2022-2023学年江苏省南通市如皋市高一上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知角的终边在第四象限，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知扇形的周长为，圆心角，则扇形的面积为．( )
A. B. C. D.
4. 冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，试估计年以后将会有一半的臭氧消失．( )
A. B. C. D.
5. “”是“函数在上单调递增”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
6. 已知函数 在其定义域上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 关于的不等式的解集为单元素集，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中满足“对任意，都有”的是( )
A. B. C. D.
10. 下列命题为真命题的是( )
A. “”的否定为“”
B. 若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件
C. 函数与函数是同一个函数
D. 若方程在区间上有实数解，则实数的取值范围为
11. 下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
12. 设函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是的一个对称中心
C. 向左平移个单位后为偶函数
D. 先将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则的值为 ．
14. 集合，若，则
15. 已知幂函数为常数过点，则的最大值为 ．
16. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设全集，集合，．
当时，求
从下面三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
；；．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 本小题分
化简：；
已知关于的方程的两个根为和，求的值．
19. 本小题分
某同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
求函数的解析式及函数在上的单调递减区间；
若存在，使得成立，求的取值范围．
20. 本小题分
已知函数．
解关于的不等式；
求函数，的最小值．
21. 本小题分
已知函数为偶函数，其中是自然对数的底数，．
证明：函数在上单调递增；
函数，，在区间上的图象与轴有交点，求的取值范围．
22. 本小题分
定义在上的奇函数，其中，且，其中是自然对数的底，．
当时，求函数的解析式；
若存在，满足，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的交集运算以及集合子集个数的求解，属于基础题．
利用集合交集的定义求出，然后利用子集个数的计算公式求解即可．
【解答】
解：因为集合，
所以，
故的子集的个数为．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的象限符号特征，属于基础题．
由角的终边所在象限求得，的符号，即可得到结果．
【解答】
解：角的终边在第四象限，
，，
点在第二象限，
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了弧长及面积公式，属于基础题．
设扇形的半径为，弧长为，根据题意求出半径和弧长，即可求出扇形的面积．
【解答】
解：设扇形的半径为，弧长为，
因为圆心角为，所以，
因为扇形的周长是，
所以，解得．
所以扇形的面积是．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数的简单应用，考查了指对互化，属于基础题．
令，即可求解．
【解答】
解：令，化简得，
解得．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，考查诱导公式，是中档题．
结合诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，先判断充分性，再判断必要性即可得到结论．
【解答】
解：充分性：由，得函数，
由，则，
根据余弦函数的性质可得在上单调递增，即充分性成立；
必要性：函数，
由，，解得，，
又函数在上单调递增，
所以，即，解得，，
不能推出“”，即必要性不成立；
“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的单调性，考查了二次函数的单调性，属于基础题．
根据题意可得，求解即可．
【解答】
解：因为函数 在其定义域上单调递减，
所以，解得．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，解一元二次不等式，属于中档题．
由不等式的解集为单元素集，求出，的关系，进而得到的最小值，进而由恒成立得到，再求出的取值范围即可．
【解答】
解：由题意，，解得 或，
又由于，，故，
从而，当且仅当时等号成立．
故恒成立，可化为，
解得，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性、对称性、单调性与周期性，利用函数单调性比较大小，属于中档题．
根据图象平移可得的图象关于对称，结合为偶函数可得函数的周期为，又在区间上单调递减，可得，从而可求解．
【解答】
解：的图象向右平移个单位可以得到的图象，
因为为奇函数，其图象关于原点对称，
所以的图象关于对称，
所以，
因为函数为偶函数，所以，
所以，
由 ，所以函数的周期为，
所以，
因为的图象关于对称，且在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，，
所以，
所以．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查判断函数的单调性，属于基础题．
判断函数是增函数，然后依次判断选项的正误即可．
【解答】
解：函数满足“对任意，，都有”，
所以函数在上是增函数，
对于，易知一次函数在上是增函数，则A正确
对于，易知反比例函数在上是减函数，则不正确
对于，易知二次函数在上是增函数，则C正确；
对于，由在上是增函数，
