天津市部分区2023年高三质量调查试卷（二）
数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A C A C A B D B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，
答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10． 11． 12．
13．0.84；4.2 14． 15．；
三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理及得
所以，， ………………………………2分
由余弦定理得， …………………4分
所以，． …………………5分
（Ⅱ）因为，，
所以，， ……………………6分
由正弦定理得，． ………………7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，所以，，
所以，， ………………8分
所以，， ………………………9分
所以，，， ……………………12分
所以， ……………13分
． ……………………………14分
（17）（本小题满分15分）
解：依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，可得、、、、、. ………………………1分
（Ⅰ）依题意，，， ………………………2分
从而， ………………………3分
所以；即：． …………………………4分
（Ⅱ）依题意， ，， …………………………5分
设为平面的法向量，
则，
不妨设，可得． ……………………7分
因为，
设直线与平面所成角为，则
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为． …………………9分
（Ⅲ）假设线段上存在一点，使得直线与所成角的余弦值为．则．
依题意，则，
，解得． ………………12分
所以存在点満足条件，
所以可得， …………………………13分
由（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为
． …………………………15分
（18）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意得，，解得， ………………2分
又因为，所以， ……………………3分
所以椭圆的方程为 ． …………………4分
（Ⅱ）设直线的方程为，
由得，， ………6分
所以， …………………7分
所以，，，
所以，， ………………8分
由得，， ………………………………9分
所以，直线的方程为，
令得，，所以，， ………………10分
所以，，即，，……12分
解得，或， …………………14分
因为，，所以，或，
所以，直线的方程为或．…15分
（19）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由可知，数列是以2为公比的等比数列， …1分
由得，，
所以的通项公式为. …………………2分
设等差数列的公差为，
由得，， …………………………3分
数列的通项公式为． …………………………4分
（Ⅱ）
，
设，则
，……………5分
①，
②……………6分
①-②得
， ……………………8分
所以，， ………………………9分
所以，．…………………10分
（Ⅲ）， …………………11分
因为，，
所以，， ………12分
所以，
， ……………………14分
当时，不等式显然也成立，
所以，. ………………………………15分
（20）（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）当，时，
所以，， ………………………1分
令，解得，， …………………2分
令，解得，， ……………………3分
所以，的单调增区间为，单调减区间为. ………4分
（Ⅱ）当，时，，
， …………………………5分
当时，
所以，不满足恒成立． …………………………6分
②当时，显然，……………………7分
取，则， …………………8分
<，
所以，当恒成立时，存在，使得． ……10分
（Ⅲ）设，则由得
，
设，则在上恒成立，
所以，在上单调递增， ……………11分
所以，，即，，………12分
所以，，即，
★
设则 …………………………13分
所以，当时，，即， ………14分
所以，，
所以，，
由★得， ………15分
化简得，，所以，.……16分
试卷第1页，总3页天津市部分区2023年高三质量调查试卷（二）
数学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.
第I卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.敦敦和融融在步行街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃.如图，该红薯可近似看作三个部分：左边部分是半径为的半球；中间部分是底面半径是为、高为的圆柱；右边部分是底面半径为、高为的圆锥，若敦敦准备从中间部分的处将红薯切成两块，则两块红薯体积差的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知双曲线的离心率为2，抛物线的焦点为，过过直线交抛物线于两点，若与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A. 16 B. C. 8 D.
9. 设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 4051 B. 4049 C. 2025 D. 2023
第II卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 是虚数单位，复数_______________.
11. 在的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）
12. 经过点的圆的方程为___________.
13. 某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为________；甲5个轮次通过的次数的期望是_____________.
14. 已知实数满足，则的最小值为________.
15. 在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则________；若，则函数的最小值为_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，角所对的边分别为.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分15分）
已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程.
19.（本小题满分15分）
已知为等差数列，数列满足，且3，.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）设的前项和为，证明：.
20.（本小题满分16分）
已知，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，设的导函数为，若恒成立，
求证：存在，使得；
（3）设，若存在，使得，
证明：.
