上海新纪元云南学校 2023 年春季学期期中考试
高一数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在第 1 至第 10 题所给的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，为单选题；第 11，12 题每个小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A A C C C A D B A ABC ABC
【解析】
1．因为M {2，4，6，8，10}， N {x | 1 x 6}，所以 M N {2，4}，故选 A．
2． c 2a cos B ，由正弦定理，得 sin C sin(A B) 2sin Acos B ，即 sin Acos B cos Asin B
2sin Acos B，∴ sin Acos B cos Asin B ，可得 tan A tan B ，又 0 A π，0 B π ，
∴ A B，则△ABC 的形状为等腰三角形，故选 A．
3． a (a b) ，所以 a (a b) 0 ，即 | a |2 | a || b | cos a，b 0，解得 cos a，b 3 ，又因
2
为向量夹角的范围为[0 ，180 ] ，则 a与b 的夹角为 30°，故选 A．
4 x≥0，
4．由 f (x)
4 x 4 x
，得 x 1 0， 解得 1 x≤4且 x 0，所以函数 f (x) 的定lg(x 1) lg( 1) 0 lg(x 1) x ，
义域是 ( 1，0) (0，4]，故选 C．
5．如图 1， AE AC CE AC
2
CD AC 2 (AD AC)
3 3
1 1 1 1 1 5 AC AB CA CB CA 1
CA CB ，故选 C．
3 2 3 2 2 6 2
tan π tan 16．由
1
2，解得 tan ，则 图 1
4 1 tan 3
2cos
π
2
sin( π)
sin tan 1
3π cos 3，故选
C．
sin 2
数学 YTH 参考答案·第 1 页（共 9 页）
7．由 2 f (x) f ( x) 3x 1，可得 2 f ( x) f (x) 3x 1①，又 4 f (x) 2 f ( x) 6x 2②，
① ②得：3 f (x) 3x 3，解得 f (x) x 1，故选 A．
8．函数 y sin 2x 3 cos 2x
π
2sin 2x
π
3 ，所以将函数
y 2sin x 的图象向右平移 个单
3
位，得到 y sin x
π
1
3 的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 2
y 2sin 2x π 3 的图象，故选
D．
9．由不等式 ax2 bx c 0 的解集为 {x | 2 x 3}，可知 2，3为方程 ax2 bx c 0 的两
b c
个 根 ， 故 a 0 且 2 3 1， ( 2) 3 6 ， 即 b a，c 6a ， 则 不 等式
a a
bx2 amx 2c 0 变为 ax2 amx 12a 0 ，由于 a 0，x [1，5] ，则上式可转化为
m x 12 [1 5] x 12在 ， 恒成立，又 ≥2 x 12 4 3 ，当且仅当
x x x x 2 3
时等号成立，
故m 4 3 ，故选 B．
10．作出函数 f (x) 的图象如图 2 所示，由图可知，当 0 a 1时，直线 y a 与函数 f (x) 的图
象有四个交点，且交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，由图可知，点
(x3，a)，(x4，a)关于直线 x 5 对称，则 x3 x4 10，由图可知，2 x1 3，3 x2 4 ，由
f (x1) f (x2 )可得 log2 (x1 2) log2 (x2 2) ，
x 2 1 1 所以， 1 x 2x2 2
，所以，可得 1 x ， 2 2
(x3 x4 )x1 1
所以， 2x
1
1 5 x2 1 x
2 1
2 1 图 2
4 g(x)
x2 2 x
，易知函数
2 1
2 1
4在 (3，4) 上为减函数，且 g(3)
13
， g(4)
16
，故
x 2 x 1 2 3
(x3 x4 )x1 1 2 1 4 16 13 ， A
5 x2 1 x2 2 x
，故选 ．
2 1 3 2
数学 YTH 参考答案·第 2 页（共 9 页）
11． f (x)
3
sin2x 3 3 cos2x 3sin 2x π 2 5π π 5π π π ，A 选项， ，所以图象C
2 2 3 12 3 6 3 2
关于直线 x
5π π kπ π
对称，A 选项正确；B 选项，由 2x kπ ，解得 x ，所以图象
12 3 2 6
π kπC 的所有对称中心都可以表示为 ，0 k Z B6 2 （ ）， 选项正确；C 选项，
0 x π π π 2π π π≤ ≤ ， ≤2x ≤ ，所以当 2x ，x 0 时， f (x) 取得最小值
2 3 3 3 3 3
3 3 3 3 π π π π 2
2 ，
C 选项正确；D 选项， ≤x≤ ， ≤2x ≤0 ，所以函数 f (x)
12 6 2 3
π π
在区间 ，12 6 上单调递增，
D 选项错误，故选 ABC．
12．对于 A：因为 f (x) 是定义域为R的奇函数，所以 f ( x) f (x) ，又 f (x 1)的图象关于
直 线 x 1 对 称 ， 所 以 f [(1 x) 1] f [(1 x) 1] ， 即 f (2 x) f (2 x) ， 所 以
