襄安高级中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试
数学试题卷
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.设复数，则的的虚部是( )
A.3 B.2 C.-3 D.-2
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为( )
A. B.2 C. D.
3..在中，为边上的中线，为的中点，则等于( )
A. B. - C.- D. ·
4.已知|| = 1，|| = 2，且与的夹角为，则 |+| = （ ）
A. 1 B. C. D.
5.下列命题中，真命题为（ ）
A.若两个平面，，，则；
B.若两个平面，，，则与b平行或异面；
C.若两个平面，，，则与b是异面直线；
D.若两个平面，，则与一定相交.
6.在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝( )
A．8 B．12 C．16 D．20
8.在△ABC中，cos2 ＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.下列命题中，真命题为（ ）
A.若ΔABC在平面 α 外，它的三条边所在的直线分别交平面 α 于 P,Q,R，P,Q,R 三点共线;
B.若两条直线 a,b 互相平行且分别交直线 c于 A,B两点，则这三条直线共面.
C.若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面。
D.若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )
A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交
C．EF与AB是异面直线 D．EF与CD 是异面直线
11.已知两个单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有 ( )
A. B.
C. D.在方向上的投影向量为
对于△ABC，有以下判断，其中正确的是（ ）
若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
若A>B,则sinA>sinB
若a=9,b=10,A=,则符合条件的三角形有两个
若，则△ABC是锐角三角形
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.i是虚数单位，复数=_________ .
14.已知向量＝(2,1)，＝(2，x)不平行，且满足(＋2)⊥(－)，则x＝_________ .
15、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为_________ 。
16.棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为
棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．本小题满分0分已知复数，，i为虚数单位．
（1）若，求z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18.本小题满分2分 已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，
求实数的值；
求向量与的夹角．
19.（本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕AB旋转一周．
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积；
（2）求阴影部分形成的几何体的体积．
20.（本小题满分12分）为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.
(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；
(2)求隧道口间的距离.
21.本小题满分2分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量＝，＝(c，b－2a)，且·＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
22．（本小题满分12分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
求角C的大小；
若c=1，求的取值范围。
襄安高级中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B C B A D A
9 10 11 12
ABC AB BCD BC
14. - 15 16. 1
(1) =i （2）2>a>0
(1) γ=1 (2) θ=60°
19.所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
又S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
即该几何全的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)．
所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．
20.(1)/5 AB=1000m
21解：(1)由题意知m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，则ccosB＋(b－2a)cosC＝0.
在△ABC中，由正弦定理得sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，整理得sinCcosB＋sinBcosC－2sinAcosC＝0，即sin(B＋C)＝2sinAcosC．
故sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，∴cosC＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由＝知，－＝－，∴2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，∴a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
∴S△ABC＝absin∠ACB＝2.
(1)C=π/6 (2) (/2,1]
