广州市2023-2024学年九年级数学上册期末模拟考试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．将轴对称图形增添或削减某些元素能变成中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．y＝2x
3．将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3 B．﹣9，3 C．﹣9，﹣3 D．9，﹣3
4．已知，⊙O的半径OE＝，若OF＝2，则直线EF与⊙O位置图形可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
6．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
7．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
8．二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．春节快到了，为增进友谊，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份新春的祝福，小静同学所在的小组共写了42份祝福，该小组共有（ ）
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一元二次方程x（x+3）＝0的根是 ．
12．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣20）关于原点对称的点的坐标是 ．
13．将抛物线y＝x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为 ．
14．口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，绿球有10个，从中任意摸出一个球是绿色的概率为，则任意摸出一个球是黄球的概率为 ．
15．如图，M为反比例函数y＝图象上一点，MA⊥y轴于点A，S△MAO＝2时，k＝ ．
16．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：x2+2x﹣1＝0．
18．（4分）小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关S1、S2、S3、S4、S5和一个小灯泡，当开关S1闭合时，再同时闭合开关S2、S3或S4、S5都可以使小灯泡发亮．
（1）当开关S1、S2已经闭合时，再任意闭合开关S3、S4、S5中的一个，小灯泡能亮起来的概率是 ；
（2）当开关S1已经闭合时，再任意闭合开关S2、S3、S4、S5中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，方程的根为x1，x2，求代数式的值．
20．（6分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
21．（8分）如图，△ADE中，∠DAE＝90°，AD＝AE＝3，点B在△ADE内，且AB＝，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，连接CB，CD，BE．
（I）试探究BE与CD的关系；
（2）当∠ABE＝135°时，连接BD，求出△CBD的面积．
22．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C
（1）m＝ ，k1＝ ，k2＝ ；
（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，求△ABD的面积．
23．（10分）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是矩形，且OA＝8，OC＝6，CE：BE＝1：3．反比例函数（x＞0）的图象分别交BC、AB于点E、点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF、OE、OF，求△OEF的面积；
（3）是否存在x轴上的一点P，使得△EFP是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）已知点P为抛物线y1＝x2+（2t﹣3）x+（t+1）顶点，点Q是直线y2＝（2t﹣3）x+（t﹣t2）与y轴交点，t为常数，且﹣2≤t．
（1）若抛物线y1与坐标轴有且仅有两个公共点，试比较t与﹣1大小；
（2）试确定抛物线y1与直线y2上下位置关系；
（3）若抛物线y1经过（k，﹣），无论x为何值，总有x2+（2t﹣3）x+t≥﹣，当2m﹣1≤x≤2m时，抛物线有最小值3m+，设R点坐标为（m，0），按照角的大小关系判定△PQR形状．
广州市2023-2024学年九年级数学上册期末模拟考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．将轴对称图形增添或削减某些元素能变成中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．y＝2x
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【解答】解：A、不符合反比例函数的一般形式y＝（k≠0）的形式，选项错误；
B、不符合反比例函数的一般形式y＝（k≠0）的形式，选项错误；
C、正确；
D、不符合反比例函数的一般形式y＝（k≠0）的形式，选项错误．
故选：C．
3．将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3 B．﹣9，3 C．﹣9，﹣3 D．9，﹣3
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：B．
4．已知，⊙O的半径OE＝，若OF＝2，则直线EF与⊙O位置图形可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径OE＝，OF＝2，
∴点E在圆上，点F在圆外，
∴直线EF与⊙O位置图形可能为A选项，
故选：A．
5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．
【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
【分析】根据旋转变换的性质得到AD＝AB，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∵点D恰好落在BC边上，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
7．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等式kx+b＞的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【分析】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，
∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：D．
8．二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据反比例函数确定b的符号，再由抛物线确定a、b的符号，如果一致则正确．
【解答】解：A、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∴选项A不正确；
B、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0，
∴选项B正确；
C、由反比例函数得：b＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∴选项C不正确；
D、由反比例函数得：b＜0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∴选项D不正确；
故选：B．
9．春节快到了，为增进友谊，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份新春的祝福，小静同学所在的小组共写了42份祝福，该小组共有（ ）
