通州区名校2022-2023学年高二下学期4月第二次学分检测
数学学科
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报项，则不同的报名方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2．在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3． 若曲线在某点处的切线的斜率为，则该曲线不可能是( )
A. B. C. D.
4． 在的展开式中，的系数等于( )
A. B. C. D.
5． 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，
，，则( )
A. B. C. D.
6． 如图，在三棱柱中，与相交于点，， ，，，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
（第6题图） （第7题图）
7． 如图， 已知正方体的棱长为，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8． 已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，等于的是( )
A. B. C. D.
10． 下面四个结论正确的是( )
A. 已知向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
11．已知函数的导函数，且，，则( )
A. 是函数的一个极大值点
B.
C. 函数在处切线的斜率小于零
D.
12． 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是 ，的中点，是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中常数项是 ．
14．某次演出有个节目，若甲、乙、丙个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有 种．
15．在四棱锥中，四边形为正方形，，，平面平面，，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为为锐角， 则当取最小值时，= ．
16．已知函数，若，
则的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． 本小题分
已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
的值；
（2）系数最大的项．
18． 本小题分
有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：
位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？
位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
（3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
19．本小题分
函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若对于，总有，求实数的取值范围．
20． 本小题分
已知展开式的二项式系数和为，
且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被整除的余数．
21． 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上不含端点是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
22． 本小题分
已知函数，．
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；
（2）设函数．
当时，求证：在定义域内有唯一极小值点，且；
若恰有两个零点，求实数的取值范围．
通州区名校2022-2023学年高二下学期4月第二次学分检测
数学学科（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报项，则不同的报名方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
2．在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
3． 若曲线在某点处的切线的斜率为，则该曲线不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
4． 在的展开式中，的系数等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
5． 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
6． 如图，在三棱柱中，与相交于点，， ，，，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】B
7． 已知正方体的棱长为，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
（第6题图） （第7题图）
8． 已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：设，在上恒成立，所以在单调递减，
所以，又，所以；
令，则，
令，，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立，
所以，所以．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，等于的是( )
A. B. C. D.
【答案】AC
10． 下面四个结论正确的是
A. 已知向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
【答案】ABC
11． 已知函数的导函数，且，，则( )
A. 是函数的一个极大值点
B.
C. 函数在处切线的斜率小于零
D.
【答案】AB
【解答】
解：，，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得或，则在上单调递减，
故是函数的一个极大值点，且，故A、B正确；
，，，
则，故函数在处切线的斜率大于零，故C错误；
又 ，则，但无法确定函数值的正负，故D错误．
故选AB．
12． 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是 ，的中点，是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
解：四棱锥中，底面是正方形，平面，
，，分别是，的中点，是棱上的动点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，，，
由是棱上的动点，设，，
，，
，，故A正确；
当为中点时，是的中位线，，
平面，平面，平面，故B正确；
，，
若存在点，使直线与所成的角为，
则，
化简，得，无解，故C错误；
点到平面的距离，
点到平面的距离：，
点到平面与平面的距离和为：，是定值，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中常数项是 ．
【答案】
14．某次演出有个节目，若甲、乙、丙个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有 种．
【答案】
15． 在四棱锥中，四边形为正方形，，，平面平面，
，点为上的动点，平面与平面所成的二面角为为锐角， 则当取最小值时，= ．
【答案】
【解答】
解：平面平面，，
平面平面，平面，则平面，
平面，所以，又，
所以以建立如图空间直角坐标系，
设，
所以，
因为，，又，且、均在平面内，所以平面，
所以易得 是平面的一个法向量，
而 ，
设平面的法向量为，
所以，取，则，
所以，
当取最小值时，最大，
又，
故时，最大，
16． 已知函数，若，则的最大值是 ．
【答案】
设，则，
则，，则，令，
则，因为时，和都是减函数，
所以函数在上单调递减，
由于，故时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，，
即的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． 本小题分
已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
的值；
（2）求此展开式中系数最大的项．
【答案】
解：；
的展开式的通项为令，解得，
又，，
展开式中系数最大的项为第项，且．
18． 本小题分
有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：
位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？
位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？
（3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？
【答案】解：
分步进行分析：
将个同学分成组，
若分成、、的三组，有种分法，
若分成、、的三组，有种分法，
则一共有种分组方法；
将分好的三组对应三个班，有种情况，
则一共有种不同的分配方法．
19．本小题分
函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若对于，总有，求实数的取值范围．
【答案】
解：Ⅰ由题意得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
Ⅱ由，得，
设，
则，
设，，
则，
则在上单调递增，
又，所以当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故，即实数的取值范围为．
20． 本小题分
已知展开式的二项式系数和为，
且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被整除的余数．
【答案】解：令，得，
令，得，所以；
因为展开式的二项式系数和为，
所以，即，
因为
，
所以．
因为能被整除，被整除后余数为．
所以被整除的余数为．
21． 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上不含端点是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
【答案】
解：(1)证明：连接交于点，并连接，
四边形为平行四边形，为的中点，
又为的中点，
在中，为中位线，，
面，面，面．
(2)在四棱锥中，底面，
底面为平行四边形，，且，，是棱的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
假设在线段上不含端点存在一点，使得二面角的余弦值为，
设，，
，则，
解得，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
二面角的余弦值为，
，
解得或．
在线段上不含端点存在一点，使得二面角的余弦值为，
且或．
22． 本小题分
已知函数，．
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；
（2）设函数．
当时，求证：在定义域内有唯一极小值点，且；
若恰有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】
解：，，
因为在处的切线与在处的切线平行，
所以，
则，，
解得．
，，
令，则，
所以在定义域上是增函数，
，，
所以在区间上有唯一零点．
当时，，即是减函数；
当时，，即是增函数，
所以是的唯一极小值点．
，，．
即，又在上单调递减，
所以
因为，，
所以的零点在上．
由题意得，在上两个零点，
设，，即在上有两个根。
，
所以在上单调递增，
故，即有两个解．
设，，
当，，是增函数，
当，，是减函数，
所以当时，的最大值为，
当时，恒成立，方程无解，舍去；
当时，恒成立，当且仅当，方程有唯一解，舍去；
当时，，，
所以在有唯一零点，
当时，.
所以在有唯一零点，
综上所述，当时，恰有两个零点．
