B 教师评分在 [0， 20)范围内的人中随机选出 2 人，求 2 人中
恰有 1 人评分在 [0， 10)范围内的概率；
(Ⅲ )如果从 A、B 两位教师的教室中选择一个教室作为今后三年上课的
教室，你会选择哪一个教室？说明理由．
解：(Ⅰ)由 A 教师的分数的频率分布直方图，
得对 A 教师的评分低于 30分的频率为：（0.003＋0.005＋0.012）×10＝0.2 --1分
∴对 A 教师的评分低于 30的人数为 100×0.2＝20人．-----------------2分
(Ⅱ)对 B 教师评分在[0，10）范围内的有 2人，设为 m，n，---------------3分
对 B 教师评分在[10，20）范围内的有 3人，设为 a，b，c，-----------4分
从这 5人中随机选出 2人的选法为：
mn，ma，mb，mc，na，nb，nc，ab，ac，bc，共 10种，--------------5分
其中恰有 1 人评分在[0，10）范围内的选法包括：
ma，mb，mc，na，nb，nc，共 6种， ---------------------------6分
6 3
故 2人中恰有 1人评分在[0，10）范围内的概率为 P＝ ＝ .--------8分
10 5
(Ⅲ)从两个教师得分低于 30 分的人数所占的比例来看，由（ 1）得，
抽样的 100 人中，
A 教师评分低于 30 的人数为 20，
∴A 教师评分低于 30 分的人数所占的比例为 20%， ---------------10分
高三文科数学 第 3 页 共 8 页
B 教师评分低于 30 分的人数为 2＋ 3＋ 5＝ 10，
∴B 教师评分低于 30 分的人数所占的比例为 10%， ---------------11分
∴会选择 B 教师的教室作为今后三年上课的教室．----------------12分
19.（本小题满分 12分）
如图，在四棱锥 P ABMN 中，△P N M是边长为 2 的正三角形，AN NP，
AN∥BM ， AN 3， BM=1， AB 2 2 ， C ， D 分别是线段 AB ， NP的中点．
(Ⅰ)求证： CD∥平面 PBM ；
(Ⅱ )求四棱锥 P ABMN 的体积．
证明： (Ⅰ) 如图，取MN 中点Q，连CQ，DQ，
∵DQ为中位线，
∴DQ∥MP，--------------------------------------1分
又DQ 平面BMP ，MP 平面BMP ，
∴DQ∥平面BMP ， --------------------------------2分
同理，在梯形 ABMN 中，CQ∥MB， ------------------3分
又CQ 平面BMP ，MB 平面BMP ，
∴CQ∥平面BMP ，---------------------------------4分
且DQ 平面CDQ ，CQ 平面CDQ ，DQ CQ Q，
∴平面CDQ∥平面BMP ， -------------------------5分
高三文科数学 第 4 页 共 8 页
又CD 平面CDQ ，
所以CD∥平面BMP ．------------------------------------6分
(Ⅱ )如上图，在四边形 ABMN 中，过 B 作BE∥MN 交 AN 于E ，
在△AEB 中，得 AE 2，BE 2， AB 2 2 ，
则 2 2 2AB = AE +BE ，得 AE⊥BE， -------------------------7分
∵BE∥MN ，
∴ AN NM ， -------------------------------------------8分
又由已知条件 AN NP， NM NP N ， NM , NP 平面 NMP，
故 AN⊥平面 NMP， ---------------------------------------9分
又 AN 平面 ANMB，
∴平面 ANMB 平面 NMP． --------------------------------10分
又 △PNM 是边长为 2 的正三角形，
∴ △PNM 的高为√3， ---------------------------------11分
∴ 四棱锥 P ABMN是以直角梯形为底，以 √3为高的锥体，
1 ( + ) 4√3
∴ = √3 = ----------------12分 3 2 3
高三文科数学 第 5 页 共 8 页
20. （本小题满分 12 分）
法国数学家加斯帕尔 ·蒙日是 19 世纪著名的几何学家，他创立了画法
几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽
x2 y2
厚基础 .根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆 C : 1(a b 0)，
a2 b2
则称圆心在原点 O，半径是 a2 b2 的圆为 “椭圆 C 的伴随圆 ”，已知椭圆
x2 y2
C : 1(a b 0)的一个焦点为 F (√2, 0)，其短轴的一个端点到焦点 F
a2 b2
的距离为 3 .
