专题08 圆的周长的解题技巧
在解答圆的周长的问题时，首先要能熟练地运用公式进行计算。其次在遇到有关圆的组合图形的周长计算时，要能巧妙地运用"转化""拼补" "分割" "设数" "逆推" "代换" 等技巧将不规则图形转化为规则图形进行解答。
把4个直径是4厘米的圆柱形饮料瓶捆扎在一起，截面如图，如果接头部分用去10厘米，捆扎一圈需要绳子 厘米。
【分析】根据图意，可以把绳子的长度转为为一个圆的周长加4条直径的长度和加接头处的长度，通过观察可知4个拐弯处的曲线合起来就是一个整圆的周长，另外四条直的绳子就是圆的4条直径，利用周长公式C＝πd计算即可。 【解答】解：3.14×4+4×4+10 ＝12.56+16+10 ＝38.56（厘米） 答：捆扎一圈需要绳子38.56厘米。 故答案为：38.56。 【点评】解答此题的关键是求绳子的长度就是圆的周长与几个直径的长度和。
技巧1 转化
1．如下图，等边三角形的边长是4厘米，则阴影部分的面积是 6.28 平方厘米，空白部分的周长是 6.28 厘米。
【分析】等边三角形的每个内角都是60°。阴影部分的面积是半径为2厘米的半圆的面积。
【解答】解：3.14×（4÷2）2÷2
＝12.56÷2
＝6.28（平方厘米）
3.14×4÷2
＝12.56÷2
＝6.28（厘米）
答：阴影部分的面积是6.28平方厘米，空白部分的周长是6.28厘米。
故答案为：6.28，6.28。
【点评】本题是一道有关圆的面积、圆的周长的题目。
技巧2 拼接
2．我们在探索平行四边形的面积公式时，利用割补等方法将平行四边形转化成长方形，推导出平行四边形的面积公式．请用转化的方法求阴影部分的周长．（单位：米）
【分析】观察图，利用转化的方法得出：阴影部分的周长等于直径是10厘米和直径是5厘米的两个圆的周长，由此利用圆的周长公式C＝πd，解答即可．
【解答】解：3.14×10+3.14×5
＝3.14×（10+5）
＝3.14×15
＝47.1（米）
答：阴影部分的周长是47.1米．
【点评】本题主要是利用转化的思想，将阴影部分的周长转化为直径是10厘米和直径是5厘米的两个圆的周长．
技巧3 分割
3．计算图1阴影部分的周长．（π≈3）
【分析】（1）这个组合图形是由一个扇形和一个半圆叠加而成的，阴影部分周长＝圆周长的一半+以9厘米为半径，圆心角为45°的弧的长度+9厘米线段长度，利用弧长公式：弧长＝2πr×圆心角度数÷360，把数代入即可就出阴影部分周长：3×9÷2+3×2×9×45÷360+9＝29.25（厘米）．
【解答】解：3×9÷2+3×2×9×45÷360+9
＝13.5+6.75+9
＝29.25（厘米）
答：阴影部分的周长为29.25厘米．
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键根据图示分析出组合图形的组成，然后利用已经学过的规则图形的面积，就组合图形的面积．
技巧4 设数
4．如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行，如果两只蚂蚁爬行的速度相同，（ ）回到A点。
A．甲先 B．乙先
C．同时 D．无法确定谁先
【分析】由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是d，左边的小圆的直径是d1，右边的小圆的直径是d2，观察图形可知d1+d2＝d，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度＝时间，据此解答即可。
【解答】解：因为甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，速度也相同，所以它们用的时间也相同。
故选：C。
【点评】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键。
技巧5 逆推
5．用一根25.7厘米的铁丝围成一个半圆形，这个半圆形的半径是多少厘米？
【分析】围成的半圆形如图所示，则圆周长的一半加上2条半径，长度就为25.7厘米，所以可以设半径为r，则有πr+2r＝25.7，解此方程即可．
【解答】解：设半径为r厘米，
则πr+2r＝25.7
（3.14+2）r＝25.7
5.14r＝25.7
r＝5
答：这个半圆的半径是5厘米．
【点评】解答此题的关键是明白：圆周长的一半加上2条半径，长度就为25.7厘米．
技巧6 代换
6．圆的面积与长方形的面积相等，已知圆的周长62.8cm，则阴影部分的周长是多少厘米？
【分析】根据圆的周长公式计算出圆的半径，再根据圆的面积公式可计算出圆的面积，圆的半径等于长方形的宽，圆的面积等于长方形的面积，所以用圆的面积除以长方形的宽就可计算出长方形的长，阴影部分的周长等于长方形的周长减去两条宽的长度再加上圆周长的即可，列式解答即可得到答案．
