2023-2024学年第一学期青岛市李沧区九年级数学期末模拟试卷
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1 .如图所示的物体，其主视图是（ ）
A．B． C． D．
2. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A. 24 B. 30 C. 40 D. 48
寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，
则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
点均在二次函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
7 .如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于
A． B．2 C． D．
如图，抛物线C1：y=x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；
将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A2旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，……，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（ ）
A．y=﹣x2+38x﹣360 B．y=﹣x2+34x﹣288
C．y=x2﹣36x+288 D．y=﹣x2+38x+360
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9 .已知，则的值为 ．
10 .在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，
发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有个．
11. 如图，在中，，则的值是；
如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，
并分别交两条双曲线于、两点，若，则．
某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．
设平均每次涨价的百分率为x，则x是．
14 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝．
三、作图题（本题满分4分）
15. 已知：，，求作：矩形．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16. （1）解方程：2x2+4x﹣3＝0；
（2）计算：sin245°+tan60° cos30°．
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
19. 一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，
该店采取降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，
发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
(2)求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
20. 如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？
若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
21. 如图，一次函数的图象与y轴交于C，与反比例函数的图象交于，．
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
如图在平行四边形中，O 为对角线 的中点，
过点 O 的直线 分别交，于点 E，F．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
①，②．
选择的条件：_________（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
24. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，
直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．2023-2024学年第一学期青岛市李沧区九年级数学期末模拟试卷解析
第Ⅰ卷（共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1 .如图所示的物体，其主视图是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可.
【详解】解：从正面可以看到的平面图形是
故选A
2. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A. 24 B. 30 C. 40 D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】先解直角三角形，求出的长，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：在在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，
则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
点均在二次函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，时，y随x的增大而增大，
关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
故选：D．
6.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，
由求出的值，对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
7 .如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
如图，抛物线C1：y=x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；
将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A2旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，……，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（ ）
A．y=﹣x2+38x﹣360 B．y=﹣x2+34x﹣288
C．y=x2﹣36x+288 D．y=﹣x2+38x+360
【答案】D
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，
由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，
照此类推可以推导知道抛物线C10的顶点，即可求得抛物线C10的解析式．
【详解】解：∵y=x2-2x（0≤x≤2），
∴配方可得y=（x-1）2-1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，-1），
∴A坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA=AA1，即C2顶点坐标为（3，1），A1（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，-1），A2（6，0）；
C4顶点坐标为（7，1），A3（8，0）；……，
∴抛物线C10的顶点坐标是（19，1），A8（18，0），A9（20，0）．
抛物线C10的解析式是y=-(x-18)(x-20)=-x2+38x-360．
故选：D．
第Ⅱ卷（共96分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9 .已知，则的值为 ．
【答案】/0.4
【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．
【详解】解：设，
∴，，
∴=，
故答案为：．
10 .在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，
发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有个．
【答案】
【分析】根据概率公式求出总的情况，利用总的情况减去白球的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
总的可能有：，
，
故答案为：．
11. 如图，在中，，则的值是；
【答案】/0.6
【分析】先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：在中，
则，
∴，
故答案为：．
如图是反比例函数和在第一象限的图像，直线轴，
并分别交两条双曲线于、两点，若，则．
【答案】
【分析】应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，
利用构造方程即可．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，，
∵，
∴，
解：．
故答案为：．
某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．
设平均每次涨价的百分率为x，则x是．
【答案】10%
【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意得，
解得（舍）
平均每次涨价的百分率为
故答案为：
14 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）
15. 已知：，，求作：矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】1．以点A为圆心，长为半径作弧；2．以点C为圆心，长为半径作弧；3．
两弧交于点D．点B和点D在异侧；4．连接．所以四边形是矩形．
【详解】解：如图，四边形即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16. （1）解方程：2x2+4x﹣3＝0；
（2）计算：sin245°+tan60° cos30°．
【答案】（1），；（2）2.
【解析】
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可求解；
（2）先根据特殊三角函数值逐个求解，再根据有理数的加法法则计算即可.
【详解】解：（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0，
因为a=2，b=4，c=-3，
所以 ，
所以，
所以，；
（2）计算：sin245°+tan60° cos30°，
解：原式=，
=，
=2.
某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
18. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
19. 一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
(2)求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元
(2)每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元
【分析】（1）设每件商品降价x元时，根据等量关系：商店每天销售利润为1200元，列出方程、解方程即可；
（2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，则可得y关于n的二次函数，求此二次函数的最大值即可，从而可得此时n的值．
【详解】（1）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元
由题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200
解得：x1＝10，x2＝20
∵每件盈利不少于24元
∴x2＝20应舍去
∴x＝10
即每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元
则：y＝（40－n）（20＋2n）
y＝－2n2＋60n＋800
∵－2＜0
∴y有最大值
当n＝15时，y有最大值1250元
∴每件利润为25元，符合题意
即每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元
20. 如图，在矩形中，，在边 上是否存在一点 E，使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】设 ，假设存在，先证明，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，从而得到关于x的一元二次方程，再利用判断出方程无解，即推翻之前的假设，从而得出结论．
【详解】解：假设在边 上存在一点 E，使 ，设 ，
∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴在 上不存在点 E，使．
21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)、；
(2)4
(3)
【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；
（2）求得C的坐标，然后根据求得即可；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【详解】（1）解：把，两点的坐标代入，
得，
，解得，
则、，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，
∴，
∴，
∵、，
∴；
（3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得：，
∴点P的坐标为．
如图在平行四边形中，O 为对角线 的中点，
过点 O 的直线 分别交，于点 E，F．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．①，②．
选择的条件：_________（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）见解析；
（2）①，四边形是矩形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据四边形 为平行四边形，得，，根据，，证明，从而可得；
（2）选择的条件 ①，由（1）可得，可知四边形 是平行四边形，得，可得，根据得，，由，可知，得，可得平行四边形是矩形．
【小问1详解】
解：证明：四边形 为平行四边形
为对角线 的中点
（）
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形
选择的条件： ①
证明：.
四边形 是平行四边形
平行四边形是矩形
选择的条件： ②
证明：
四边形是平行四边形
∵
平行四边形 是菱形
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，
与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
24. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
【答案】（1）①；②；（2）；；（3）；
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，求出，证明，求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