（Ⅰ）若点 A 是椭圆 C 的 “伴随圆 ”与 x轴正半轴的交点，B ,D 是椭圆 C
上的两相异点，且 BD⊥ x 轴，求 · 的取值范围；
（Ⅱ）在椭圆 C 的 “伴随圆 ”上任取一点 P ，过点 P 作直线 l1 l2 ，使得 l1
l2 与椭圆 C 都只有一个交点，试判断 l1 l2 是否垂直 并说明理由 .
高三文科数学 第 6 页 共 8 页
解：（Ⅰ）由题意知c 2 ，且a b2 c2 3，
可得b 1， ---------------------------------------------1分
x2
故椭圆C 的方程为 y2 1，---------------------------------2分
3
其“伴随圆”方程为 x2 y2 4 . ---------------------------------3分
由题意，可设 B m, n ， D m, n ， 3 m 3 ，
m2
则有 n2 1，又A 点坐标为 2,0 ，
3
故 AB m 2,n ， AD m 2, n -------------------------4分
m2
2
2 4 4 3
故 AB AD m 2 n2 m2 4m 4 1 m
2
4m 3 m ，
3 3 3 2
且 3 m 3 ， -------------------------------------------5分
2
4 3
故 m 0,7 4 3 ，
3 2
所以 AB AD的取值范围是 0,7 4 3 . -------------------------6分
（Ⅱ）设 P(s,t)，则 s2 t2 4 .
当 s 3时， t 1，
则 l1, l2其中之一斜率不存在，另一斜率为 0，显然有 l1 l2 . ------------7分
当 s 3 时，设过P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k ，
则 l 的方程为 y t k(x s) ， ----------------------------------8分
2 2
代入椭圆C 方程可得 x +3[kx+( t-ks)] =3，
即 (3k2 1)x2 6k(t ks)x 3(t ks)2 3 0，---------------------9分
高三文科数学 第 7 页 共 8 页
由 36k2(t ks)2 4(3k2 1)[3(t ks)2 3] 0，
可得 (3 s2)k2 2stk 1 t2 0，其中3 s2 0， ----------------10分
设 l1, l2的斜率分别为 k1,k2，则 k1,k2是上述方程的两个根，
1 t2 1 (4 s2 )
故 k k 1，即 l1 l2 . -----------------------11分 1 2
3 s2 3 s2
综上可知，对于椭圆C 上的任意点 P ，都有 l1 l2 . -------------------12分
21.（本小题满分 12分）
1
已知函数 f(x ) = ln x + 2x + ．
(Ⅰ )求 f (x) 的极值；
(Ⅱ )若 g(x) xf (x) 3x2 ，且 mn>1,，证明： g (m) + g (n) > 0．
1
解： (Ⅰ ) ∵ f (x) ln x 2x （ x>0）
x
(2x 1)(x 1)
∴ f (x) (x 0)2 ----------------------------------2分 x
1
当 x > 时， f ' (x)>0 ----------------------------------------3分
2
1
当 0< x < 时, f ' (x )<0 ------------------------------------4分
2
1 1
即函数 f (x) 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增
2 2
1
所以 f (x) 的极小值为 f 3 ln 2，无极大值. -----------------5分
2
(Ⅱ ) ∵ g(x) xf (x) 3x2 （ x>0）
∴ g '(x) = -lnx +2x -1 , -----------------------------6分
2 1
∴ g "(x) = , ------------------------------------7分
1
当 x > 时， g"(x)>0
2
高三文科数学 第 8 页 共 8 页
1
当 0< x < 时, g" (x)<0
2
1 1
即函数 g (x) 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
1
即 g '(x) 的最小值为 g '( ) = ln2 > 0 ,
2
所以函数 g(x)在 0, 上单调递增. ---------------------------8分
不妨设 n
∴ g (m) + g (n) > 0 ------------------------------------------9分
1
对于② 0
1
∴ g (n)> g ( ) ,
1 1 1
∴g (m) + g (n) > g ( ) + g (m) = (-m+ )( lnm - m + )， ------------10分
1
由 0
1