所以在上是减函数，则不正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全称量词命题的否定，函数奇偶性的判断，函数的定义，带参数的方程有解问题，属于中档题．
根据全称量词命题的否定即可判断；根据函数的奇偶性的定义即可判断；根据同一函数的定义，即可判断；将问题转化为在区间上有实数解，即可判断．
【解答】
解：“”的否定为“”，A错误；
若“函数为奇函数”，定义域为，则，令，得到，
反之，若，则满足“”，
，
所以不是奇函数，
故“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B正确；
函数，函数，对应法则不同，
故函数与函数不是同一个函数，C错误；
若方程在区间上有实数解，则在区间上有实数解，故，D正确．
故选BD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用不等式的性质判断不等关系，利用作差法比较大小，属于基础题．
选项利用不等式的基本性质进行证明即可；选项，用作差法比较大小即可．
【解答】
解：因为，易知，不等式两边同乘以得：，故A正确；
，由于，，则，，
所以，则，故B错误；
因为，所以，又，则，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象变换和性质，属于一般题．
利用正弦型函数的性质和图象变换规律逐个判断即可．
【解答】
解：函数，
对于、的最小正周期为，故A错误；
对于、因为，故B正确；
对于、向左平移个单位后，为，定义域为，
，则函数是偶函数，故C正确；
对于、将函数的图象向右平移个单位后，得到，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用同角三角函数之间的关系化简求值，属于基础题．
由的值，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果．
【解答】
解：由，
因此 ．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的概念，集合的互异性，为基础题．
【解答】
解：，若，则可得或，
当时，，不满足互异性，舍去，当时，，满足题意
若，则，此时，不满足互异性，舍去；
综上．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数解析式以及利用基本不等式求最值，是基础题．
使用待定系数法求出的解析式，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：幂函数 为常数过点 ，
，解得，
，
，则，
，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于较难题．
设，根据题意，结合对数函数的图象与性质，可得当时，；当时，；当时，，求出的零点后，根据因式的符号可求参数的取值范围．
【解答】
解：设，
因为当时，；当时，；当时，，
由于当时，恒成立，
所以当时，；当时，；当时，，
所以，即，
当时，，此时，
满足时，恒成立，故，满足题意；
当时，的另一个实数解为，且，
此时，
故，，
若，此时在上恒成立，
故在上恒成立，此时；
若，当时，恒成立，与题设矛盾，
综上，，
则的取值范围为
故答案为：
17.【答案】解：当时，，
则，
由，解得，则，
则；
选，由，得，
当时，则，满足题意；
当时，则，有，从而，
综上：，
故实数的取值范围为．
选，由，得，
当时，则，满足题意；
当时，则，有，从而，
综上：，
故实数的取值范围为．
选，由，得，
当时，则，满足题意；
当时，则，有，从而，
综上：，
故实数的取值范围为．
【解析】本题考查了交并补混合运算以及含参数的集合关系的问题，属于基础题．
当时，得出和，再取交集即可；
选均可得，分和两种情况求解即可．
18.【答案】解：原式；
由题意可知，，
由，又，得，
则，
所以．
【解析】本题考查诱导公式以及同角三角函数的关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
利用诱导公式化简后，结合同角三角函数关系即可求解；
利用根与系数的关系以及同角三角函数的平方关系求解即可．
19.【答案】解：由表格可知，
，解得，
故，
当时，，取，得
根据正弦函数的图象与性质得，的单调递减区间为；
由题意得，
当，则，
所以当，即时，，
所以．
故的取值范围为．
【解析】本题考查了由的部分图象求其解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
根据用五点法作函数在一个周期上的图象的方法，求出函数的解析式，根据时，，即可得到结果；
由题意得，在求出的最小值，即可得到答案．
20.【答案】解：不等式可化为：
，即，
解得或，
所以不等式的解集为，；
，
当时，，
令，
若时，则在上单调递减，则的最小值为，；
若时，
当，即时，在上单调递增，则的最小值为，即，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为 ，即，
综上：当时，，
当时，，
当时，．
【解析】本题考查不等式的求解，函数的最值，属于中档题．
由题意得，然后解不等式组即可；
，利用换元法，构造函数，利用二次函数的单调性即可求得结果．
21.【答案】解：证明：由于是偶函数，
则，代入化简得，
解得，
当时，，
设任意的，
则
，
当时，，，，
所以，则，即，
所以函数在上单调递增；
，
令，则由，知，
可得，令，可得，
则在区间上的图象与轴有交点，可转化为在上有解，
易知函数在上单调递增，
所以，
则，解得，
故的取值范围为．
【解析】本题考查了利用函数的奇偶性解决参数问题、证明函数的单调性、函数零点与方程的根以及指数函数的性质，是较难题．
由于是偶函数，则，可得的值，再由函数单调性的定义证明即可；
，令，则，分离变量，根据函数性质可得的取值范围．
22.【答案】解：由，是奇函数，则，解得，
因为是上的奇函数，所以，，
当时，，则，所以，
当时，，则，所以，
故；
若，则由，得，且，
从而有；
若，则由，得，而，，所以等式不成立；
若，则由，得，即，其中，
从而有，
设，
恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，
综上：的取值范围为，
【解析】本题考查根据函数的奇偶性求解析式，考查分段函数值域问题，属于较难题．
根据奇函数，且求解参数，再根据对称性求解时和时的函数解析式，根据上的奇函数得，综上即得当时，函数的解析式；
根据题意分类讨论，时，，得，根据范围即可求解；若，则，易证不成立；若，可得，，根据单调性即可求解范围．
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