目录
导数 2
1 导数大题 2
解析几何 13
1 直线与圆 13
2 椭圆，抛物线，双曲线基础 14
3 解析综合小题 16
4 圆锥曲线大题 17
导数
1 导数大题
1．（202205海淀二模20）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当，恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，，.
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为：，
即.
（Ⅱ）的定义域为，
当时，，
令，得或.
与的情况如下：
0 0
↘ ↗ ↗ ↘
所以的单调增区间为，，单调减区间为，.
（Ⅲ）法1：
“”是“时，恒成立”的必要条件.
当，时，.
设，
由（Ⅱ）知，在上满足，
所以，当，时，，
所以的取值范围是.
法2：
因为时，恒成立，
所以.
令.
所以，
分析解析式发现.
令，
所以.
所以单调递增.
与的情况如下：
0
↘ ↗
所以,
所以的取值范围是.
法3：
，
①当时，因为，所以
取，得，不合题意；
②当时，，
显然存在唯一负实数根，且在上，在上，
所以在上递减，在上递增，所以，
由得，
所以，
满足成立即可满足题意，
设，则，
所以在时单调递减，又，所以，
设，则在时成立
所以在单调递增，
所以时恒成立.
2．（202205西城二模19）已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
【答案】解：（Ⅰ），，所以，
因为，
所以.┄┄┄┄┄┄5分
（Ⅱ）①的定义域是，
，
令，则.
设，
因为，在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，，
所以在上有唯一的零点，
所以有有唯一解，不妨设为，.
与的情况如下：
＋ 0 －
极大值
所以有唯一的极值点.
②由题意，，则.
若存在，使，则，
所以.
因为在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾.
所以，不存在使得.┄┄┄┄┄┄15分
3．（202205东城二模19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，曲线在轴的上方，求实数的取值范围.
【答案】（19）（共15分）解：函数的定义域为.
（Ⅰ）当时，，.所以， 所以曲线在点处的切线方程为. ……5分
（Ⅱ）当时，由有，故曲线在轴的上方.
当时，.
令得或（舍去）.
当变化时，，变化情况如下：
+
↘ ↗
当，即时, 在区间上单调递增，
则，
即曲线在轴的上方. 当，即时，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则.
由时，曲线在轴的上方，
有，解得 . 所以 .
综上，实数的取值范围为. ……15分
4．（202205朝阳二模20）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数. 若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（20）（本小题15分） 解：（Ⅰ）因为，
所以．
当时，与的变化情况如表所示：
0
单调递增 单调递减
所以当时，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为． 6分
（Ⅱ）当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,
所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，
等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或， 所以．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得，
所以.
综上所述，的取值范围是． 15分
5．（202205丰台二模19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）直接写出的一个取值范围，使得恒成立.
【答案】19.（本小题共15分）
解：（Ⅰ）当时，，则.
令，解得.
随变化和的变化情况如下表：
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，取得极大值为.……………….6分
（Ⅱ）当时，设，
则.
设，则.
故在区间上单调递减.
因为，
所以当时，，即，则在区间上单调递增；
当时，，即，则在区间上单调递减；
所以当时，取得最大值为.
所以，即.……………….13分
（Ⅲ）（答案不唯一）……………….15分
6．（202205昌平二模20）已知函数，.
（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；
（Ⅱ）若函数无零点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数在处取得极小值，求实数的取值范围.
【解答】解：（Ⅰ）因为函数，
所以，
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，
所以，，
解得，，即，；
（Ⅱ）由题意，，
设，．
（1）当时，，在上单调递增，且，
所以，所以在上无零点，
当时，令，得，
（2）当，即时，，在上单调递增，且，
所以，所以在上无零点，
当时，，
，符号变化如下，
0
极小值
所以，
当，即时，，
所以，所以在上无零点．
当，即时，由，，
所以至少存在一个零点，
所以至少存在一个零点，
综上，若无零点，实数的取值范围为；
（Ⅲ）当时，，
定义域为．
，
由（Ⅱ）可知，
当时，，
当时，，
所以当时，在上恒成立，
此时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，
当时，，
当时，，
所以，单调递减，
此时不是极小值点．即时，不合题意，
综上，满足条件的的取值范围为．
7．（202205房山二模19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
【解答】解：（Ⅰ）当时，函数，，
，，
曲线在处的切线方程为，即．
（Ⅱ），．
，
时，令，解得，
①时，，，，
函数在单调递减．
时，函数取得最小值 ．
②时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，．
③时，，时，，函数单调递增．
时，函数取得最小值，．
解析几何
1 直线与圆
一、选择题
1．（202105东城二模08）已知点在直线上，则当变化时，实数的范围为
A. B.
C. D.
【答案】B
2.（202105西城二模05）已知直线与圆交于两点，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
3.（202105朝阳二模05）过点作圆的切线，则切线方程为
A. B.
C. D.或
【答案】C
4.（202105昌平二模8）已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题
1.（202105海淀二模13） 已知圆，则圆的半径为_________；若直线被圆截得的弦长为，则_________.