A．4人 B．5人 C．6人 D．7人
【分析】设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份新春催祝福，根据小静所在的小组共写了42份祝福，即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．
【解答】解：设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份祝福，：
x（x﹣1）＝42，
x1＝﹣6（不符合题意），x2＝7．
答：该小组共有7人．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【分析】易知直线y＝kx+2k﹣4过定点D（﹣2，﹣4），运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点（0，10），可求出半径OB＝10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【解答】解：对于直线y＝kx+2k﹣4，
当x＝﹣2时，y＝﹣4，
故直线y＝kx+2k﹣4恒经过点（﹣2，﹣4），记为点D．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当BD⊥OD时，BC最短，
连接OB，OD，如图所示，
∵D（﹣2，﹣4），
∴，
∵⊙O经过点（0，10），
∴OB＝10，
∴，
∵OB⊥OD，
∴，
∴弦BC的最小值是 ．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一元二次方程x（x+3）＝0的根是 x1＝0，x2＝﹣3 ．
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程x（x+3）＝0，
可得x＝0或x+3＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
12．在平面直角坐标系中，点M（1，﹣20）关于原点对称的点的坐标是 （﹣1，20） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
【解答】解：点M（1，﹣20）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，20）．
故答案为：（﹣1，20）．
13．将抛物线y＝x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣3 ．
【分析】根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣3，
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣3．
14．口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，绿球有10个，从中任意摸出一个球是绿色的概率为，则任意摸出一个球是黄球的概率为 ．
【分析】设有x个黄球，根据绿球的个数和任意摸出一个球是绿球的概率列出关于x的方程，解之求出x，进而求出的总球的个数，即可得出任意摸出一个球是黄球的概率．
【解答】解：设有x个黄球，
根据题意，得＝，
解得：x＝22，
即口袋中黄球有22个；
袋子中共有22+8+10＝40个小球，其中黄球有22个，
任意摸出一个球是黄球的概率为＝．
故答案为：．
15．如图，M为反比例函数y＝图象上一点，MA⊥y轴于点A，S△MAO＝2时，k＝ 4 ．
【分析】根据直角三角形的面积公式可得AM AO＝4，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k的值．
【解答】解：如图所示：∵MA⊥y轴于点A，S△MAO＝2，
∴AM AO＝4，
∴k＝4．
故答案为：4．
16．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是 6π﹣9 ．
【分析】根据翻折的性质，可得到AD＝OD＝OA，进而求出∠OCD，∠AOC，再根据S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC进行计算即可．
【解答】解：由翻折的性质可知，AD＝OD＝OA，AC＝OC，
在Rt△COD中，OD＝OC＝3，
∴∠OCD＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴CD＝OD＝3，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
故答案为：6π﹣9．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：x2+2x﹣1＝0．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
18．（4分）小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关S1、S2、S3、S4、S5和一个小灯泡，当开关S1闭合时，再同时闭合开关S2、S3或S4、S5都可以使小灯泡发亮．
（1）当开关S1、S2已经闭合时，再任意闭合开关S3、S4、S5中的一个，小灯泡能亮起来的概率是 ；
（2）当开关S1已经闭合时，再任意闭合开关S2、S3、S4、S5中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
【分析】（1）直接根据等可能事件的概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出小灯泡能亮起来的可能结果，再根据等可能事件的概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵任意闭合开关S3、S4、S5中的一个，有3种可能，小灯泡能亮起来只有1种可能，
∴P（小灯泡能亮起来）＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有4种可能，
∴P（小灯泡能亮起来）＝．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，方程的根为x1，x2，求代数式的值．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
整理得：﹣4m+9≥0，
解得：m≤．
故实数m的取值范围是m≤；
（2）当m＝1时，方程为x2+x﹣1＝0，
∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，+x1＝1，+x2＝1，
∴
＝（x1+1）（3x2+3）
＝3[x1x2+（x1+x2）+1]
＝3×（﹣1﹣1+1）
＝3×（﹣1）
＝﹣3．
20．（6分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
【分析】（1）设销售价格为x元，根据“单件利润×销售量＝总利润”列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据（1）中所列相等关系列出总利润y关于x的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，
则（x﹣20） [250﹣10（x﹣25）]＝2000，
整理，得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30，x2＝40（舍去），
答：该商品销售价是30元/件；
（2）设该商品每天的销售利润为y，
则y＝（x﹣20） [250﹣10（x﹣25）]
＝﹣10x2﹣700x+10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大．
21．（8分）如图，△ADE中，∠DAE＝90°，AD＝AE＝3，点B在△ADE内，且AB＝，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，连接CB，CD，BE．
（I）试探究BE与CD的关系；
