2023年数学中考复习阶段综合检测(五)(四边形)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.内角和为540°的多边形是 ( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
2.如图所示,已知E是 ABCD的边AD的中点,CE与BA的延长线交于点F,若∠FCD=∠D,则下列结论不成立的是 ( ) A.AD=CF B.BF=CF C.AF=CD D.DE=EF
3.如图,两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为12 cm,点B,D之间的距离为16 cm,则线段AB的长为 ( )
A.9.6 cm B.10 cm C.20 cm D.12 cm
2. 3. 4.
4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 ( )
A. B. C. D.
5.如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长( )
A.2+2 B.5- C.3- D.+1
6.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFC=120°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则AE的长度为 ( )
A.2 B. C. D.1
5. 6. 7.
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB.下列结论:①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边形AECF是菱形;④S△BOE=S△ABC.其中正确结论的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1
8.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点,若AM=2,则正方形的边长为( ) A.4 B.3 C.2+ D.+1
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°,AD=AB,连接OE.下列结论:
①S ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8. 9. 10.
10.在平面直角坐标系中,第一个正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4),延长CB交x轴于点A1,作第二个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2 018个正方形的面积为( )
A.20×2 017 B.20×2 018 C.20×4 036 D.20×4 034
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,满分20分.直接填写最后结果)
11.若一个多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形的内角和是 .
12.如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为 cm.
12. 13.
13.如图,在矩形ABCD中,连接BD,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点,作直线PQ,分别与AD,BC交于点M,N,连接BM,DN.若AD=4,AB=2.则四边形MBND的周长为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,点P为BC边上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,点M为EF的中点,则AM的最小值为 .
15.如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC,BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G.连接GF,下列结论:
①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=+1;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.
其中正确结论的序号是 (在横线上填上你认为所有正确结论的序号)
14. 15.
三、解答题(本大题共8小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(10分)如图,在△ABC中,点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使DF=EF,连接BE.
求证:(1)△ADF≌△BEF;
(2)四边形BCDE是平行四边形.
17.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB中点,连接CE.
(1)求证:四边形AECD为菱形;
(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面积.
19.(10分)如图,线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
(1)求证:AF与DE互相平分;
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形 请说明理由.
20.(12分)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.
21.(12分)如图,在 ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.
(1)求证:BD∥EF;
(2)若=,BE=4,求EC的长.
22.(13分)如图,过△ABC边AC的中点O,作OE⊥AC,交AB于点E,过点A作AD∥BC,与BO的延长线交于点D,连接CD,CE,若CE平分∠ACB,CE⊥BO于点F.
(1)求证:
①OC=BC;
②四边形ABCD是矩形;
(2)若BC=3,求DE的长.
23.(13分)(1)如图1的正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连接EF,AG.求证:EF=FG;
(2)如图2,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,求MN的长.
2023年数学中考复习阶段综合检测(五)(四边形)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.C 设这个多边形的边数是n,
则(n-2)·180°=540°,解得n=5.
2.B ∵ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠B=∠D,AB∥CD.
∵BF∥CD,∴∠F=∠FCD,∠FAE=∠D.
∵AE=ED,∴△AEF≌△DEC.
∴AF=CD,EF=CE.∵∠FCD=∠D,
∴CE=DE.∴DE=EF.故C,D都成立;
∵∠B=∠D=∠F,则CF=BC=AD.故A成立.只有在△BCF是等边三角形时BF=CF才成立,没有△BCF是等边三角形的条件,因此选项B不成立.
3.B 作AR⊥BC于R,AS⊥CD于S,连接AC,BD交于点O.
由题意知:AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两个矩形等宽,∴AR=AS,
∵AR·BC=AS·CD,∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∵OA=AC=6 cm,OB=BD=8 cm,
∴AB==10(cm).
4.C ∵AB=6,BC=8,
∴矩形ABCD的面积为48,AC==10,
∴AO=DO=AC=5,
∵对角线AC,BD交于点O,∴△AOD的面积为12,
∵EO⊥AO,EF⊥DO,
∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,即12=AO×EO+DO×EF,
∴12=×5×EO+×5×EF,
∴5(EO+EF)=24,
∴EO+EF=.
