2023年上海市长宁区高考数学二模试卷
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列统计最中，用来描述一组数据离散程度的量是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 百分位数 D. 标准差
2. 设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点则下列说法不正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 直线始终与直线异面
D. 直线始终与直线异面
4. 设各项均为实数的等差数列和的前项和分别为和，对于方程，，下列判断正确的是( )
A. 若有实根，有实根，则有实根 B. 若有实根，无实根，则有实根
C. 若无实根，有实根，则无实根 D. 若无实根，无实根，则无实根
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知，，则 ______ ．
6. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
7. 已知事件与事件相互独立，如果，，那么 ．
8. 当时，幂函数的图像总在的图像上方，则的取值范围为 ．
9. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为则这个圆锥的体积为 ．
10. 若函数为奇函数，则实数的值为 ．
11. 设随机变量服从正态分布，若，则 ．
12. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要 米栅栏．
13. 若函数，满足，且，则 ．
14. 若对任意，均有，则实数的取值范围为 ．
15. 已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 ．
16. 已知、是双曲线的左、右焦点，是的一条渐近线，以为圆心的圆与相切于点若双曲线的离心率为，则 ．
三、解答题（本大题共5小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
盒子中有个乒乓球，其中个次品，个正品现从中不放回地随机摸取次小球，每次一个．
记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：；
用表示摸出的个小球中次品的个数，求的分布和期望．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，、分别为棱、中点．
求证：平面平面；
若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．
19. 本小题分
某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型，其中为自统计之日起，经过年后该地新能源汽车保有量，和为增长系数，为饱和量．
下表是该地近年年底的新能源汽车的保有量万辆的统计数据：
年份
保有量
假设该地新能源汽车饱和量万辆．
若，假定年数据满足公式，计算的值精确到并估算年年底该地新能源汽车保有量精确到万辆；
设，则与线性相关，请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和的值精确到．
附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：
，
20. 本小题分
已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、．
求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
若，求线段的中点到轴的距离；
设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、求证：为常数．
21. 本小题分
求简谐振动的振幅、周期和初相位；
若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围；
设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量，
所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故A、不正确；
百分位数是指将一组数据从小到大排列，并计算相应的累计百分位，
则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数，
所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量，故C不正确；
标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故D正确．
故选：．
根据中位数，平均数、百分位数和标准差的定义即可判断．
本题主要考查中位数，平均数、百分位数和标准差的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意知，表示向量的复数为，
在复平面上所对应的点为位于第一象限．
故选：．
根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．
本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：正方体中，易得平面，
点在直线上，为线段的中点，
当点和重合时，平面，
，故A正确；
连接，如图所示：
当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故B正确；
平面，当点和点重合时，平面，
则直线和在同一平面内，故C错误；
平面，平面，，
故直线始终与直线不相交，且不平行，是异面直线，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合线面垂直的判断，异面直线的定义，中位线定理，即可依次求解．
本题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：若有实根，由题意得：，
其中，，
代入上式得，
设方程与方程的判别式分别为和，
则等号成立的条件是．
又，
如果有实根，则，则或者，所以有实根或者没有实根，
如，，，，满足，
，但是，所以没有实根，所以A错误；
如果没实根，则，则，所以有实根，所以B正确；
若无实根，则，有实根，则，
设，，，，所以，，
此时，则有实根，所以C错误；
若无实根，则，无实根，则，
设，，，，所以，，
此时，则有实根，所以D错误．
故选：．
若有实根，得到，设方程与方程的判别式分别为和，得到，结合举反例可以判断选项AB；通过举反例可以判断选项CD．
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前项和，解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：
找出与的公共元素，即可确定出交集．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
由充分条件定义直接求解即可．
本题主要考查充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：事件与事件相互独立，
事件与事件也相互独立，
，
，．
故答案为：．
