“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作
2023—2024学年第一学期联考
高三数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合，，则的元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C． D．
答案：A
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
3．函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
答案：A
4.设的内角的对边分别为，若则的值可以
A． B． C． D．
答案：A
5.若向量，，且，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
6．设，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
4 9 2
3 5 7
8 1 6
7．我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（ ）
A．41 B．369 C．1476 D．3321
答案：B
8. 函数,若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【详解】由题知，
的实数解及转化为，或的实数解，即
当时，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
如图所示：
所以时有最大值：
所以时，由图可知，
当时，因为，，
所以，
令，则
则有且，如图所示：
因为时，已有两个交点，
所以只需保证与及与有四个交点即可，
所以只需，解得.
故选：D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．直线是函数图象的对称轴
答案：ACD
10．已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是递增数列 C． D．
答案：BD
11．已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
答案：ABC
【详解】因为均为奇函数，所以，即①，，
因为，即，所以，即②．
由①，取得，
由②，令，得；令，得，所以．
由①，令，得．
故选：ABC
12．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体PBCQ的体积的最大值为
B．的取值范围是
C．若二面角的平面角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为S，则
答案：ACD
【详解】由题意知在直四棱柱中，半圆弧经过点D，故，
点P到底面的距离为，
当点Q位于半圆弧上的中点时最大，即四面体PBCQ体积最大，
则 ，故A正确；
由于，则，
又在中， ，
故，
因为，所以，则 ，故B错误；
因为平面，平面，故，而,
平面，故平面，平面，
故，所以是二面角的平面角，
则，因为 ，所以，故C正确；
设线段BC的中点为N， 线段的中点为K，则三棱锥的外接球球心O在NK上，
在四边形中，,,
设，在中，在中，
故，
整理得，所以 ，所以外接球的表面积为，D正确，
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点, .
答案：
命题：“”是假命题，则实数m的取值范围是 ．
答案：
设点，，在上，若，则_________.
答案：
16．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出，则有，构造函数，利用导数可求出其最值，从而可得答案.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于0，
则，由于，则，解得或（舍去），
所以，因为，所以，
令，
则，由，得，得，解得或（舍去）.
当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即的范围为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数
（1）当，求的最值,及取最值时对应的的值；
（2）在中,为锐角，且，求的面积.
【解析】................................................................2分
..................................................................................................................................................4分
.................................................................................................................5分
...................................................................................................................6分
由
..............................................................................................................................................................................7分
由余弦定理得即......................................................9分
...................................................................................................................................10分
18. 已知函数，的图象在处的切线为．
（1）设，求的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），...................................................................................................................1分
..........................................................................................................................................................2分
=，......................................................................3分
令
...................................................................................................................................................................................................5分
即的最小值为0.....................................................................................................6分
（2）令.................................................................7分
由（1）可知当时...............................................................................................8分
...........................................................................10分
...............................................................................................................................................11分
....................................................................................................................................................................12分
19．已知数列的前n项和为，，且．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：．
【解析】(1),..............................................1分
数列是以1为首项，为公差的等差数列
.....................................................................................................................................2分
可得.......................................................................................................................................................3分
当时，.......................................................................................................................4分
当时，也满足上式，....................................................................................................................5分
（2）
...................................................................................................................................................................6分
..............................................................................................................7分
.....................................................................................................................................9分
..................................................................................................................................10分
................................................................................................................................................................11分
................................................................................................................................................................12分
20．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，,，平面平面．
（1）设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？
（2）平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）分别取的中点,
，
，...................................................................................................................................................................1分
.........................................................................2分
平面平面，，，..............................................................................4分
........................5分
即线段上存在一点，使平面...............................................................................................6分
取中点，连接
....................................7分
...........................8分
设向量为平面的一条法向量，则
由取得
又为平面的一条法向量,...........................................................................................................10分
.........................................................12分
21．已知的三个角，，的对边分别为，，，，．
（1）求角；
（2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积．
【解析】（1）由正弦定理得，
，，
即，.............................................................................................................2分
，，
即，..............................................................................................................3分
，，.....................................................................................................................4分
，..............................................................................................................................................5分
（2）方法一：，，为等边三角形，，.................6分
，，，，
在中，由余弦定理得，，
即，整理可得，，...............................8分
，.........................................................................9分
当且仅当时取等号，即时，取最小值，此时 ，
............................................................................................................................................................................................10分
．..........................................12分
方法二：，，为等边三角形，，..............................6分
，，，设，，
在中，由正弦定理得，，
即，整理可得， ，...................................................................8分
当且仅当时，取最小值，.......................................................................................................9分
当取最小值时，，................................................................................................10分
在中，，，
.............................................12分
22.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）函数有两个零点,求证：.
【解析】（1）..........................................................................1分
若，令得
...............................................................................................................................................................................................3分
，.............................................................................4分
（2）由（1）可知......5分
.
.....................................................6分
令.......................................................................................................................................7分
则令
.......................................................................................................8分
，
..........................................................10分
..............................................................11分
......................................................................................................................................................12分“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作
2023—2024学年第一学期联考
高三数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合，，则的元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
4. 设的内角的对边分别为，若则的值可以
A． B． C． D．
若向量，，且，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．设，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4 9 2
3 5 7
8 1 6
7．我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的每列的数字之和为，如图，三阶幻方的，那么（ ）
A．41 B．369 C．1476 D．3321
8. 函数,若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．直线是函数图象的对称轴
10．已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是递增数列 C． D．
11．已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，,，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体PBCQ的体积的最大值为
B．的取值范围是
C．若二面角的平面角为，则
D．若三棱锥的外接球表面积为S，则
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点, .
14. 命题：“”是假命题，则实数m的取值范围是 ．
15. 设点，，在上，若，则_________.
16．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的范围为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数
（1）当，求的最值,及取最值时对应的的值；
（2）在中,为锐角，且，求的面积.
18. 已知函数，的图象在处的切线为．
（1）设，求的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19．已知数列的前n项和为，，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：．
20．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，,，平面平面．
（1）设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？
（2）平面与平面的夹角的余弦值.
21．已知的三个角，，的对边分别为，，，，．
（1）求角；
（2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点），设，当取最小值时，求的面积．
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）函数有两个零点,求证：.