【答案】1；
2．（202105房山二模13）已知圆和直线，则圆心坐标为_________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为_________.
【答案】；．
2 椭圆，抛物线，双曲线基础
一、选择题
1．（202105东城二模06）已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上一点. 若的一条渐近线方程为，则
A. B. C. D.
【答案】C
2.（202105西城二模02）已知双曲线的焦点分别为，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
3．（202105海淀二模03）已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
4．（202105房山二模02）双曲线的焦点坐标为
A. B. C. D.
【答案】C
5.（202105昌平二模05）已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
6．（202105海淀二模06）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则
A.是等差数列 B.是等比数列
C.是等差数列 D.是等比数列
【答案】A
二、填空题
1.（202105朝阳二模11） 抛物线的准线方程是_________.
【答案】
2.（202105丰台二模12）已知抛物线，则抛物线的准线方程为_________.
【答案】
3.（202105昌平二模11）抛物线的准线方程为_________.
【答案】
4．（202105房山二模11）抛物线的准线方程为_________.
【答案】
5．（202105东城二模13）已知抛物线，为上一点，轴，垂足为，为的焦点，为原点. 若，则_________.
【答案】
6.（202105西城二模13）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为_________；直线与抛物线分别交于两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则_________.
【答案】 ，
3 解析综合小题
一、选择题
1.（202105丰台二模10）已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为. 以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行. 若，则△的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题
1. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足. 记为点到直线
的距离. 当变化时，直线所过定点的坐标为_________；的最大值为_________.
【答案】；6
4 圆锥曲线大题
1．（202105东城二模20）（本小题15分）
已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，求证：.
【答案】（1）由题得
所以椭圆E的方程为.
（2）要证，只需证，
只需证明只需证明
只需证明
设，只需证明只需证明.
设直线l的方程为，
联立椭圆方程得，
设，所以，
又三点共线，所以，同理，
所以，所以
所以.
所以.
2.（202105西城二模20）（本小题15分）
已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和焦距；
（Ⅱ）已知分别是椭圆和圆上的动点（不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点. 求线段长度的最小值.
【答案】（20）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意，，，
所求椭圆方程为.
因为，
所以焦距.┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）设且.
由题意，设且.
因为，所以线段的中点为.
又直线的斜率为，
所以线段的中垂线的斜率为.
故线段的中垂线方程为.
令，得.
由，可得，
代入上式，得，
所以.
因为直线的斜率为，
所以圆在点处的切线斜率为.
所以切线方程为.
令得,
所以.
所以线段长度
.
（当且仅当，即时等号成立）
所以线段长度的最小值为.┄┄┄┄┄┄15分
3.（202105海淀二模19）（本小题共14分）
椭圆的左顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点. 若四边形为平行四边形，求直线的方程.
【答案】解：（Ⅰ）由题意得
解得. 所以椭圆的方程为 .
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，四边形ABCD不可能为平行四边形
当直线l的斜率存在时，设，
由 得.
.
设，则.
所以.
由四边形ABCD为平行四边形可得，
所以，即，
解得，所以或.
所以，直线l的方程为或或-
4.（202105朝阳二模19）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的
直线交椭圆于另一点. 若，求证：直线经过定点.
【答案】解：（Ⅰ）由题意知 解得，．
所以椭圆的方程为． 4分
（Ⅱ）设，，，
则，，若，则或．
当，时，，不合题意，
当，时，，不合题意．
所以直线的斜率存在，设直线的方程为．
由得，
．
则，，且．
因为，
所以，即，
所以，
所以，
所以，所以或（舍）．所以直线经过定点．15分
5.（202105丰台二模20）（本小题共15分）
已知椭圆经过点，到椭圆的两个焦点的距离和为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为的中点，作的平行线与椭圆交于不同的两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点，求证：三点共线.
【答案】
解：（Ⅰ）由题意得
解得，.
所以椭圆的方程为.……………….5分
（Ⅱ）因为，，且为的中点，
所以，.
