天津市2023-2024学年第一学期九年级期末模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
5．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
6．如图，点、、、在上，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将绕顶点A逆时针旋转到，，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，则点A的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
9．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
10．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（ ）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
11．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线 的距离为2，点 P是直线上的一个动点，PA切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题: 本大题共6小题，每小题 3分共18分．请将答案直接填在题中的横线上．
13．已知x1，x2是一元二次方程的两根，则 ．
14．如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则 ．
15．一个不透明的袋中装有 5 个黄球，13 个黑球和 22 个白球，他们除了颜色不同以外，其他都相同，从袋子中取出一个球是黄球的概率
16．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．
17．如图，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，∠PMQ=45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ= ．
18．如图，在正方形中，．E、F分别为边、的中点，连接、，点N、M分别为、的中点，连接，则的长度为 ．
三、解答题: 本大题共7小题， 共66分．
19．（8分）某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
(1)如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）；
(2)如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
(1)画出绕原点O顺时针旋转后的．
(2)求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．
21．（10分）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（10分）如图，已知是的一条弦，是的直径且于点．
（1）若，求的长；
（2）求证：．
23．（10分）已知抛物线．
(1)无论m取何值，抛物线恒过点___________；
(2)该抛物线的顶点随m的变化而变化，请求出抛物线顶点纵坐标的最大值．
24．（10分）在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为．
(1)如图①，当点C落在上时，求点D的坐标；
(2)如图②，当时，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
25．（10分）已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）若点A坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）在范围内，二次函数有最小值是-6，求b的值（直接写出答案即可）．
天津市2023-2024学年第一学期九年级期末模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
故选B．
3．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
4．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件
∴选项A错误；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件
∴选项B错误；
班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件
∴选项C错误；
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件
∴选项D正确；
故选：D．
5．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
【答案】B
【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度：
如图，
∵正方形的边长为6，∴AB=3．
又∵∠AOB=45°，∴OB=3．
∴AO=．
故选B．
6．如图，点、、、在上，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点、、、在上，，
∴，
故选A．
7．如图，将绕顶点A逆时针旋转到，，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【详解】∵将绕顶点A逆时针旋转到，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，则点A的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：点的坐标为，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
∴，
故选：A．
9．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA cos 30°，
∴OA2，
∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝626．
故选：B
10．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（ ）
A．2 B．6 C．﹣2 D．0
【答案】D
【详解】解：∵二次函数
∴该函数的顶点坐标为
∵二次函数图象的顶点在坐标轴上，
∴或，
当时，
当时，
或
或
综上：或或
故选：D．
11．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线 的距离为2，点 P是直线上的一个动点，PA切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：作OP⊥a于P点，则OP=2．
根据题意，在Rt△OPA中，
AP==
故选：B．
12．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，
，故此选项正确；
②当时，，故，错误；
③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且，
即，代入得，得，故此选项错误；
