2023年山东省淄博市张店区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．2023年春节假期，山东省文化和旅游系统积极出台政策措施，丰富文旅产品供给，大力提振文旅消费，文旅市场强劲复苏，迎来“开门红”．据山东省文旅厅消息，春节期间，全省接待游客万人次，实现旅游收入亿元．数据“万”可以用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量，要使木条a与b平行，则的度数应为（ ）
A．45° B．75° C．105° D．135°
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息，
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环）
方差（环）
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，点是的内心，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，内接于，，，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，在函数的图象上，当且时，都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点D，E，连接，，则当的面积最大时，k的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解：a3－a=______．
12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为B，则点B的坐标为______．
13．化简的结果为______．
14．如图，在中，，，，点P，Q分别在AC，BC上，且，，分别取AB，PQ的中点E，F，连接EF，则线段EF的长为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心1为半径作，为上一动点，过点分别作垂直直线于点，垂直轴于点，若，则的取值范围为______．
三、解答题
16．解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．
17．如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．
(1)求的度数；
(2)求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B．
(1)求反比例函数和直线的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
19．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的时间不少于1小时，某校为了解学生参加户外活动的情况，对某班学生参加户外活动的时间进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)该班共有______人；户外活动时间的众数是______小时，中位数是______．小时；将条形统计图补充完整；
(2)若该校共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生总人数；
(3)某校园广播站的小记者准备到该班对学生参加户外活动的情况进行调查了解，决定对该班5位同学小明（用A表示）、小刚（用B表示）、小敏（用C表示）、小颖（用D表示）、小亮（用E表示）中的两个进行采访，则恰好采访到小明和小敏的概率是多少？（请用列表法或画树状图的方法说明理由）．
20．某商场将进货价火为元的台灯以元售出，月销售个，，月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月的销售量达到个，设，两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求，两个月的销售量月平均增长率；
(2)从月起，在月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个．这种台灯售价定为多少时，商场月销售这种台灯获利元？
21．如图大楼的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行32m到达处，再沿着斜坡走20m到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到0.1m）．
(1)求斜坡的铅直高度和水平宽度．
(2)求旗杆的高度．（参考数据：，，，）
22．如图1，边长为的正方形中，点P为上一个动点，连接，作于点，交边于点M，于．
(1)证明：；
(2)如图2，连接，线段交于点，点为的中点．
①当时，求的长；
②线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．
23．如图1，拋物线交轴于点，，交轴正半轴于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上任意一点，连接，与交于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图3，过点作直线，点M，N分别是线段和直线l上的动点，连接，，，；
①连接，当与相似，且最小时，求点的坐标；
②在①的条件下，直线上是否存在一动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】直接利用平方根的定义得出答案．
【详解】解：2的平方根是：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
2．C
【分析】由上面看到的平面图形是俯视图，根据定义逐一分析即可．
【详解】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三视图中的俯视图，掌握“俯视图的含义”是解本题的关键．
3．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“万”可以用科学记数法表示为．
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法-表示较大数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
【详解】解：如图，
∵∠2=，
∴∠3=∠2=，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=，
∴∠1=-=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
5．B
【分析】根据甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中乙的方差最小，说明乙的成绩最稳定，得到乙最合适的人选．
【详解】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，而乙的方差最小，
∴乙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明乙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是乙．
故选：B．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．A
【分析】根据三角形内心的定义得到分别是的角平分线，再利用三角形的内角和定理即可得到的度数．
【详解】解：∵点是的内心，
∴分别是的角平分线，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，角平分线的定义，三角形的内角定理，掌握三角形内心的定义是解题的关键．
7．C
【分析】设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，根据提前天完成这一任务即原计划时间比实际时间多天列方程即可．
【详解】解：设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，
根据题意，列方程为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题；解题的关键是找对等量关系正确列方程．
8．B
【分析】作的直径，连接，利用圆内接四边形的性质求得，得到，在中，求得半径，再根据弧长公式可得结论．
【详解】解：作的直径，连接，如图，
∵是的直径，
∴．
∵四边形内接于，，
∴，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆弧长公式，圆内接四边形、圆周角定理等知识，求出圆的半径是解答此题的关键．
9．A
【分析】先画出图像，根据图像可知当、时， ，则
要想、则必有，求解即可．
【详解】
当时，
当时，
当在左侧时，画出图象如上图
由题意可知当、时，
要想、则必有
∵
∴
∴
当在右侧时，函数为增函数
满足即可
∵且
∴
即
∴
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及绝对值等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
10．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质得点B的坐标为，则，，即可得，，根据三角形面积的计算公式得 ，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴
∴当时，的面积最大，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点，表示出的面积．
11．a（a－1）（a + 1）
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
12．
【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
13．
【分析】先计算括号内的减法运算，再进行除法运算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．
14．/