根据独立事件的积事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，即可求解．
本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由得，，解得，
当时，幂函数的图像总在的图像上方，此时，
，
的取值范围为：．
故答案为：．
根据题意，解不等式得出，从而得出当时，幂函数的图像总在的图像上方，然后即可求出的取值范围．
本题考查了函数在的图象上方时，满足，考查了计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设该圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则根据题意可得，
，，，
这个圆锥的体积为．
故答案为：．
设该圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则根据题意可得，解得，，从而可得，再代入圆锥的体积公式，计算即可得解．
本题考查圆锥的体积的求解，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
又函数为上的奇函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，
．
故答案为：．
根据奇函数的概念，建立恒等式，即可求解．
本题考查奇函数的概念，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设该矩形的长为米，宽为米，
由题意可知，，
故，当且仅当，即，时，等号成立，
故至少需要米栅栏．
故答案为：．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，则，
因为，
所以，
故，
所以．
故答案为：．
由求出，然后对进行求导，将的值代入求解即可．
本题考查了函数求值问题，常见函数的求导公式的应用，考查了化简运算能力与逻辑推理能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：在绝对值不等式中，
当，同号时，有，
又，
在恒成立，
或在恒成立，即或在恒成立，即或，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
根据已知条件，推得，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，，且，，且设与的夹角为，
时，
，
，当时取等号，
时，取最大值；
时，
，
，当时取等号，
时，取最大值，
综上得，的最大值为．
故答案为：．
根据题意可得出，先看的情况：可得出，进行数量积的运算即可得出，然后配方即可求出的最大值，同样的方法可得出在时的最大值，最后即可得出的最大值．
本题考查了共线向量基本定理，向量数乘和数量积的运算，配方法的应用，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于难题．
16.【答案】
【解析】解：不妨设双曲线的一条渐近线为：，
则到直线：的距离为，
以为圆心的圆与相切于点，
则，
故，
双曲线的离心率为，
则，即，，
在中，，
在中，，解得，
，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式推得，再结合离心率公式，求得，，并根据余弦定理，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】证明：记“第一次摸出的小球是正品”为事件，
，，
，，
因为，
所以．
，，，
所以的分布为
故E．
【解析】由已知结合古典概率公式及对立事件的概率先求，，然后结合互斥事件的概率加法公式即可求；
结合古典概率公式先求出，，时的概率即可求解分布列，再由期望公式可求．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望值，属于中档题．
18.【答案】解：证明：因为、分别为棱、中点，
所以在中，，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，，为棱中点．
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面；
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角为，
所以，
所以，
因为，平面，
所以，，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，即为直角三角形，
所以在中，由可得，
所以，即，
因为，，
所以是二面角的平面角，
所以二面角的大小为．
【解析】证明平面，平面，即可证明结论；
根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平面角求解即可．
本题考查面面平行的判定以及二面角的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以估计年底该地新能源汽车保有量为万辆；
设，则，
，，
，即，
，
故．
【解析】根据已知条件，先求出，再结合公式，即可求解；
根据已知条件，结合换元法，以及最小二乘法公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：的焦点为，
设椭圆方程为，半焦距为，
则，，
所以，，
故椭圆的标准方程为．
设，，
因为，所以，
由题意可知，直线过点，
则可设直线的方程为，
联立，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，得，
设线段的中点，
则，
所以线段的中点到轴的距离为；
证明：抛物线：，
则准线方程，
设，，，，，
直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的方程为，
所以，，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
所以，
所以
，
故为常数．
【解析】根据已知条件，结合椭圆的性质，以及离心率公式，即可求解；
根据已知条件，结合抛物线的定义，求出，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，再根据韦达定理，即可求解；
先求出抛物线的准线方程，再结合直线的斜率公式，以及韦达定理，即可求证为常数．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
21.【答案】解：，
所以振幅为，周期为，初相为．
，
设，则，
当时，取得极大值，
由题意，方程在区间上有唯一解，
所以，得，
故的取值范围为；
，
当时，
因为，
所以，
进而，，
此时，在区间上是严格增函数，
当时，，不是严格增函数；
当时，设，则，进而，，
此时，在区间上是严格减函数，
综上，若函数在区间上是严格增函数，则，
故的取值范围为．
【解析】根据已知条件，先对函数化简，再结合振幅、周期、初相的定义，即可求解；
根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解；
根据已知条件，先对求导，再对分类讨论，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及三角函数的周期性，属于中档题．
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