f (4 x) f ( x) f (x) ，则 f (8 x) f (x)，即函数 f (x) 的一个周期为8，故 A 正确；
对于 B：令 u(x) g(2x 1) ，则 u(x) 关于点 (1，0) 对称，所以 u(1 x) u(1 x) 0 ，即
g[2(1 x) 1] g[2(1 x) 1] 0 ，即 g(3 2x) g(3 2x) 0 ，所以 g(3 x) g(3 x) 0，
即 g(x)的图象关于点 (3，0)对称，故 B 正确；对于 C：因为 g(x) 是定义域为R的奇函数，
所以 g( x) g(x) ，又 g(x) 的图象关于点 (3，0) 对称，所以 g(6 x) g( x) 0 ，所以
g(6 x) g(x) ，即函数 g(x) 的一个周期为 6 ，所以 g(5) g( 1) g(1) ，又 g(3) 0 ，
g(1) 3 g(3) 5 g(5) 6 ，所以6g(1) 6 ，即 g(1) 1，所以 g(2023) g(6 337 1) g(1) 1，
故 C 正确；对于 D：因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0) 0 ，所以
f (88) g(88) f (8 11) g(6 14 4) 6 ，即 f (0) g(4) 6 ，所以 g(4) 6 ，所以
g(2) g( 2) g(4) 6 ，故 D 错误，故选 ABC．
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第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
56
答案 ( 1， 2) 2 3 ②③④ 65
【解析】
13．因为 f (x) ax 1 3 (a 0，a 1) ，所以，当 x 1时，总有 f ( 1) a 1 1 3 1 3 2 ，
∴ f (x) 必过点 ( 1， 2) ．
AB2 AC2 BC2 AB2 42 (2 3)214 1．在△ABC 中，由余弦定理得： cos A ，解得：
2AB AC 2 4AB 2
AB 2 ，所以△ABC 1的面积为 S△ABC AB AC sin A
1
2 4 3 2 3 ．
2 2 2
π π π π π 3π π π
15．因为 0 ，则 ，因为 ，则 π，所以
4 4 4 2 4 4 2 4
sin π 1 cos2 π 4 cos π π 5 ，
1 sin2 ，则
4 4 5 4 4 13
sin( π π π π ) sin sin cos cos
π sin π
4
4 4 4 4 4
4
5 3 12 56
5
13 5 13 65 ．
f (x ) f (x
16 x，x 1 2
) f (x1) f (x )
．因为 1 2 均为正数且不相等，所以由
2 (x1 x2 )[ f (x1) x 2 x1 x1 x2
f (x2 )] 0 ，故 f (x) 在 (0， )上为增函数，故①不是 W 函数，对于②： f (x) x2
4x 3 (x 2)2 1在 (0， )上为增函数，从而对于 x1 0， x2 0， f (x1) f (0) 3，
f ( x2 )≥ 1，故 f (x1) f ( x2 ) 0 ，故②是 W 函数；对于③：易知 f (x) 2x 1 1在 (0， )
上单调递增， x1 0， x2 0， f (x1) f (0) 1， f ( x2 ) 1，从而 f (x1) f ( x2 ) 0 ，
故③是 W 函数；对于④：当 x 0 时， f (x) ln(| x | 1) ln(x 1)为单调递增函数，又因
为 x R， f (x) ln(| x | 1)≥0 且 f (0) 0，所以 f (x1) f ( x2 ) 0 ，故④是 W 函数．
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三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）因为 A {x | (x 2)(x 1) 0} {x | 1 x 2}，B {x | 1≤x 1}，
故 A B {x | 1≤x 2}．
（Ⅱ）若 A B A，则 A B ， A {x | (x a)(x 1) 0}，
a 1， A ，符合 A B ；
② a 1， A (a， 1) ，不符合 A B ，舍去；
③ a 1， A ( 1，a)，则 1 a≤1；
综上，实数 a的取值范围为[ 1，1]．
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） ka b k(1，0) (2，1) (k 2， 1)，
a 2b (1，0) 2(2，1) (5，2)．
因为 ka b 与 a 2b 共线，
所以 2(k 2) ( 1) 5 0
1
，解得 k ．
2
1
故当 k 时， 与
2 ka b a
2b 共线．
A B C
（Ⅱ）因为 ， ， 三点共线， a 与b 不共线，
所以存在实数 λ，使得 AB BC( R)，
2a
3b (a
即 mb) ，
整理得 (8，3) ( 2m ，m )，
2m 8，
m 3所以
m 3
解得 ．
， 2
3
故m 的值为 ．
2
数学 YTH 参考答案·第 5 页（共 9 页）
19．（本小题满分 12 分）
asin C c cos A π π 解：（Ⅰ）若选①：因为 6 ，由正弦定理得
sin Asin C sin C cos A
6
，
