上海市虹口区2023届高三下学期数学期中试卷
一、填空题
1．（2023·虹口模拟）已知集合，，则 .
2．（2023·虹口模拟）函数的定义域为 .
3．（2023·虹口模拟）复数，在复平面上对应的点分别为，，则 .
4．（2023·虹口模拟）抛物线上的点到其焦点的距离为 .
5．（2023·虹口模拟）已知是第二象限的角，且，则 .
6．（2023·虹口模拟）某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 .
7．（2023·虹口模拟）在中，已知，，，则 .
8．（2023·虹口模拟）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为 .
9．（2023·虹口模拟）端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为 .
10．（2023·虹口模拟）已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为 .
11．（2023·虹口模拟）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
12．（2023·虹口模拟）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为 .
二、单选题
13．（2023·虹口模拟）已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．2
14．（2021·新乡模拟）某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 ，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·虹口模拟）对于函数，给出下列结论：
（1）函数的图像关于点对称；
（2）函数在区间上的值域为；
（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；
（4）曲线在处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（2）（4） D．（1）（3）
16．（2023·虹口模拟）在数列中，若有（，均为正整数，且），就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前项和记为，若，，，则（ ）
A．4720 B．4719 C．4718 D．4716
三、解答题
17．（2023·虹口模拟）记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求正整数的值.
18．（2023·虹口模拟）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（2023·虹口模拟）电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝 是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝 质量有关？请说明理由；
电解电容为次品 电解电容为正品
铝箔为次品 174 76
铝箔为正品 108 142
（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.
20．（2023·虹口模拟）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点.
21．（2023·虹口模拟）设，，.
（1）求函数，的单调区间和极值；
（2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；
（3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：成等比数列.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】根据交集的定义可得答案.
2．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数的定义域满足，解得，即
故答案为：
【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求解可得函数的定义域.
3．【答案】
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义以及四则运算，可得答案.
4．【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线的准线为，则，故，
到焦点的距离等于到准线的距离，为.
故答案为：5
【分析】确定抛物线的准线方程为，到焦点的距离等于到准线的距离，可得答案.
5．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，是第二象限的角，则，
则，
.
故答案为：
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求得的值，再利用两角和的正切公式可求出答案.
6．【答案】32.5
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】由茎叶图知数据小到大排列为：，
因为，
所以第25百分位数是，
故答案为：
【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算可得答案.
7．【答案】4
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在中，，，，
由余弦定理得，即，解得或（舍），
所以.
故答案为：4.
【分析】直接利用余弦定理可求出BC的长.
8．【答案】
【知识点】函数的值域；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为为上的奇函数，
所以，所以，
又当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，，
因为为上的奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的性质求得f(0)=0，再结合基本不等式求x>0时y=f (x)的取值范围，再结合奇函数的性质求x<0时函数值的范围，由此可得函数值域.
9．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设取到白米粽的个数为随机变量，则，
所以，，
，，
所以
故答案为：
【分析】设取到白米粽的个数为随机变量，求出对应的概率，利用期望公式可求解出答案.
10．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，此时，
故，则球的表面积为.
故答案为：.
【分析】 设球的半径R，由题意当平面时，三棱锥的体积最大，由∠AOB= 60°，可得△AOB为等边三角形，进而求出它的面积，代入三棱锥的体积公式，可得R的值，进而求出球的表面积.
11．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
【分析】 由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，，结合已知求得，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b即可得双曲线方程.
12．【答案】
【知识点】向量的几何表示；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图作，，
如图，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系，
因为，，，
所以点的坐标为，点的坐标为
作，设点的坐标为，
因为，
所以，所以，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上，
因为对任意的实数，均有，
所以，又，
所以恒成立，
所以，
所以，即，
作，设点的坐标为，
则，即，
所以点在直线上，
因为，
又点在圆上一动点，
点在直线上一动点，
所以点到点的最小距离为点到点的距离减去圆的半径，
即，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
因为点到直线的距离，
所以点到点的距离大于等于，即，
所以，
当且仅当垂直于直线且点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
【分析】作，，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点的坐标为，，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出恒成立，作，设点的坐标为，得出点C在直线上，由此求出 的最小值 .
13．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
14．【答案】D
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】4次均不是绿灯的概率为 ，
3次不是绿灯的概率为 ，
∴至少遇到2次绿灯的概率为 .
故答案为：D.
【分析】 由n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．
15．【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【解答】因为，
所以，
当时，，
所以不是函数的对称中心，（1）错误；
由可得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
所以函数在区间上的值域为，（2）正确；
函数的图像向左平移个单位长度得到函数
的图象，（3）错误；
由可得，
所以，
曲线在处的切线的斜率为1，（4）正确；
所以正确的命题有（2）（4），
故答案为：C.
