恒大高级中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角，若，，则的值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．
2．已知为虚数单位，则复数可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-2 B．1或2 C． D．
4．已知向量，，，且，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若（a，b，c分别是角A，B，C的对边），则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．若A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线，则y＝（ ）
A．13 B．－13
C．9 D．－9
7．已知平面向量与之间的夹角为，，，则与之间夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．（多选）已知正方体，则下列各式运算结果是的为（ ）.
A． B．
C． D．
10．已知非零向量，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使
11．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数（i为虚数单位），则
B．若复数z满足，则
C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
12．已知平面向量，下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若∥，∥，则∥，
C．若，则 D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知＝，＝，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则||＝________．
14．设x，，向量，，，且，，则______．
15．复数满足：，则__________.
16．已知非零向量、、，满足，，，若，则的取值范围是__________．
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．若、、三点的坐标分别为、、，求，的坐标.
18．（1）化简：．
（2）已知向量为，未知向量为向量，满足关系式，求向量．
19．如图，四边形是正方形，，的延长线交的延长线于点．求证：．
20．向量，
（1）求向量的模长；
（2）若向量，且，求实数的值.
21．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围．
22．某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先求得、、的值，代入即可求得的值
【详解】由已知得：，，则，
又，所以， 则
故选：B
2．A
【分析】利用复数的四则运算即可求解.
【详解】.
故选：A
3．D
【分析】根据数量积和模的计算求出.
【详解】∵，∴，解得.
故选：D.
4．A
【分析】求出，根据向量垂直，则点乘为0，得到关于的方程，解出即可.
【详解】，由可得，
解得．
故选：A．
5．D
【分析】逆用余弦定理，结合正弦的倍角公式，根据角度关系即可判断三角形形状.
【详解】因为，
故可得，
则，
又，
则或.
则该三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：.
【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及余弦定理的逆用，以及正弦的倍角公式，属综合基础题.
6．D
【分析】写出向量的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，解得答案.
【详解】由题意可得： ，
因为A(3，－6)，B(－5，2)，C(6，y)三点共线,
则 ，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9，
故选：D.
7．B
【分析】由已知得，，，进而根据向量夹角公式求解即可得答案.
【详解】因为向量与之间的夹角为，，，
所以，有，，
又因为，
向量与之间夹角的余弦值为，
因为，所以．
故选：B
8．D
【分析】利用余弦定理角化边，由探求出的形状，再结合充分条件、必要条件的定义直接判断即可.
【详解】在中，由结合余弦定理得：，整理得：
，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，
即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，
所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D
9．ABC
【分析】利用向量加法的线性运算对四个选项逐一验证即可.
【详解】
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，.
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则和三角形法则，属于基础题.
10．ACD
【分析】根据数量积的定义及运算律判断A、B，根据投影向量的定义判断C，根据向量共线的充要条件判断D.
【详解】解：因为、为非零向量，
对于A：若，则，即，
所以，所以，故A正确；
对于B：若，则，即，故B错误；
对于C：向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D：因为、为非零向量，所以向量、共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使，故D正确；
故选：ACD
11．AD
【分析】根据复数的运算及复数的分类、几何意义判断各选项．
【详解】，所以，A正确；
当时，，但是虚数，B错；
复数为纯虚数的充要条件是且，C错；
设，，即，它表示以原点O为圆心，以1为半径的圆，D正确．
故选：AD．
12．AD
【分析】对于A，由数量积的运算律化简计算判断，对于B，举例判断，对于C，举例判断，对于D，由向量的运算律和模的性质判断
【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，所以A正确，
对于B，若时，满足∥，∥，而∥不一定成立，所以B错误，
对于C，当，不共线时，仍满足，而不能得到，所以C错误，
对于D，，当且仅当共线同向时取等号，所以D正确，
故选：AD
13．13
【分析】由题设得||＝13，再应用向量减法法则可得＝，即可求||.
【详解】∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，即||＝13．
∵＝，＝，
∴＝-＝，
∴||＝||＝13．
故答案为：13.
14．
【分析】由，得，求得，由求得，从而可得。再由坐标运算求得模。
【详解】由得，∴．由知．
∴，．
故答案为：。
【点睛】本题考查求向量的模，解题时可由向量垂直和平行求得其中的变量，从而可得，计算出模。本题属于基础题。
15．
【分析】令，，根据条件等式可得且求x，写出复数即可.
【详解】令，，
∴，
∴且，则，故.
故答案为：
16．
【分析】利用平面向量数量积可得出、，再利用平面向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】且，则，可得，
由已知可得，
因为，
由三角不等式可得，即.
故答案为：.
17．，
【解析】利用平面向量的加法法则以及向量的坐标运算可得出，的坐标.
【详解】、、，所以，，.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，同时也涉及了平面向量加法的三角形法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
18．（1） ；（2） ，．
【分析】（1）利用向量的加减、数乘运算化简即可.
（2）联立题设向量的线性关系式，可得关于的线性表达式，进而求关于的线性表达式.
【详解】（1）．
（2）由①，②，
∴①+②，得，代入①得，即．
∴，．
19．证明见解析
【分析】以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据求得，根据得到，两式联立，求出；再设，根据和共线，求出，再由向量模的坐标表示，求出，即可得出结果．
【详解】证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，．
设，则，．
又∵，∴，∴．
又∵，∴．
由得或（舍去），
∴．
设，则由和共线得，得，∴，∴，，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，灵活运用建系的方法求解，熟记向量的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，向量模的坐标表示即可，属于常考题型．
20．（1）；（2）.
【分析】（1）利用向量模的公式计算；（2）利用向量数量积的坐标表示列式，即可计算结果.
【详解】解：（1），.
（2）
，且，
∴.
21．(1)
(2)
【分析】（1）选条件①切化弦，得解；选条件②等价转换得解；选条件③由正弦定理，边化角得，再根据诱导公式等价转化得解.
（2）由正弦定理，边化角得，结合B的范围求解.
(1)
选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，，所以
选条件②：因为，所以
所以，又因为，所以，
选条件③由正弦定理可得
即，又因为，所以，，所以.
(2)
，，所以即
22．（1）海里/时；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离与航行的时间的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度.
（2）由余弦定理得，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案.
【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则
.
当时，（海里），此时（海里/时）.
∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
（2）设小艇与轮船在处相遇，则，
故，又，
∴，即，解得.
又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为.
此时，在△中，有海里，
故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