【分析】利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，以点C为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，得到各个点的坐标，利用中点坐标公式求得，再利用两点之间的距离公式即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
如图，以点C为原点，建立平面直角坐标系，
∴，
∵AB，PQ的中点为E，F，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，坐标与图形，建立平面直角坐标系是解题的关键．
15．
【分析】延长交轴于点，记于轴相切的切点为，过圆心作直线于点，交轴于点，通过正切值求得，根据直角三角形的性质，将求的取值范围转化为求的取值范围，再分情况讨论：当与相切时，当与相切时，根据矩形的性质，切线的性质，解直角三角形，求解即可．
【详解】解：延长交轴于点，记于轴相切的切点为，过圆心作直线于点，交轴于点，
直线的解析式为，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为上一动点，
①如图，当与相切时，有最小值，
过点作，
四边形是矩形，
，
，，
，
此时；
②如图，当与相切时，有最大值，
过点作，
四边形是矩形，
，
，，
，
此时；
综上所述，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是将求的取值范围转化为求的取值范围．
16．，见解析
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据证明，利用三角形的外角性质即可得解；
（2）证明，利用对应边对应成比例列式即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴．
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键．
18．(1)反比例函数的表达式为，直线的表达式为
(2)15
(3)或
【分析】（1）将代入，可得，进而可得反比例函数解析式，根据平移表示点坐标，代入反比例函数解析式，可求的值，进而可得点C的坐标，然后代入，可得，进而可得一次函数解析式；
（2）联立方程组求点坐标，可得点和点关于原点对称，则．如图，连接，待定系数法求直线的表达式为：，进而可得直线与轴的交点坐标为，根据，求的值，进而可得的面积；
（3）数形结合求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
由平移可知，点C的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴点C的坐标为，
∵点在直线上，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∴反比例函数的表达式为，直线的表达式为；
（2）解：∵经过两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B，
∴联立，解得，，
∴点的坐标为，
∴点和点关于原点对称，
∴，
如图，连接，
设直线的表达式为：，
将，代入得，解得，
∴直线的表达式为：，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，
∴．
（3）解：由图象可得，关于的不等式的解集为或．
【点睛】本题注意考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
19．(1)50；1；1；见解析
(2)960人
(3)
【分析】（1）用活动小时的人数除以其占比，即可求出总数，据此求出活动小时的人数，根据众数、中位数的定义即可作答，结合所得数据补全图形即可；
（2）利用总人数乘以样本中活动不少于1小时的人数的占比即可作答；
（3）采用树状图列举法列举即可作答．
【详解】（1）总人数：（人），
活动小时的人数：（人），
即：活动小时、小时、小时、小时的人数分别为：10人、20人、12人、8人，
∴户外活动时间的众数是1小时，中位数是1小时，
补全图形如下：
故答案为：50，1，1；
（2）（人），
即：该校学生中户外活动的时间不少于1小时的学生约为960人；
（3）画树状图如下（或用列表法）：
共有20种等可能的结果，其中恰好采访到小明和小敏的结果数为2，所以恰好采访到小明和小敏的概率，
即所求概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总体以及利用列表法或树状图法列举求概率的知识，注重数形结合的思想以及掌握利用列表法或树状图法列举求概率，是解答本题的关键．
20．(1)
(2)元
【分析】（1）设，两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1＋月均增长率）2，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）解法一：设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法二：设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：设，两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：，两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解法一：
设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，（不符合题意，舍去），
当时，．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．
解法二：
设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．
21．(1)斜坡的铅直高度约为12m和水平宽度约为16m
(2)旗杆的高度约为2.7m
【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：，则然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答.
【详解】（1）在中，，，
∴，
∴斜坡的铅直高度约为12m和水平宽度约为16m；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴旗杆的高度约为2.7m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①；②存在最小值和最大值，最小值为，最大值为2
【分析】（1）过点作，交AP于点，交于点G，先判断出，再根据从而得到，
（2）①连接，先证明，再证明点A，P，C，在以点为圆心为半径的圆上，得，从而，由勾股定理求出即可求解；
②当点P和B重合时，最小，当点P和点C重合时，最大．
【详解】（1）证明：过点作，交AP于点，交于点G，
∵，
∴．
由正方形得，，即，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）①连接，
∵，又点为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵正方形关于对称，
∴，
∴，
∴点A，P，C，在以点为圆心为半径的圆上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②存在最小值和最大值，最小值为，最大值为2，理由：
由①知，
∵是正方形的对角线，
∴，
当点P和点B重合时，，此时最小，
∴最小，
当点P和C重合时，，此时最大，
∴最大，
【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，以及勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆周角定理．
23．(1)
(2)当点坐标为时，面积取得最大值为
(3)①点的坐标为：或或或；②存在，点的坐标为：或或或
【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入解析式，即得答案；
（2）过点P作，交x轴于点F，可求得，，，根据，，可得直线表达式为，直线表达式为，再联立直线和抛物线表达式， 可求得，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，设，再根据二次函数的性质，即可求解；
（3）①两种情况由相似三角形性质和两点间距离公式求出N坐标；②分过M作直线l于点F，过G作轴于点D，过N作轴于E，再分四种情况，利用三角函数求出和解可．
【详解】（1）解：（1）将，，，分别代入中，
得，
解得，
所以，抛物线表达式为：．
（2）解：如图：过点P作，交x轴于点F，
又，
，，，
，
设直线表达式为，
把，代入解析式，得
解得，
直线表达式为，
又，
设直线表达式为，
将代入中，得，
直线表达式为，
联立直线和抛物线表达式， 得 ，
解，得，
．
过点作轴，交于点，
过点作轴，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，
得，，
，
所以，当点的坐标为时，面积取得最大值为．
（3）解：①，，，
，，，，
，与相似，
，点对应点，边对应边，
最小，且与相似，形状不变，
∴边最小时，最小，即轴，与重合，，
分两种情况：
第一种情况：时，，
，
，，
设，而，，
∴由勾股定理，得，
解，得或．
∴或．
第二种情况：时，，
，
，．
设，方法同第一种可得或，
综上所述，点的坐标为：或或或；
②存在；
如图：分过M作直线l于点F，过G作轴于点D，过N作轴于E，
当点的坐标为时，，，
，
在中，，
在中，，即，
，
，，
又，
，，
，直线l于点F，
，
，
在中，，，，
，，
，
此时，直线上存在一动点，使得，点的坐标为；
同理可得其它三点的坐标为或或，
综上，点的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形及三角函数等综合知识，题目难度大，解题的关键是画出图形，确定点N的坐标，熟练运用三角函数求线段长，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