【分析】由三角恒等变化得，当时，，即可判断（1）；由三角函数的性质，求出函数的值域即可判断（2）；由函数的平移及诱导公式即可判断（3）；验证，即可判断（4）.
16．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列递推式
【解析】【解答】，则，则，故，
，，故，
，故，，
则，，，故数列为周期为3的周期数列，
.
故答案为：B
【分析】由题意可得，然后结合题意可得数列为周期为的周期数列，然后求解可得答案.
17．【答案】（1）解：由，，得，
且当时，，即.
故数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，，
故数列的通项公式为，
（2）解：当时，，又.
当时，，不满足条件；
当时，
由，
解得.
【知识点】对数的运算性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）由已知可得 ， 由，，得， 可得数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列， 即可求出数列的通项公式；
（2）当时，，又 ，然后讨论当m=1时和 时两种情况，结合等差数列的通项公式求解，可得正整数的值.
18．【答案】（1）证明：由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.
又因，分别为，的中点，所以，故.
因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.
于是与平面内的两条相交直线，都垂直，从而平面；
而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面平面.
（2）解：在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则，，，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，得.
又是平面的一个法向量，
故.
平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知证明OM⊥BC，PO⊥BC，可得BC⊥平面POM，即可得到平面PBC⊥平面POM；
(2) 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值.
19．【答案】（1）解：提出原假设：电解电容质量与铝 质量无关.
由题意及列联表，可得
.
由于，而，
因此，根据检测组的数据，原假设不成立，并且有的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关.
（2）解：设第一次取出的元件是优等品的事件为，第二次取出的元件是合格品的事件为.取出的元件是第一箱、第二箱的事件分别为，.
则由全概率公式，得
，
于是，由条件概率公式，得.
因此，在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率约为0.846.
【知识点】独立性检验的基本思想；条件概率与独立事件
【解析】【分析】 (1)先填写2x2联列表，再求出K2，即可判断；
(2)利用条件概率公式，求解即可得第二次取出的是合格品的概率.
20．【答案】（1）解：因为动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，
所以
所以，
化简，得曲线的方程：.
（2）解：过点的斜率为的直线方程为，
直线与椭圆的交点坐标为或，
因为，故，，
所以，，
所以，矛盾，
所以可设直线的方程为，
联立，
消，得，
方程的判别式，
设，，
于是，①
由，即，得②
②代入①，解得，即.
所以，直线的方程为或；
（3）证明：因点，故，，
从而直线的方程为，
直线的方程为，
由，得.
由，得.
因为
将①代入上式，得
所以.
故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据距离公式代入化简可得曲线的方程；
(2)设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解出直线的方程；
(3)先求出 ， ，再证明 即可.
21．【答案】（1）解：由题设，有，可得
令可得，所以，
所以函数在区间上单调递增；
令可得，解得，.
函数在区间上单调递增；
令可得，所以，
所以，函数在上的递增区间为：与；
递减区间为：与.
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为；
（2）解：关于不等式在区间恒成立，
即：在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又，
从而在上的最大值为1，
即在上恒成立.
于是在上恒成立，
所以在上单调递增；
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增；
从而在上恒成立.
所以，当时在上恒成立.
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，得：.
（3）解：对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示.
下面先证明：曲线与有唯一交点.
由，得，即证明方程有唯一实数根.
令，则.
所以在上恒为负数.
因为当时，，，
所以曲线与在区间上没有交点.
而在区间上，函数单调递减，函数单调递增，
所以函数在上单调递减，
进而函数在上单调递减，
由，及零点存在定理得：
函数在上存在唯一零点，
从而方程在上有唯一实数根，且.
由于直线与曲线，共有3个不同交点，
故直线必过点，
且，，
由，得，即，
而函数在上严格增，，，
故①
由，得，
即，
而函数在上严格减，，，
故②
由①，②得. ③
由，得，
故有④
因此，由③，④得，即成等比数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，求导分析单调性，极f(x)值，即可得出的单调区间和极值；
(2) 关于不等式，即在区间上恒成立， 令，只需F(x)min≥0，即可得出实数的值；
(3 ) 对于函数，令，求导分析单调性，进而可得最大值为 ，对于函数 ， 令，求导分析单调性可得最大值为 ， 函数与有相同的最大值，证明曲线y=F(x)与y=G1(x)有唯一交点，再证明直线 与曲线，共有3个不同交点， 可得 ， ，进而可证得 成等比数列.
上海市虹口区2023届高三下学期数学期中试卷
一、填空题
1．（2023·虹口模拟）已知集合，，则 .