【解答】解：圆的半径为：62.8÷3.14÷2＝10（厘米），
圆的面积为：3.14×102＝314（平方厘米），
长方形的长为：314÷10＝31.4（厘米），
阴影部分的周长为：（31.4+10）×2﹣10×262.8
＝41.4×2﹣20+15.7，
＝82.8﹣20+15.7，
＝62.8+15.7，
＝78.5（厘米）；
答：阴影部分的周长为78.5厘米．
【点评】此题主要考查的是圆的周长、面积与长方形的周长、面积的公式及其应用．
1．如图，长方形中有3个扇形，这三个扇形的半径比为3：2：1，已知长方形的周长是48厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析】这三个扇形的半径比为3：2：1，则长方形长与宽的比是（3+2）：3＝5：3，根据按比例分配的方法，把48厘米平均分成（5+5+3+3）份，再求出3份、5份分别是多少厘米，3份既是长方形的宽，也是最大一个扇形的半径，这三个扇形的半径比为3：2：1，进一步可以求出另两个扇形的半径；阴影部分周长等于＝三个扇形的弧长+长方形的长﹣最小扇形的半径；阴影部分面积＝长方形面积﹣三个扇形的面积；据此解答即可。
【解答】解：3+2＝5
5+5+3+3＝16
4815（厘米）
489（厘米）
96（厘米）
93（厘米）
3.14×9×23.14×6×23.14×3×215﹣3
＝14.13+9.42+4.71+（15﹣3）
＝28.26+12
＝40.26（厘米）
15×9﹣（3.14×9 3.14×6 3.14×3 ）
＝135﹣（63.585+28.26+7.065）
＝135﹣98.91
＝36.09（平方厘米）
答：阴影部分周长是40.26厘米，面积是36.09平方厘米。
【点评】本题主要考查了按比例分配、扇形的周长和面积知识点，灵活运用圆的周长和面积公式是解答本题的关键。
2．1．画出该组合图形的对称轴．
2．求左图阴影的面积与周长，至少需知道 1 条线段的长度．
3．量出长方形宽边是 2 厘米（取整厘米数）
4．求阴影部分周长和面积．
【分析】（1）依据轴对称图形的概念及特征，即可画出其对称轴；
（2）要求阴影的面积与周长，至少要知道1条线段，即圆的半径或直径的长度；
（3）用直尺即可测量出长方形的宽的长度；
（4）阴影部分的周长等于圆的周长的一半再加长方形的2个宽和1个长；阴影部分的面积＝长方形的面积﹣半圆的面积．
【解答】解：（1）所画图形的对称轴如下图所示：
；
（2）因为长方形的宽等于圆的半径，长方形的长等于圆的直径，
所以要求阴影的面积与周长，至少要知道1条线段，即圆的半径或直径的长度即可；
（3）经测量可知：圆的半径＝2厘米；
（4）阴影部分的周长：2×3.14×2÷2+2×2+2×2，
＝6.28+4+4，
＝14.28（厘米）；
阴影部分的面积：4×2﹣3.14×22 ÷2，
＝8﹣12.56÷2，
＝8﹣6.28，
＝1.72（平方厘米）；
答：要求阴影的面积与周长，至少要知道1条线段，即圆的半径或直径的长度；
圆的半径约为2厘米；阴影部分的周长是14.28厘米，面积是1.72平方厘米．
故答案为：1、2．
【点评】解答此题的关键是：弄清楚长方形的长和宽与圆的半径的关系，以及阴影部分的周长由哪几部分组成．
3．1.求图中阴影部分的面积。
2.求图中阴影部分的周长。
【分析】1.由三角形的内角和是180°可知，图中阴影部分的面积等于半径是2厘米的半圆的面积。
2.图中阴影部分的周长等于边长是3厘米的正方形的周长加上直径是3厘米的圆的周长。
【解答】解：1.3.14×22÷2
＝12.56÷2
＝6.28（平方厘米）
2.3×4+3.14×3
＝12+9.42
＝21.42（厘米）
【点评】解答本题的关键是准确识图，熟练利用圆面积公式、圆周长公式及正方形周长公式。
4．看图列式计算。
（1）求阴影部分的周长。
（2）求环形的面积。
【分析】（1）阴影部分的周长等于半径为（8÷2）分米的圆的周长；
（2）环形的面积＝大圆的面积﹣小圆的面积。
【解答】解：（1）3.14×8＝25.12（分米）
答：阴影部分的周长25.12分米。
（2）3.14×（）2﹣3.14×（24÷2﹣6）2
＝3.14×122﹣3.14×62
＝452.16﹣113.04
＝339.12（平方厘米）
答：环形的面积是339.12平方厘米。
【点评】本题主要考查了组合图形的面积和周长，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形。
5．求阴影部分的周长。（单位：cm）
【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于半径为12厘米的圆周长的加上直径为12厘米的圆周长的，再加上12厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×123.14×1212