设 (x) ln x x , (x 1)，
x
1 1 x2 x 1
则 (x) 1
x x2 x2
2
而 x2
1 3
x 1 x 0，
2 4
1
∴ (x) 0，即函数 (x) ln x x , (x 1)是单调减函数
x
(x) g(1) 0,(x 1)， -------------------------------------11分
1 1 1
故 g (m) + g (n) >g ( ) + g (m) = (-m+ )( lnm - m + ) > 0 ，
即 g (m) + g (n) > 0 ,
综上，当 mn>1 时， g (m) + g (n) > 0 . ---------------------------12分
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（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分。
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10分）
= 1 +
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 { （ 为参数）， =
√2直线 l:x + y= ．以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
2
（Ⅰ）写出曲线 C 的普通方程及直线 l 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线 m : 0 0 0, 与曲线 C 和直线 l 分别交于 A， B（A，
4
B 均异于点 O）两点，求 OA OB 的取值范围．
x 1 cos
解：（Ⅰ）由参数方程为 （ 为参数），
y sin
cos x 1
得 sin y ，-----------------------------------1 分
cos
2 sin2 1
2 2
∴曲线C 的普通方程为 x 1 y 1．----------------------2 分
2
由普通方程为 x y ，而 x cos , y sin ，---------3 分
2
∴直线 l 的极坐标方程为2 cos 2 sin 2 0，----------4 分
1
即 sin . -------------------------------------5分
4 2
（Ⅱ）∵曲线C 的极坐标方程为 2cos ，
2
直线 l 的极坐标方程为 sin cos ，--------------6分
2
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1
即 ， ------------------------------7分
2(sin cos )
2cos 0 2
∴ OA·OB ，
0
0, ， -----9分
2 sin cos tan 0 1 40 0
2
则 OA·OB 的取值范围为 , 2 ． -----------------------10分
2
23.【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10分）
已知函数 f(x)=|2x+1|-|x-m| , (m ∈R )
（Ⅰ）当 m 1时，解不等式 f (x) 2；
（Ⅱ）若关于 x的不等式 f(x)≥ | x-3|的解集包含 [3, 4]，求 m的取值范
围 .
解：（Ⅰ）当 m 1时， f(x)=|2x+1|-|x-1| ----------------------1分
1
当 x 时， f x 2x 1 x 1 x 2，
2
由 f x 2解得 x 4，综合得 x 4；-------------------------2分
1
当 x 1时， f x 2x 1 x 1 3x ，
2
2 2
由 f x 2解得 x ，综合得 x 1；-----------------------3分
3 3
当 x 1时， f x 2x 1 x 1 x 2，
由 f x 2解得 x 0，综合得 x 1. ---------------------------4分
2
所以 f x 2的解集是 , 4 , . -------------------5分
3
（Ⅱ）∵ f x 2x 1 x m x 3 的解集包含 3, 4 ，
∴当 x 3, 4 时， 2x 1 x m x 3 恒成立 -------------6分
原式可变为2x 1 x m x 3，
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即 x m x 4 ， ----------------------------------------7分
∴ x 4 x m x 4 ------------------------------------8分
即 4 m 2x 4在 x 3, 4 上恒成立，----------------------9分
显然当 x 3时，2x 4取得最小值 10，
即m的取值范围是 4,10 .----------------------------------10分
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