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】根据交集的定义可得答案.
2．（2023·虹口模拟）函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数的定义域满足，解得，即
故答案为：
【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求解可得函数的定义域.
3．（2023·虹口模拟）复数，在复平面上对应的点分别为，，则 .
【答案】
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义以及四则运算，可得答案.
4．（2023·虹口模拟）抛物线上的点到其焦点的距离为 .
【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线的准线为，则，故，
到焦点的距离等于到准线的距离，为.
故答案为：5
【分析】确定抛物线的准线方程为，到焦点的距离等于到准线的距离，可得答案.
5．（2023·虹口模拟）已知是第二象限的角，且，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，是第二象限的角，则，
则，
.
故答案为：
【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求得的值，再利用两角和的正切公式可求出答案.
6．（2023·虹口模拟）某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是 .
【答案】32.5
【知识点】茎叶图
【解析】【解答】由茎叶图知数据小到大排列为：，
因为，
所以第25百分位数是，
故答案为：
【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算可得答案.
7．（2023·虹口模拟）在中，已知，，，则 .
【答案】4
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在中，，，，
由余弦定理得，即，解得或（舍），
所以.
故答案为：4.
【分析】直接利用余弦定理可求出BC的长.
8．（2023·虹口模拟）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为 .
【答案】
【知识点】函数的值域；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为为上的奇函数，
所以，所以，
又当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，
即当时，，
因为为上的奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的性质求得f(0)=0，再结合基本不等式求x>0时y=f (x)的取值范围，再结合奇函数的性质求x<0时函数值的范围，由此可得函数值域.
9．（2023·虹口模拟）端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设取到白米粽的个数为随机变量，则，
所以，，
，，
所以
故答案为：
【分析】设取到白米粽的个数为随机变量，求出对应的概率，利用期望公式可求解出答案.
10．（2023·虹口模拟）已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，
设球的半径为，此时，
故，则球的表面积为.
故答案为：.
【分析】 设球的半径R，由题意当平面时，三棱锥的体积最大，由∠AOB= 60°，可得△AOB为等边三角形，进而求出它的面积，代入三棱锥的体积公式，可得R的值，进而求出球的表面积.
11．（2023·虹口模拟）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，，
，则，四边形为矩形，.
故，，则，
，故，.
双曲线的方程为.
故答案为：
【分析】 由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，，结合已知求得，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b即可得双曲线方程.
12．（2023·虹口模拟）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】向量的几何表示；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如图作，，
如图，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系，
因为，，，
所以点的坐标为，点的坐标为
作，设点的坐标为，
因为，
所以，所以，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上，
因为对任意的实数，均有，
所以，又，
所以恒成立，
所以，
所以，即，
作，设点的坐标为，
则，即，
所以点在直线上，
因为，
又点在圆上一动点，
点在直线上一动点，
所以点到点的最小距离为点到点的距离减去圆的半径，
即，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
因为点到直线的距离，
所以点到点的距离大于等于，即，
所以，
当且仅当垂直于直线且点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
【分析】作，，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点的坐标为，，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出恒成立，作，设点的坐标为，得出点C在直线上，由此求出 的最小值 .
二、单选题
13．（2023·虹口模拟）已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
14．（2021·新乡模拟）某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 ，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】4次均不是绿灯的概率为 ，
3次不是绿灯的概率为 ，
∴至少遇到2次绿灯的概率为 .
故答案为：D.
【分析】 由n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．
15．（2023·虹口模拟）对于函数，给出下列结论：
（1）函数的图像关于点对称；
（2）函数在区间上的值域为；
（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；
（4）曲线在处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（2）（4） D．（1）（3）
【答案】C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【解答】因为，
所以，
当时，，
所以不是函数的对称中心，（1）错误；
由可得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
所以函数在区间上的值域为，（2）正确；
函数的图像向左平移个单位长度得到函数
的图象，（3）错误；
由可得，
所以，
曲线在处的切线的斜率为1，（4）正确；
所以正确的命题有（2）（4），
故答案为：C.
【分析】由三角恒等变化得，当时，，即可判断（1）；由三角函数的性质，求出函数的值域即可判断（2）；由函数的平移及诱导公式即可判断（3）；验证，即可判断（4）.
16．（2023·虹口模拟）在数列中，若有（，均为正整数，且），就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前项和记为，若，，，则（ ）
A．4720 B．4719 C．4718 D．4716
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列递推式
【解析】【解答】，则，则，故，
，，故，
，故，，
则，，，故数列为周期为3的周期数列，
.
故答案为：B
【分析】由题意可得，然后结合题意可得数列为周期为的周期数列，然后求解可得答案.
三、解答题
17．（2023·虹口模拟）记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求正整数的值.
