博爱县2022-2023学年高二下学期4月月考
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知复数（是虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A.0.23
B.0.47
C.0.53
D.0.77
4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．己知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．6 B． C． D．
6.某校科技社利用3D打印技术制作实心模型。如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半，打印所用原料密度为1.5g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7）（ ）
A.3045.6g
B.1565.1g
C.972.9g
D.296.1g
7.已知函数f（x）＝sinx，将其图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象.△ABC的顶点都是f（x）与g（x）图象的公共点，则△ABC面积的最小值为（ ）
π π
8．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ）
A． B． C． D．
10．设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少的概率命中它（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线G如图2所示，曲线G交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点C，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12.已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量，且，则______.
14．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 ．
15．己知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为，则的范围为__________．
16．己知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为__________．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
设数列的前n项和为．已知，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．
18．（12分）
已知公比大于1的等比数列满足，，数列的通项公式为
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Tn．
19．（12分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若时，函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求实数b的取值范围.
20．（12分）
己知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
21．（12分）
己知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行．设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度．
22．（12分）
已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.参 考 答 案
一、选择题：（每小题5分，共12小题，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D C B C B A D D D A
二、填空题：（每小题5分，共4小题，共20分）
13． 14．8 15. 16. 3
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
解析：（1）①，
当时，②，
①－②得：,
即，
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，．
当时，；当时，；
又满足上式，所以．
所以，记数列的前n项和为．
方法一：（两次错位相减）
，①
，②
①－②得，③
则，④
③－④得
，
所以．
方法二：（裂项）
因为，
所以
．
18. （12分）
解析：（1）设等比数列的公比为 ,由，，
可得，即得，解得或（舍去），
故
（2）若，则，故，即，
即
所以
19. （12分）
解析：（1）因为+b,所以 …2分
①若,当时,；当或时,．
即在上单调递减,在和上单调递增；
②若,恒有．即在定义域上单调递增；
③若,当时,；当或时,．
即在上单调递减,在和上单调递增；
（2）当时，，
令
则原题意等价于图象与轴有三个交点．
因为
由,解得或；
由,解得．
∴在时取得极大值;在时取得极小值…10分
依题意得,解得．故实数的取值范围为．
20．（12分）
解析：（1）连接AC交BD于点，连接，在直四棱柱中，，所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；6分
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，又因为上底面为菱形，所以，因为平面，所以平面，因为在中，，且点为BD的中点，所以，即，
所以．6分
21．解析：
（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为．
将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为．5分
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，
联立，可得，
，，，
所以．7分
22．（12分）
解析：（1）由且，可得.
设，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
函数的图象如下：
又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；
要使图象与直线有两个交点，则，故a的取值范围是.
（2）因为，由（1）得，则，
设，则，即，
由有最小值，即有最小值.
设 ，
记，
由于，若，则，可得单调递增，
此时，即单调递增，
此时在没有最小值，不符合题意.
若，时，，则在单调递减，
时，，则在单调递增.
又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.
此时时，，即，此时在上单调递减；
时，，即， 在上单调递增.
所以时，有最小值，
而，即，整理得
此时，由题意知.
设
设.
设，故递增，.
此时递增，有，
令且，则，即在上递增，故，
此时，故在递增，而知，的唯一解是.
故的唯一解是，即.
综上所述，.