5.D 如图,过点E作EG⊥DF于点G,作EH⊥BC于点H,
则∠BHE=∠DGE=90°,
∵△ABC是边长为2的等边三角形,
∴AB=2,∠ABC=60°,
∵四边形ABED是正方形,
∴BE=DE=2,∠ABE=∠BED=90°,
∴∠EBH=180°-∠ABC-∠ABE=180°-60°-90°=30°,
∴EH=BE·sin∠EBH=2·sin 30°=2×=1,
BH=BE·cos∠EBH=2·cos 30°=,
∵EG⊥DF,EH⊥BC,DF⊥BC,
∴∠EGF=∠EHB=∠DFH=90°,
∴四边形EGFH是矩形,
∴FG=EH=1,∠BEH+∠BEG=∠GEH=90°,
∵∠DEG+∠BEG=90°,∴∠BEH=∠DEG,
在△BEH和△DEG中,,
∴△BEH≌△DEG(AAS),
∴DG=BH=,∴DF=DG+FG=+1.
6.A ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∠A=90°,
∴∠BEF=180°-∠EFC=60°,
∵将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,
∴∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E,
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°,∠AB'E=30°,
∴B'E=2AE,
设AE=x,则B'E=BE=2x,
∵AB=6,∴x+2x=6,解得x=2.
7.A ∵点E为BC的中点,
∴BC=2BE=2CE,
又∵BC=2AB,∴AB=BE,
∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE=∠BEA=60°,AE=BE=EC,
∴∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,
即AB⊥AC,故①正确;
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,AO=CO,
∴∠CAD=∠ACB,
在△AOF和△COE中,,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
又AE=CE,
∴平行四边形AECF是菱形,故③正确;
∴AC⊥EF,
在Rt△COE中,∠ACE=30°,
∴OE=CE=BC=AD,故②正确;
在平行四边形ABCD中,OA=OC,
又∵点E为BC的中点,
∴S△BOE=S△BOC=S△ABC,故④正确;
正确的结论有4个.
8.C 过点M作MF⊥AC于点F,如图所示.
∵MC平分∠ACB,四边形ABCD为正方形,
∴∠CAB=45°,FM=BM.
在Rt△AFM中,∠AFM=90°,∠FAM=45°,AM=2,
∴FM=AM·sin ∠FAM=.
∴BM=,∴AB=AM+MB=2+.
9.C ∵∠BAD=∠BCD=60°,∠ADC=120°,DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠DAE=∠AED=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=AB,
∴E是AB的中点,
∴DE=BE,
∴∠BDE=∠AED=30°,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD,
∴S ABCD=AD·BD,故①正确;
∵∠CDE=60°,∠BDE=30°,
∴∠CDB=∠BDE,
∴DB平分∠CDE,故②正确;
∵Rt△AOD中,AO>AD,
∴AO>DE,故③错误;
∵O是BD的中点,E是AB的中点,
∴OE是△ABD的中位线,
∴OE∥AD,
∵∠ADB=90°,
∴∠EOB=90°,
∴EO⊥DB,
∴OE垂直平分BD.故④正确.
10.D ∵点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4),
∴OA=2,OD=4,
∵∠AOD=90°,
∴AB=AD=2,∠ODA+∠OAD=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,S正方形ABCD=(2)2=20,
∴∠ABA1=90°,∠OAD+∠BAA1=90°,
∴∠ODA=∠BAA1,∴△ABA1∽△DOA,
∴=,即=,
∴BA1=,∴CA1=,
∴正方形A1B1C1C的面积==20×,…,第n个正方形的面积为20×,
∴第2 018个正方形的面积为20×.
1.内角和为540°的多边形是 (C)
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
2.如图所示,已知E是 ABCD的边AD的中点,CE与BA的延长线交于点F,若∠FCD=∠D,则下列结论不成立的是 (B)
A.AD=CF B.BF=CF C.AF=CD D.DE=EF
3.如图,两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为12 cm,点B,D之间的距离为16 cm,则线段AB的长为 (B)
A.9.6 cm B.10 cm C.20 cm D.12 cm
4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 (C)
A. B. C. D.
5.如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为 (D)
A.2+2 B.5- C.3- D.+1
6.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFC=120°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则AE的长度为 (A)
A.2 B. C. D.1
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB.下列结论:①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边形AECF是菱形;④S△BOE=S△ABC.其中正确结论的个数是 (A)
A.4 B.3 C.2 D.1
8.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点,若AM=2,则正方形的边长为(C)
A.4 B.3 C.2+ D.+1
9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°,AD=AB,连接OE.下列结论:
①S ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的个数有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.在平面直角坐标系中,第一个正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4),延长CB交x轴于点A1,作第二个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2 018个正方形的面积为(D)
A.20×2 017 B.20×2 018 C.20×4 036 D.20×4 034
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,满分20分.直接填写最后结果)
11.【解析】∵一个多边形的每个外角都等于30°,
∴多边形的边数为360°÷30°=12,
∴这个多边形的内角和=180°×(12-2)=1 800°.