因为 0 C π ，所以 sin C 0 ，
sin A π cos A 3 1故可得 cos A sin A ，
6 2 2
3 sin A 3即 cosA ，所以 tanA 3 ，
2 2 3
π
因为 0 A π ，所以 A ．
6
若选②：因为 2ccosA acosB bcosA，
由正弦定理可得 2sinCcosA sinAcosB sinBcosA，
所以 2sin C cos A sin(A B) sin C ，
1
因为 0 C π ，所以 sin C 0 ，所以 cosA ，
2
因为 0 A π ，所以 A
π
．
3
若选③：因为b2 c2 a2 bc，可得b2 c2 a2 bc ，
2 2 2
由余弦定理可得 cosA b c a 1 ，
2bc 2
π
因为 0 A π ，所以 A ．
3
π
（Ⅱ）若选①，由（Ⅰ）可得 A ，
6
S 1△ABC bcsin A
1
6c 1 3 c 3 3 ，所以
2 2 2 2 c 2 3
，
由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cos A 62 (2 3)2 2 6 2 3 3 12 ，
2
所以 a 2 3 ．
π
若选②③，由（Ⅰ）可得 A ，
3
S 1△ABC bcsin A
1 3 3 3
6c c 3 3 ，解得 c 2，
2 2 2 2
数学 YTH 参考答案·第 6 页（共 9 页）
由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A 62 22 2 6
1
2 28，
2
所以 a 2 7 ．
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）∵b c a cosC c cos A，
∴sin B sin C sin(A C)，
∴sin(A C) sin C sin(A C)，
∴sin AcosC cos AsinC sin C sin AcosC cos Asin C ，
∴cos A 1 ，
2
π
∵0 A π ，∴A ．
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C
2π
B，
3
a b c
由正弦定理 2R，
sin A sin B sin C
3 b c
∴
sin π sin B sin 2π B ，
3 3
2π
∴b 2 3 sin B ， c 2 3 sin B ，
3
∴b 2c 2 3 sin B 2π 4 3 sin B
2 3(2sin B 3 cos B)
3
2 21sin(B ) ，
π
其中 tan 3 ， 0，
2 2
，
B 由 0
2π π
，
3 ，存在 B 使得
B ，
2
所以 sin(B ) 的最大值为 1，
∴b 2c 的最大值为 2 21 ．
数学 YTH 参考答案·第 7 页（共 9 页）
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） f (x) 2cos xsin
x
π
3 sin
2 x sin xcos x
3
2cos x sin xcos
π
cos xsin π 3 sin
2 x sin xcos x
3 3
sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x π
3
，
x π 0 π π 4π∵ ， ，∴ ≤2x ≤ ， 2 3 3 3
3
sin π ∴ ≤ 2x ≤1， 2 3
π
∴当 x
0， 时， f (x)2 的值域为 [ 3，2]．
3 π （Ⅱ） f x 2sin 3x
π
，令 t 3x
π
，
2 3 3 3
π π 2π
因为 x 0， ，所以 t ， ， 3 3 3
如图 3：
图 3
π 2π 3
sint s 在 t
，3 3 上有两个不同的解必须满足
s ，1 ，
2
3 π π
所以方程m f x x 0，
2 3
在 3 时恰好有两个不同的解必须满足m [ 3，2) ，
即实数m 的取值范围是 [ 3，2)．
数学 YTH 参考答案·第 8 页（共 9 页）
22．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) 3x (k 2) 3 x (x R) 是奇函数，
所以 f (0) 1 (k 2) 0，解得 k 1，
此时 f (x) 3x 3 x f ( x)符合题意．
（Ⅱ）原问题即为 x [ 2， 1]，3x 3 x m 3x≤6，即m 3x≤6 3x 3 x 恒成立，
x
m 6 3 3
x
则 ≤ 6 3 xx (3
x )2 1，
3
设 t 3 x，∵ 2≤x≤ 1，∴3≤t≤9，
则 y 6 3 x (3 x )2 1 6t t 2 1 (t 3)2 10，
∵3≤t≤9，∴当 t 3时， y 取得最小值 26，
要使不等式在[ 2， 1]上恒成立，则m≤26，
即实数m 的最大值为 26．
（Ⅲ） (3x 3 x )2 (3x 3 x )2 4 [ f (x)]2 4，
则 g(x) f (x) [ f (x)]2 9，
1 8
设 3x 3 x ，当 x≥1时，函数 3x 3 x 为增函数，则 ≥3 ，
3 3
若 g(x)在[1， ] 上有零点，
8
则函数 y 2 9在 ， 上有零点，
3
即 2 9 9 ，即 = ，
2
9
∵
3
6≥6，当且仅当 3时取等号，
∴ ≥6 ，即 的取值范围是[6， ) ．
数学 YTH 参考答案·第 9 页（共 9 页）秘密★启用前