【答案】（1）解：由，，得，
且当时，，即.
故数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，，
故数列的通项公式为，
（2）解：当时，，又.
当时，，不满足条件；
当时，
由，
解得.
【知识点】对数的运算性质；数列递推式
【解析】【分析】（1）由已知可得 ， 由，，得， 可得数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列， 即可求出数列的通项公式；
（2）当时，，又 ，然后讨论当m=1时和 时两种情况，结合等差数列的通项公式求解，可得正整数的值.
18．（2023·虹口模拟）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.
又因，分别为，的中点，所以，故.
因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.
于是与平面内的两条相交直线，都垂直，从而平面；
而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面平面.
（2）解：在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则，，，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，得.
又是平面的一个法向量，
故.
平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)由已知证明OM⊥BC，PO⊥BC，可得BC⊥平面POM，即可得到平面PBC⊥平面POM；
(2) 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值.
19．（2023·虹口模拟）电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝 是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝 质量有关？请说明理由；
电解电容为次品 电解电容为正品
铝箔为次品 174 76
铝箔为正品 108 142
（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.
【答案】（1）解：提出原假设：电解电容质量与铝 质量无关.
由题意及列联表，可得
.
由于，而，
因此，根据检测组的数据，原假设不成立，并且有的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关.
（2）解：设第一次取出的元件是优等品的事件为，第二次取出的元件是合格品的事件为.取出的元件是第一箱、第二箱的事件分别为，.
则由全概率公式，得
，
于是，由条件概率公式，得.
因此，在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率约为0.846.
【知识点】独立性检验的基本思想；条件概率与独立事件
【解析】【分析】 (1)先填写2x2联列表，再求出K2，即可判断；
(2)利用条件概率公式，求解即可得第二次取出的是合格品的概率.
20．（2023·虹口模拟）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点.
【答案】（1）解：因为动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，
所以
所以，
化简，得曲线的方程：.
（2）解：过点的斜率为的直线方程为，
直线与椭圆的交点坐标为或，
因为，故，，
所以，，
所以，矛盾，
所以可设直线的方程为，
联立，
消，得，
方程的判别式，
设，，
于是，①
由，即，得②
②代入①，解得，即.
所以，直线的方程为或；
（3）证明：因点，故，，
从而直线的方程为，
直线的方程为，
由，得.
由，得.
因为
将①代入上式，得
所以.
故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据距离公式代入化简可得曲线的方程；
(2)设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解出直线的方程；
(3)先求出 ， ，再证明 即可.
21．（2023·虹口模拟）设，，.
（1）求函数，的单调区间和极值；
（2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；
（3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：成等比数列.
【答案】（1）解：由题设，有，可得
令可得，所以，
所以函数在区间上单调递增；
令可得，解得，.
函数在区间上单调递增；
令可得，所以，
所以，函数在上的递增区间为：与；
递减区间为：与.
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为，
当时，函数取极大值，极大值为；
（2）解：关于不等式在区间恒成立，
即：在区间上恒成立.
令，
则，
令
则，
由（1）知：在上的极大值为，
又，
从而在上的最大值为1，
即在上恒成立.
于是在上恒成立，
所以在上单调递增；
从而，
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增；
从而在上恒成立.
所以，当时在上恒成立.
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以当时，，与已知矛盾，
综合上述，得：.
（3）解：对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
对于函数，令，则.
从而当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
故当时，取最大值，最大值为.
因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示.
下面先证明：曲线与有唯一交点.
由，得，即证明方程有唯一实数根.
令，则.
所以在上恒为负数.
因为当时，，，
所以曲线与在区间上没有交点.
而在区间上，函数单调递减，函数单调递增，
所以函数在上单调递减，
进而函数在上单调递减，
由，及零点存在定理得：
函数在上存在唯一零点，
从而方程在上有唯一实数根，且.
由于直线与曲线，共有3个不同交点，
故直线必过点，
且，，
由，得，即，
而函数在上严格增，，，
故①
由，得，
即，
而函数在上严格减，，，
故②
由①，②得. ③
由，得，
故有④
因此，由③，④得，即成等比数列.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，求导分析单调性，极f(x)值，即可得出的单调区间和极值；
(2) 关于不等式，即在区间上恒成立， 令，只需F(x)min≥0，即可得出实数的值；
(3 ) 对于函数，令，求导分析单调性，进而可得最大值为 ，对于函数 ， 令，求导分析单调性可得最大值为 ， 函数与有相同的最大值，证明曲线y=F(x)与y=G1(x)有唯一交点，再证明直线 与曲线，共有3个不同交点， 可得 ， ，进而可证得 成等比数列.