答案:1 800°
12.【解析】∵四边形ABCD是菱形,AC=4 cm,
∴AC⊥BD,BO=DO,AO=CO=2 cm,
∵AB=2 cm,
∴BO==4 cm,
∴DO=BO=4 cm,∴BD=8 cm.
答案:8
13.【解析】由作图过程可得:PQ为BD的垂直平分线,
∴BM=MD,BN=ND.设PQ与BD交于点O,如图,
则BO=DO.∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,
在△MDO和△NBO中,,
∴△MDO≌△NBO(AAS),
∴DM=BN,∴四边形BNDM为平行四边形,
∵BM=MD,∴四边形MBND为菱形,
∴四边形MBND的周长为4BM.
设MB=x,则MD=BM=x,
∴AM=AD-DM=4-x,
在Rt△ABM中,∵AB2+AM2=BM2,
∴22+(4-x)2=x2,解得:x=,
∴四边形MBND的周长为4BM=10.
答案:10
14.【解析】连接AP,如图所示:
∵∠BAC=90°,AB=2,AC=3,
∴BC==,
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴四边形AFPE是矩形,
∴EF=AP,EF与AP互相平分,
∵M是EF的中点,
∴M为AP的中点,
∴AM=AP,
∵AP⊥BC时,AP最短,同样AM也最短,
∴当AP⊥BC时,AP===,
∴AP最短时,AP=,
∴当AM最短时,AM=AP=.
答案:
15.【解析】在正方形纸片ABCD中,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,
∴∠GAD=45°,∠ADG=∠ADO=22.5°,
∴∠AGD=112.5°,所以①正确.
设AE=x,
∵∠ABD=45°,∠EFD=90°,
∴△BEF是等腰直角三角形,
∴EF=BF=AE=x,
∴BE=x,
∴AD=AB=x+x=(1+)x,
∴tan ∠AED===1+,所以②正确.
根据题意可得:AE=EF,AG=FG,
∵∠BAC=∠BEF=45°,
∴EF∥AC,
∵∠DAC=∠OFG=∠ABD=45°,
∴GF∥AB,
∴四边形AEFG是菱形,所以④正确.
由∠OFG=45°,AC⊥BD,
∴△GOF是等腰直角三角形,
∴OF=GF,
设GF=AE=1,由②可知AD=+1,
∴OF=,OD=(+1)=1+,
∴FD=OF+OD=1+,
因为△OGD与△FGD同高,
∴===,
∴S△FGD=S△OGD,
∵△FGD≌△AGD,
∴S△AGD=S△OGD,所以③正确;
设BF=EF=AE=FG=AG=1,则OG=,AB=1+,BD=2+,DF=1+,
∵四边形AEFG是菱形,
∴EF∥AC,∴△DOG∽△DFE,
∴==,
∴EF=2OG,
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中,BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2,
∴BE=2OG.所以⑤正确.故正确的结论有①②③④⑤.
答案:①②③④⑤
11.若一个多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形的内角和是 1 800° .
12.如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为 8 cm.
13.如图,在矩形ABCD中,连接BD,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点,作直线PQ,分别与AD,BC交于点M,N,连接BM,DN.若AD=4,AB=2.则四边形MBND的周长为 10 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,点P为BC边上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,点M为EF的中点,则AM的最小值为 .
15.如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC,BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G.连接GF,下列结论:
①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=+1;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.
其中正确结论的序号是 ①②③④⑤ (在横线上填上你认为所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共8小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(10分)如图,在△ABC中,点D,F分别为边AC,AB的中点.延长DF到点E,使DF=EF,连接BE.
求证:(1)△ADF≌△BEF;
(2)四边形BCDE是平行四边形.
【证明】(1)∵F是AB的中点,∴AF=BF,
在△ADF和△BEF中,,
∴△ADF≌△BEF(SAS);
(2)∵点D,F分别为边AC,AB的中点,
∴DF∥BC,DF=BC,
∵EF=DF,∴EF=DE,
∴DF+EF=DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
17.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB中点,连接CE.