＝75.3612
＝18.84+18.84+12
＝49.68（厘米）
答：阴影部分的面积是49.68厘米。
【点评】解答求组合图形的周长，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是各部分的周长和、还是求各部分的周长差，再根据相应的面积公式解答。
6．求阴影部分的周长。（单位：cm）
【分析】观察图形可知，阴影部分的周长就是这个半径为6厘米和9厘米的半圆的弧长再加上大半圆的直径，据此利用圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×6÷2+2×3.14×9÷2+9×2
＝18.84+28.26+18
＝65.1（厘米）
答：阴影部分的周长是65.1厘米。
【点评】解答求组合图形的周长，关键是观察分析图形是由哪几部分周长的，是求各部分的周长和、还是求各部分的周长差，重点是明确：阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+大半圆的直径。
7．求阴影部分的周长．（单位：cm）
【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于直径为（4+8）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（4+8）
＝3.14×12
＝37.68（厘米）
答：阴影部分的周长是37.68厘米。
【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．求下面各图中阴影部分的周长．（单位：cm）
【分析】1．通过观察图形可知：阴影部分的周长等于直径是4厘米的圆周长的一半加上直径是2厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答．
2．通过图形可知：阴影部分的周长等于直径是4厘米的圆周长的一半加上半径是2厘米的圆周长的一半，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答．
【解答】解：1.3.14×（2×2）÷2+3.14×2
＝3.14×4÷2+6.28
＝6.28+6.28
＝12.56（厘米）；
答：阴影部分的周长是12.56厘米．
2.3.14×4÷2+3.14×4÷2
＝6.28+6.28
＝12.56（厘米）；
答：阴影部分的周长是12.56厘米．
【点评】此题主要考查圆周长公式的灵活运用，关键是熟记公式．
9．王大爷用12.56m长得篱笆靠墙围了一个半圆形的养鸡场（如图），你能求出这个半圆形养鸡场的半径吗？
【分析】由题意可知：篱笆的长度就等于这个半圆的弧长，据此根据圆的周长公式“圆的周长＝πd＝2πr”求出这个半圆的直径，再除以2即可求解．
【解答】解：12.56×2÷3.14÷2
＝12.56÷3.14
＝4（米），
答：这个半圆形养鸡场的半径是4米．
【点评】此题主要考查圆的周长的计算方法的灵活应用．
10．图中，直径为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长．
【分析】观察图形可知，这个阴影部分的周长等于直径3厘米圆的周长与半径3厘米，圆心角60度的弧长之和，据此根据圆的周长及弧长公式计算即可解答．
【解答】解：3.14×3+3.14×3，
＝9.42+3.14，
＝12.56（厘米）；
答：阴影部分的周长是12.56厘米．
【点评】本题考查了组合图形的周长，求这种不规则图形的周长，一般都是把这个不规则图形的周长分割为几个规则图形的周长之和或差，然后根据规则图形的周长公式求出结果．
11．求图阴影部分的周长．
【分析】这个图形的周长等于直径6米的圆的周长与两条长10米的边的长度之和，据此计算即可解答．
【解答】解：3.14×6+10×2
＝18.84+20
＝38.84（米）．
答：阴影部分的周长是38.84米．
【点评】此题主要考查圆的周长公式的计算应用．
12．如图，求阴影部分的周长．（单位厘米，π取3.14）
【分析】观察图得出，阴影部分的圆心角是360°﹣30°＝330°，所以阴影部分的周长等于直径是12厘米的圆的周长的330÷360加上直径，由此根据圆的周长公式C＝πd，先求出圆的周长，进而求出阴影部分的周长．
【解答】解：因为阴影部分的圆心角是360°﹣30°＝330°
330÷360
所以阴影部分的周长：
3.14×12+12
＝34.54+12
＝46.54（厘米）
答：阴影部分的周长是46.54厘米．
【点评】关键是根据图得出阴影部分的周长等于直径是12厘米的圆的周长的加上直径．
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