④当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，（其中，故此选项正确．
故①④正确．
故选：B．
二、填空题: 本大题共6小题，每小题 3分共18分．请将答案直接填在题中的横线上．
13．已知x1，x2是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】8
【详解】解：利用根与系数的关系可知：，
故答案为：8．
14．如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则 ．
【答案】/33度
【详解】解：将绕点逆时针旋转后得到，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
15．一个不透明的袋中装有 5 个黄球，13 个黑球和 22 个白球，他们除了颜色不同以外，其他都相同，从袋子中取出一个球是黄球的概率
【答案】
【详解】∵共有5+13+22=40个球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为=；
故答案为；
16．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【详解】解：圆锥的底面周长为：，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：，
∵圆锥的母线长，
∴圆锥侧面展开图的半径为：，
∴圆锥侧面积为：，
故答案为：．
17．如图，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，∠PMQ=45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ= ．
【答案】
【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，
在中，，
∵M为AB的中点，
∴
∵，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
18．如图，在正方形中，．E、F分别为边、的中点，连接、，点N、M分别为、的中点，连接，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：连接并延长交于点G，连接，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵E、F分别为边、的中点，
∴，．
∵M为的中点，
∴，
在和中，
．
∴．
∴，．
∴M为的中点，
∵N为的中点，
∴是的中位线．
∴．
在中，
，
∴．
∴．
故答案为：．
三、解答题: 本大题共7小题， 共66分．
19．某校准备从名男生和名女生五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
(1)如果确定只需要一名女生参加，则女生被选中的概率是___________（直接填写答案）；
(2)如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中名女生的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，即女生被选中的概率是，
故答案为：．
（2）解：选择两名学生参加竞赛，选择方式如下：
∴共有种等可能的选择方法，其中名都是女生的结果有种，
∴，
∴恰好选中名女生的概率是．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．
(1)画出绕原点O顺时针旋转后的．
(2)求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，线段OC在过程中扫过的图形为半圆，
∴面积为．
21．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．如图，已知是的一条弦，是的直径且于点．
（1）若，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）∵DE⊥AB
∴∠OCA=90°，
则OC2+AC2=OA2
又∵OC＝3，OA＝5，
∴AC=4，
∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴AB＝2AC=8
（2）证明∵ EO=AO，
∴∠E=∠EAO
又∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，
∴，
∴∠E=∠BAD
∴∠EAO＝∠BAD．
23．已知抛物线．
(1)无论m取何值，抛物线恒过点___________；
(2)该抛物线的顶点随m的变化而变化，请求出抛物线顶点纵坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)12
【详解】（1）
∴当时，，
∴无论m取何值，抛物线恒过点．
故答案为：；
（2）
∴抛物线顶点纵坐标为，
∵，
∴抛物线顶点纵坐标的最大值为12．
24．在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为．
(1)如图①，当点C落在上时，求点D的坐标；
(2)如图②，当时，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图，过点作，垂足为．
∵ ，，
∴ ，，．
∵ ，
∴ ．
在中，由，
得．解得．
∴ ，．
∵ 是由旋转得到的，
∴ ，．
∴ ．
∴ ．∴ ．
在中，．
∴ 点的坐标为．
（2）如图，过点作，垂足为．
由已知，得．
∴ ．
∴ ．
∵ 是由旋转得到的，
∴ ．
在中，由，得．
∴ 点的坐标为．
（3）如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．
∵∠DOC=30°，∠COT=45°，
∴∠DOJ=75°，
∴∠ODJ=90°-75°=15°，
∵KD=KO，
∴∠KDO=∠KOD=15°，
∴∠OKJ=∠KDO+∠KOD=30°，
∴OK=DK=2m，KJ=m，
∵OD2=OJ2+DJ2，
∴22=m2+（2m+m）2，
解得m=（负根已经舍弃），
∴OJ=，DJ=，
∴D．
25．已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）若点A坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）在范围内，二次函数有最小值是-6，求b的值（直接写出答案即可）．
【答案】（1），顶点坐标为）；（2）符合条件的点P存在，点）或或或；（3）当或时，在范围内，二次函数有最小值是
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，∴，
解得，，
则抛物线的解析式为；
，
∴抛物线的顶点坐标为）；
（2）存在点P，设，
根据题意得：N（1,0），C（0，-3）
则；
；
，
∴为等腰三角形，分三种情况：
①当时，
，得，
∴点P的坐标为）或；
②当时，
，，
解得，，
∴点P的坐标为）；
③当时，
，，
解得（舍去），，
∴点P的坐标为；
∴符合条件的点P存在，点）或或或．
（3）抛物线的对称轴为：x=，
∵抛物线开口向上，当＞2时，x=2时，函数有最小值，
即4+2b-3=-6，
解得，b=（舍去）；
当-1≤≤2时，x=时，函数有最小值，
即，
解得，b1=（舍去），b2=；
当＜-1时，x=-1时，函数有最小值，
即，
解得，b=4；
当或时，在范围内，二次函数有最小值是．
