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佛山市 2023—2024 年普通高中教育教学质量检测模拟（一）
高三数学 2023.12
本试卷共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卡相应位置上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效.
4.考生务必保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回.
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．在复平面内，复数 对应的点的坐标是( 1，1)，则 + =
A．1 + B．1 C． 1+ D． 1
2．已知平面向量 = (3，2)， = ( 2，1)，若( + ) ⊥ ，则 =
A． 45 B．
3 3
5 C．5 D
4
．5
3．已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 1}， = { | 1 ≤ ≤ 2 1}，若 ，则实数 的取值范围是
A． ≤ 1 B． < 1 C．0 ≤ ≤ 1 D．0 < < 1
4．北京时间 2023年 2月 10日 0时 16分，经过约 7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、
张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运
载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级 ( )（单位： ）与声强 （单位： / 2）
满足关系式： ( ) = 10lg
10 12．若某人交谈时的声强级约为 60 ，且火箭发射时的声强与此人交谈时
的声强的比值约为 107.8，则火箭发射时的声强级约为
A．125 B．132 C．138 D．156
5．已知 为锐角，若 (2 + 2023 ) = 2 3，则 =2 4
A． 3 1 B． 3 1 C． 3+18 4 8 D．
3+1
4
6 ．已知数列{ }和{ }均为等差数列，数列{ }的前 项和为 ，若 为定值， 5 = 45， 3 = 6， 7 = 14 ，
则 5 =
A．15 B．56 C．72 D．104
2 2
7 ．已知双曲线 C： 2 2 = 1( > 0， > 0)的左，右焦点分别为 1， 2，O 为坐标原点，点 P 是双曲线
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C 上的一点，| | = | 2|，且△ 1的面积为 4，则实数 =
A． 2 B．2 C．2 2 D．4
8．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多
边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种
柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，
已知一个正八面体 的棱长为 2， ， 分别为棱 ， 的中点，则直线 和
夹角的余弦值为
A．5 B． 11 C． 21 D． 156 6 6 6
二 选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知数列{ }是首项为 1，公比为 3的等比数列，则
A．{ +1 }是等差数列 B．{ +1 }是等差数列
C．{log3 }是等比数列 D．{ +1}是等比数列
10．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥底面 ， = = 2，点 是 中点，
点 是棱 的上动点（ 与端点不重合）．下列说法正确的是
A．从 、 、 、 、 、 9六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为10
B．从 、 、 、 、 3、 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为5
C．存在点 ，使直线 与 所成的角为 60°
D．不存在点 ，使 //平面
11．伟大的古希腊哲学家 百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长
2
和短半轴长乘积的 倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆 的面积为 12 5 ，离心率为3， 1， 2
是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的动点，则下列说法正确的是
2 2
A．椭圆 的标准方程可以为 + = 1 B．若∠ 1 2 =
36 20 3，则 △ 1 2 = 20 3
C．存在点 ，使得∠ 1 2 =
D 2 1 1 22 ．| 1|
+ | 2|
的最小值为4+ 6
12．已知实数 a，b，c 满足 + +1 ≤ + + 3（其中 e为自然对数的底数），则下列说法正确的是
A． = B 1． ≥ 2 C． + + 2 的最小值为 3ln3 D． + > 0
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．欲登上 7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有 种上楼
梯的方法.
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14． 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，
是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人
李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数
学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能
使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 (2，4)，军营所在位置为 (6，2)，河岸线所在
直线的方程为 + 3 = 0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则
将军在河边饮马地点的坐标为 ．
15．已知多项式( + 2)3( 1)4 = ( + 1)71 + 2( + 1)6 + + 7( + 1) + 8，则 7 = .
16．在三棱锥 中， = = = = 15， = = 3 2，则三棱锥 外接球的体积
与三棱锥 的体积之比为 .
四 解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
如图，已知△ 的外接圆 的半径为 4， = 2 + .
（1）求△ 中 边的长：
（2）求 .
18．（本题满分 12 分）
已知函数 ( ) = 2ln + 2，其中 > 0
（1）若函数在 = 1处取得极值，求实数 a的值；
（2）若函数 ( ) ≥ 1在[1，+∞)上恒成立，求实数 a的取值范围.
19．（本题满分 12 分）
已知点 为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，点 (1，2)， (0，1)，且| | = | |．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若正方形 的顶点 、 在直线 ： + 2 = 0上，顶点 、 在抛物线 上，求| | + | |．
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20．（本题满分 12 分）
如图，D为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， = ，△
是底面的内接正三角形，且 = 6，P是线段 上一点．
（1）若 ⊥平面 ，求 ；
（2）当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值最大？
21．（本题满分 12 分）
2+
设正项等比数列{ }的公比为 ，且 ≠ 1， ∈ .令 = log ，记 为数列{ }的前 项积， 为数列{ }
的前 项和.
（1）若 4 2 = 1 3， 2 + 3 = 67，求{ }的通项公式；
（2）若{ }为等差数列，且 99 log2 99 = 99，求 .
22．（本题满分 12 分）
概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的
马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
( )设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ( )，则对任意 > 0，均有 ( ≥ ) ≤ ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数
学期望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 ( = ) = ， = 1，2， ， ，其中 ∈ (0，+∞)， ∈ [0，+∞)( =
n
1，2， ， )， = 1，则对任意 > 0， ( ≥ ) =
n
≥ ≤
= 1 n
=1 ≥
≥ ≤
1 = ( ) n ，其中符号 ≥ 表示对所有满足 ≥ 的指标 所对应的 求和． =1
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量 的期望为 ( )，方差为 ( )，则对任意 > 0，均有 (| ( )| ≥ ) ≤ ( )
2
（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 80%．现随机选择了 100名患者，经过使
用该药治疗后，治愈的人数为 60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
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