依题意，设直线的方程为，，，，，
所以直线的方程为.
由得，
即.
因为点在椭圆上，所以，
由此得，
即，
所以，
于是，
所以，即，
由此得.
因为点在上，所以，即.
同理，，所以，故，，三点共线.……………….15分
6.（202105昌平二模19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且. 过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
【答案】（Ⅰ）解：根据题意，解得，，．
所以椭圆的方程为：．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．
根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为．
由得．
根据题意，△恒成立，设，，，．
则．
直线的方程为，
令，得，所以．
因为，，，
则直线，的斜率分别为，
．
．
所以，
所以，，三点共线．
7.（202105房山二模20）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）已知点，过原点的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为. 若△的面积等于，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ）由题设，得，，则，
所以椭圆的方程为，离心率．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由得，
△解得．
设，，，，则，，即，同号．
根据椭圆的对称性知，，所以
，
整理得，
解得，（满足
所以，或．目录
导数 2
1 导数大题 2
解析几何 9
1 直线与圆 9
2 椭圆，抛物线，双曲线基础 10
3 解析综合小题 12
4 圆锥曲线大题 13
导数
1 导数大题
1．（202205海淀二模20）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当，恒成立，求的取值范围.
2．（202205西城二模19）已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
3．（202205东城二模19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，曲线在轴的上方，求实数的取值范围.
4．（202205朝阳二模20）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数. 若对任意，存在，使得 成立，求实数的取值范围.
5．（202205丰台二模19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）直接写出的一个取值范围，使得恒成立.
6．（202205昌平二模20）已知函数，.
（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；
（Ⅱ）若函数无零点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数在处取得极小值，求实数的取值范围.
7．（202205房山二模19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
解析几何
1 直线与圆
一、选择题
1．（202105东城二模08）已知点在直线上，则当变化时，实数的范围为
A. B.
C. D.
2.（202105西城二模05）已知直线与圆交于两点，且，则的值为
A. B. C. D.
3.（202105朝阳二模05）过点作圆的切线，则切线方程为
A. B.
C. D.或
4.（202105昌平二模8）已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题
1.（202105海淀二模13） 已知圆，则圆的半径为_________；若直线被圆截得的弦长为，则_________.
2．（202105房山二模13）已知圆和直线，则圆心坐标为_________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为_________.
2 椭圆，抛物线，双曲线基础
一、选择题
1．（202105东城二模06）已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上一点. 若的一条渐近线方程为，则
A. B. C. D.
2.（202105西城二模02）已知双曲线的焦点分别为，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
3．（202105海淀二模03）已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
4．（202105房山二模02）双曲线的焦点坐标为
A. B. C. D.
5.（202105昌平二模05）已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
6．（202105海淀二模06）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则
A.是等差数列 B.是等比数列
C.是等差数列 D.是等比数列
二、填空题
1.（202105朝阳二模11） 抛物线的准线方程是_________.
2.（202105丰台二模12）已知抛物线，则抛物线的准线方程为_________.
3.（202105昌平二模11）抛物线的准线方程为_________.
4．（202105房山二模11）抛物线的准线方程为_________.
5．（202105东城二模13）已知抛物线，为上一点，轴，垂足为，为的焦点，为原点. 若，则_________.
6.（202105西城二模13）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为_________；直线与抛物线分别交于两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则_________.
3 解析综合小题
一、选择题
1.（202105丰台二模10）已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为. 以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行. 若，则△的面积是
A. B. C. D.
二、填空题
1. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足. 记为点到直线
的距离. 当变化时，直线所过定点的坐标为_________；的最大值为_________.
4 圆锥曲线大题
1．（202105东城二模20）（本小题15分）
已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，求证：.
2.（202105西城二模20）（本小题15分）
已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和焦距；
（Ⅱ）已知分别是椭圆和圆上的动点（不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点. 求线段长度的最小值.
3.（202105海淀二模19）（本小题共14分）
椭圆的左顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点. 若四边形为平行四边形，求直线的方程.
4.（202105朝阳二模19）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的
直线交椭圆于另一点. 若，求证：直线经过定点.
5.（202105丰台二模20）（本小题共15分）
已知椭圆经过点，到椭圆的两个焦点的距离和为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为的中点，作的平行线与椭圆交于不同的两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点，求证：三点共线.
6.（202105昌平二模19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且. 过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
7.（202105房山二模20）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）已知点，过原点的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为. 若△的面积等于，求直线的斜率.