上海新纪元云南学校2023年春季学期期中考试（B卷）
高一数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在第1至第10题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，为单选题；第11,12题每个小题给出的四个选项，有多个符合题目要求，全选对的得5分，选对选不全的得2分，有选错的得0分）
1.集合M={2,4,6,8,10}，N={χ∣-1<χ<6},则M∩N=
A. {2,4 } B.{2,4,6}
C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10}
2.△ABC中，内角A、B、C所对应的边是a,b，c，且c=2ac，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
3.已知向量，满足=，=，⊥（），则和的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.函数的定义域是
A.（0,4） B.（-1,0）∪（0,4） C. （-1,0）∪（0,4］ D.（0,1）∪（1,4］
5.在△ABC中，点D满足=4,点E满足=2,则=
A.- B.
C.- D.-
6.已知=2,则=
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为
A. B. C. D.
8.为了得到函数的图像，可以将函数的图像
A.先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
B.先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
c.先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
D.先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
9.已知不等式ax +bx+c>0的解集为{x|-2
的取值范围为
A.(-∞，] B.(-∞，)
C.[13,+ ∞) D.(-∞，13)
10.设数若f(x)=a有四个实数根，且<<<，则
+的取值范围是
A. B. C. D.
11.(多选题)已知函数的图象为C，则下列结论中正确的是
A.图象C关于直线对称
B.图象C的所有对称中心都可以表示为，0) （k∈Z）
C.画数在[0.]上的最小值为
D.函数/x)在区间[-、]上单调递减
12.(多选题)已知两数f(x)，g(x)是定义域为R的奇函数，f(x+1)的图象关于直线x=1对称，函变 g(2x+1)的图象关于点(1，0)对称，则下列结论正确的是
A.函数的一个周期为8
B.函数g(x)的图象关于点(3，0)对称
C.若g(1)-3g(3)-5g(5)=6，则g(2023)=1
D.若f(88)+g(88)=6，则g(2)=6
第II卷（非选择题）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域作答，在试题卷上作答无效。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数-3（a>0，a≠0）的图像恒过定点
14.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2则△ABC的面积等于 。
15.已经α，β满足0＜α＜，＜β＜，，，则
16.已知是定义域在R 上的函数，若任意两个不相等的正数 ， ，都有 + >0,且 +>+,则称函数为“W函数”，现有四个函数：①=Ix-1I;②=；
③=-1；④=，则以上四个函数为“W函数”的是 。（填入所有正确的序号）
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）［］
17.（本小题满分10分）
已知集合A={x|<0,x∈R}, B={χ∣-1χ<1}。
（I）当a=2时，求A∪B；
（II）若A∩B=A时，求实数a的取值范围。
18.（本小题满分12分）
已知=（1,0），=（2,1）
（I）当k为何值时，k-与+2共线？
（II）若=2+3, =+m且A,B,C三点共线，求m的值。
19.（本小题满分12分）
在①a=c；②2c=+b;③+bc这三个条件任选一个，补充在下列问题中，并解答下面两个问题。
（I）求角A；
（II）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b，c，若已知b=6，S△ABC=3,求a的值。
20.（本小题满分12分）
△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b，c，若已知b-c=a·-c·.
（I）求角A；
（II）若a=3，求b+2c的最大值。
21.（本小题满分12分）
已知函数+.
（I）当x∈［0，］时，求的值域；
（II）若x∈［0，］时，方程=m恰有两个不同的数，求实数m取值范围。
22（本小题满分12分）
已知函数（x∈R）为奇函数。
（I）求实数k的值；
（II）若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围。
（III）若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围。