（2）当∠ABE＝135°时，连接BD，求出△CBD的面积．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠DAE，由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD，∠AEB＝∠ADC，可证BE⊥CD；
（2）先证点B，点E，点C三点共线，由勾股定理可求CD的长，即可求解．
【解答】解：（1）BE＝CD，BE⊥CD，理由如下：
如图：延长EB交CD于H，
∵将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAB，
又∵AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC，
∵∠AEB+∠BED+∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠ADE+∠BED＝90°，
∴∠EHD＝90°，
∴BE⊥CD；
（2）如图，
∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，
∴∠ABE+∠ABC＝180°，
∴点B，点E，点C三点共线，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE＝3，
∴DE＝3，
∵DE2＝CD2+CE2，
∴18＝CD2+（2+CD）2，
∴CD＝2﹣1（负值舍去），
∴CE＝2+2﹣1＝2+1，
∴△CBD的面积＝×CD BC＝2﹣1．
22．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C
（1）m＝ 4 ，k1＝ ，k2＝ 16 ；
（2）根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣8＜x＜0或x＞4 ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，求△ABD的面积．
【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；
（2）由A与B横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；
（3）连接BD，三角形ABD的面积可以用AD为底边，高为A横坐标减去B横坐标求出，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABD的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），
∴k2＝（﹣8）×（﹣2）＝16，﹣2＝﹣8k1+2，
∴k1＝，
∴m＝×4+2＝4；
（2）∵一次函数y1＝k1x+2与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4；
（3）连接BD，由（1）知，y1＝x+2，y2＝，
∴m＝4，点D的坐标是（4，0），点A的坐标是（4，4），点B的坐标是（﹣8，﹣2）．
∴S△ABD＝AD （xA横坐标﹣xB横坐标）＝×4×[4﹣（﹣8）]＝24．
故答案为：（1）4；；16；（2）﹣8＜x＜0或x＞4
23．（10分）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出OB⊥BC，证明△DOC≌△BOC（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODC＝∠OBC＝90°，则可得出结论；
（2）设BC＝x，过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4，由勾股定理求出BC＝9，求出OC的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵CB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
又OD为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：设CB＝x，
∵AE⊥EB，
∴AE为⊙O的切线，
∵CD、CB为⊙O的切线，
∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO，
∴BD⊥OC，
过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4，
∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2，
解得x＝9，
∴CB＝9，
∴OC＝＝，
∵＝，
∴BF＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是矩形，且OA＝8，OC＝6，CE：BE＝1：3．反比例函数（x＞0）的图象分别交BC、AB于点E、点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF、OE、OF，求△OEF的面积；
（3）是否存在x轴上的一点P，使得△EFP是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到点E的坐标为（2，6），根据待定系数法可得k的值，即可；
（2）求出点E与点F的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点P坐标为（a，0），求出点E与点F的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，
∵CE：BE＝1：3，
∴，BE＝6，
所以点E的坐标为（2，6），
点E在反比例函数上，代入，得到k1＝12，
故反比例函数解析式为；
（2）如图1，连接EF、OE、OF，
∵OA＝8，
∴x＝8时，，
∴，
即，，，
∴S△OEF＝S矩形﹣S△OCE﹣S△OFA﹣S△BEF
＝，
＝；
（3）存在x轴上的一点P，使得△EFP是不以点P为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图2，
设所求点P坐标为（a，0），
∵，E（2，6），
∴，
EP2＝（a﹣2）2+（0﹣6）2＝a2﹣4a+40，
，
当∠EFP＝90°时，
EF2+FP2＝EP2，
即，，
解得，，
故；
当∠FEP＝90°时，
FP2＝EP2+EF2，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点P，坐标为，．
25．（12分）已知点P为抛物线y1＝x2+（2t﹣3）x+（t+1）顶点，点Q是直线y2＝（2t﹣3）x+（t﹣t2）与y轴交点，t为常数，且﹣2≤t．
（1）若抛物线y1与坐标轴有且仅有两个公共点，试比较t与﹣1大小；
（2）试确定抛物线y1与直线y2上下位置关系；
（3）若抛物线y1经过（k，﹣），无论x为何值，总有x2+（2t﹣3）x+t≥﹣，当2m﹣1≤x≤2m时，抛物线有最小值3m+，设R点坐标为（m，0），按照角的大小关系判定△PQR形状．
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式，解出来即可；
（2）联立函数用△判断交点个数，二次函数再结合开口方向判断，或者两个函数求差，判断取值范围；
（3）根据抛物线y1经过（k，﹣），无论x为何值，总有x2+（2t﹣3）x+t≥﹣，判断（k，﹣）为顶点，再用顶点公式求出t值，再根据当2m﹣1≤x≤2m时，抛物线有最小值3m+，利用对称轴分情况讨论，求m值，在判断PQR形状即可．
【解答】解：（1）抛物线y1与坐标轴有且仅有两个公共点，
所以抛物线y1经过原点，把（0，0）代入抛物线解析式，
可得t＝﹣1；
（2）联立抛物线与直线得：x2+（2t﹣3）x+t+1＝（2t﹣3）x+t﹣t2，化简得x2+1+t2＝0，
∵Δ＜0，
∴抛物线与直线无公共点，
又∵抛物线开口向上，
∴y1在y2上方，（或右上方）；
（3）P（），Q（0，t﹣t2），
把（k，）代入y1得，
，
∵无论x为何值，，
∴，
∴，
解得（舍），
∴P（2，），Q（0，），
y1对称轴为x＝2，且，
①当2m﹣1≤2≤2m时，即，
，
解得，不在范围内，舍去，
②当2＜2m﹣1时，即当x＝2m﹣1时，
y1有最小值∴，
解得，
③当2m＜2时，即m＜1，
当x＝2m时，y1有最小值，
∴，
解得（舍），
当R坐标为（） 时，△PQR是锐角三角形，
当R坐标为（0，0）时△PQR为钝角三角形．
