石阡县中2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题5分，共计40分）
1．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．
A． B． C．4 D．12
2．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是 B．的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．
3．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
6．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是圆锥的一条母线，是底面圆的一条直径，为正三角形，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
二、多选题（每题5分，共计20分）
9．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，为坐标原点，如图四边形为平行四边形，下列结论正确的是（ ）
A． B．在上的投影的数量为
C． D．的重心坐标为
三、填空题（每题5分，共计40分）
13．若tanα，向量(1，﹣1)，(cos2α，sin2α)，则 ___________.
14．若复数的实部与虚部互为相反数，则__________
15．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为_________.
16．在三棱锥中，已知平面，且是边长为的正三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为___________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共计70分）
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.
18．已知平面向量．(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
19．如图，是平行四边形，，为的中点，且有，现以为折痕，将折起，使得点到达点的位置，且.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若四棱锥的体积为，求四棱锥的全面积.
20．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里.(1)求A处距离航标灯D的距离AD；(2)求的值；
21．如图，点A在平面外，△BCD在平面内，E、F、G、H分别是线段BC、AB、AD、DC的中点．(1)求证：E、F、G、H四点在同一平面上；(2)若AC＝6，BD＝8，异面直线AC与BD所成的角为60°，求EG的长．
22．已知函数.（1）求的最小正周期及在区间上的最大值（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，
所以，所以．
2．A【详解】
z的实部是故A正确；，故D错误
，的虚部是故B错误，在复平面上对应的点为所以为第一象限点，故C错误.
3．A【详解】由，
因为，所以，因为不是零向量，
所以，
4．B【详解】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
5．D【详解】记圆锥的底面半径为r，则，解得，
∴圆锥的高，∴该圆锥的体积为．
6．C【详解】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，所以该三棱锥的外接球表面积为.
7．A【详解】如图，延长交圆于，连接，取的中点，连接，则，
则为与所成的角，
不妨设圆的半径为，则，，
因为为、的中点，则四边形为平行四边形，
，，则，
在中，，
由余弦定理可得，
所以，．
8．C【详解】由正弦定理得,△外接圆直径为，得r=3.
设球心到平面的距离为，则.
∴三棱锥的外接球半径为.
9．BD【详解】A选项，若，则可能异面，A选项错误.
B选项，若，则，B选项正确.
C选项，若，则可能相交，C选项正确.
D选项，若，则，D选项正确.
10．BCD【详解】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，
正四棱台的高，A错误；
对于B，正四棱台的斜高，B正确；
对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，
正四棱台的表面积，C正确；
对于D，正四棱台的体积，D正确.
11．ACD【详解】对于A选项：
，则，故A选项正确；
对于B选项：，
由正弦定理可得，
则，即，故，则，故B错误；
对于C选项：
由正弦定理可得，，即， 解得 ，，故C正确；对于D选项：
、、三个必有一个为负值又，，，故D正确.
12．ABC【详解】设点的坐标为，，，
∵四边形为平行四边形，，
，即，，点坐标为，所以，
，选项A正确；
设与的夹角为，根据投影定义可知，在上的投影为，选项B正确；在中， ，，，设与的夹角为，
所以， ，
，选项C正确；
根据三角形重心公式可得，的重心坐标为，即，D错误.
13．
【详解】因为tanα，向量(1，﹣1)，(cos2α，sin2α)，
所以
故答案为：.
14．【详解】试题分析：,由题意复数的实部与虚部互为相反数，即
15．/【详解】因为是上的一点，所以设，
所以
，由已知可得，所以，所以.
故答案为：
16．【详解】取,,的中点,,，连结,,，交于点，
则，设三棱锥的外接球的半径
由外接球表面积为可得设三棱锥的外接球的球心为，
连结，则平面，过作，交于，，
，故
所以,故三棱锥的体积为
17．(1)(2)【详解】（1）由已知，
即，由正弦边角关系得，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，得，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，故的面积的最大值为.
18．(1)或(2)
【详解】（1）由，所以，
设，因为，所以，因为，所以，解得，或，所以的坐标为或.
（2）由，所以，
因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，
，解得且，即实数的取值范围为.
19．（1）详见解析；（2）.
【详解】（1）在中，，，，
∴∠PEC=90°，即PE⊥EC，又PE⊥AE，∴PE⊥面ABCE．
（2）由（1）得PE⊥面ABCE，VP-ABCE=，
∴AE=1，∴PE⊥AB，又AB⊥AE，∴AB⊥面PAE，∴AB⊥PA，∴PA=，
由题意得BC=PC=，PB=，△PBC中，由余弦定理得，∴∠PCB=120°，∴，
，，
∴四棱锥P-ABCE的侧面积．
20．(1)（海里）(2)
【详解】（1）∵，，，
∴在△中由余弦定理得，
∴（海里）.
（2）∵，由正弦定理得，
∴.
21．(1)证明∵E、F分别为BC、AB的中点，．
又G、H分别为AD、DC的中点，．
由平行公理可得，∴E、F、G、H四点在同一平面上．
（2）由（1）知，，又F、G分别为AB、AD的中点，可得，
则∠EFG为异面直线AC与BD所成的角或其补角．
∵AC＝6，BD＝8，∴EF＝3，FG＝4．
当∠EFG＝60°时，；
当∠EFG＝120°时，．
22．（1）最小正周期为，最大值；（2）.
【详解】（1），
所以的最小正周期为.因为，所以
于是，当，即时，取得最大值
（2）在中，
，，，.由正弦定理，，
，
，
，
.
答案第1页，共2页