(1)求证:四边形AECD为菱形;
(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)∵E为AB中点,
∴AB=2AE=2BE,
∵AB=2CD,∴CD=AE,
又∵AE∥CD,∴四边形AECD是平行四边形,
∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠EAC,
∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB,
∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,
∴平行四边形AECD是菱形;
(2)由(1)知CD∥AE,AD∥EC,CD=AE=EC=2,
∵∠D=120°,∴∠DAE=180°-∠D=60°,
∵AD∥EC,∴∠BEC=∠DAE=60°,
∵四边形AECD是菱形
∴∠CAE=∠DAE=30°,∴∠ACE=∠EAC=30°,
∵E为AB中点,∴AE=BE=CE,
∴△BCE是等边三角形,∴BC=CE=2,
∴∠ECB=60°,∴∠ACB=90°,
∴AC=BC=2,
∴S△ABC=AC·BC=2.
18.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.
(1)证明:△CFG≌△AEG;
(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.
【解析】(1)∵E,F分别是AB,BC的中点,CE⊥AB,
AF⊥BC,
∴AB=AC,AC=BC,∴AB=AC=BC,
∴∠B=60°,∴∠BAF=∠BCE=30°,
∵E,F分别是AB,BC的中点,∴AE=CF,
在△CFG和△AEG中,
∴△CFG≌△AEG.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴ ABCD是菱形,
∴∠ADC=∠B=60°,∵AD∥BC,CD∥AB,∴AF⊥AD,CE⊥CD,
∵△CFG≌△AEG,∴AG=CG,∵GA⊥AD,GC⊥CD,GA=GC,
∴GD平分∠ADC,∴∠ADG=30°,
∵AD=AB=4,∴DG==.
19.(10分)如图,线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
(1)求证:AF与DE互相平分;
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形 请说明理由.
【解析】(1)∵点D是AB的中点,∴AD=AB,
∵点E是AC的中点,点F是BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AB,EF=AB,∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AF与DE互相平分;
(2)当AF=BC时,四边形ADFE为矩形,
理由:∵线段DE为△ABC的中位线,∴DE=BC,
∵AF=BC,∴AF=DE,
由(1)得:四边形ADFE是平行四边形,
∴四边形ADFE为矩形.
20.(12分)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.
【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∵CE⊥BG,DF⊥CE,
∴∠BEC=∠DFC=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,
∴∠CBE=∠DCF,
在△CBE和△DCF中,,
∴△CBE≌△DCF(AAS),
∴BE=CF,CE=DF,
∵CE=EF+CF,
∴DF=BE+EF.
21.(12分)如图,在 ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.
(1)求证:BD∥EF;
(2)若=,BE=4,求EC的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形,∴BD∥EF.
(2)∵四边形BEFD是平行四边形,∴DF=BE=4,
∵DF∥EC,∴△DFG∽△CEG,
∴=,∴CE==4×=6.
22.(13分)如图,过△ABC边AC的中点O,作OE⊥AC,交AB于点E,过点A作AD∥BC,与BO的延长线交于点D,连接CD,CE,若CE平分∠ACB,CE⊥BO于点F.
(1)求证:
①OC=BC;
②四边形ABCD是矩形;
(2)若BC=3,求DE的长.
【解析】(1)①∵CE平分∠ACB,∴∠OCE=∠BCE,
∵BO⊥CE,∴∠CFO=∠CFB=90°,
在△OCF与△BCF中,
∴△OCF≌△BCF(ASA),∴OC=BC;
②∵点O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,
∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,
在△OAD与△OCB中,
∴△OAD≌△OCB(AAS),∴AD=BC,∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∵OE⊥AC,
∴∠EOC=90°,
在△OCE与△BCE中,
∴△OCE≌△BCE(SAS),∴∠EBC=∠EOC=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=3,∠DAB=90°,AC=BD,
∴OB=OC,∵OC=BC,
∴OC=OB=BC,∴△OBC是等边三角形,
∴∠OCB=60°,∴∠ECB=∠OCB=30°,
∵∠EBC=90°,
∴EB=EC,∵BE2+BC2=EC2,BC=3,
∴EB=,EC=2,
∵OE⊥AC,OA=OC,∴EC=EA=2,
在Rt△ADE中,∠DAB=90°,
∴DE===.
23.(13分)(1)如图1的正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连接EF,AG.求证:EF=FG;
(2)如图2,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,求MN的长.
【解析】(1)在正方形ABCD中,∠ABE=∠ADG,
AD=AB,
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∴∠EAG=90°,
在△FAE和△FAG中,
∴△FAE≌△FAG(SAS),
∴EF=FG;
(2)如图,过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,
使CE=BM.连接AE,EN.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵CE⊥BC,
∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中,
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中,
∴△MAN≌△EAN(SAS).∴MN=EN.
在Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2.
∴MN2=BM2+NC2.∵BM=1,CN=3,
∴MN2=12+32,∴MN=.
