第4练 圆周运动 天体的运动
[保分基础练]
1．(2023·江苏卷·4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
2．如图甲所示是古代用牛车灌溉时的场景，其简化图如图乙所示，已知A、B、C三个圆的半径分别为rA、rB、rC，C每转一圈能将8个相同竹筒中的水(每个竹筒中水的质量均为m)灌溉到农田中，已知牛每分钟牵引中柱转动n圈，则一个小时内该牛车对农田灌溉水的质量为( )
A.m B.m
C.m D.m
3.如图所示，某同学在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动，以感受向心力的大小，则( )
A．为使感受到的力等于沙袋的向心力，活动中可以使绳子保持水平
B．为使感受到的力近似等于沙袋的向心力，应使沙袋的转速大一些
C．被甩动的绳子越长，沙袋的向心力越大
D．被甩动的绳子越长，沙袋的向心力越小
4．(2023·江苏省苏锡常镇四市一模)2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是( )
A．图中两阴影部分的面积相等
B．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”周期变大
C．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”机械能变小
D．探测器在P点的加速度小于在N点的加速度
5．(2023·江苏盐城市三模)宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，质量分别为mA、mB，半径分别为RA、RB，第一宇宙速度分别为vA、vB，两颗行星周围卫星的轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期。下列关系式正确的是( )
A．mA
6．(2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
A．k3()2 B．k3()2
C.()2 D.()2
7.双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两恒星A、B在相互引力的作用下，围绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。A、B质量分别为m1、m2，下列关于双星系统说法正确的是( )
A．A、B所受万有引力之比为m1∶m2
B．A、B系统的总动量始终为0
C．A、B做圆周运动的转速之比为m2∶m1
D．A、B做圆周运动的动能之比为m1∶m2
[争分提能练]
8.(2023·江苏镇江高三学情调查考试)如图所示，轻弹簧的一端固定在光滑杆下端的O′点，另一端拴接一可视为质点的小球，现使整个装置环绕竖直轴OO′匀速转动，以角速度ω0稳定转动时，小球位于A点，轻弹簧恰处于原长状态，设弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是( )
A．选用不同质量的小球，ω0的大小不同
B．角速度由ω0逐渐增大，杆与小球间的作用力大小可能不变
C．角速度由ω0逐渐增大，小球将沿杆向上移动
D．若解除小球与弹簧的拴接，装置以略大于ω0的角速度匀速转动时，小球将在A点上方某位置随杆一起转动
9．如图所示，半径分别为rA、rB的两圆盘水平放置，圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，质量分别为mA、mB的物块A、B(均视为质点)分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA、μB，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖直轴转动起来，A比B先滑动的条件是( )
A．μArA<μBrB B．μArB<μBrA
C.> D.<
10．2022年我国完成了空间站在轨建造，空间站在轨道上运行时，受到稀薄大气作用，轨道高度会逐渐下降，空间站需要不定期加速以维持轨道高度。若某时刻空间站的轨道高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，图示为空间站示意图，各个方向均安装有发动机。变轨时可短时间内启动后方发动机向后喷气，该过程空间站速度的变化量为喷气前速度的k倍；也可短时间内启动下方发动机向下喷气。若两次喷气结束后空间站的运动轨道(圆形)相同，则向下喷气过程空间站的速度变化量的大小为( )
A．R B．kR
C．R D．R
11．(2023·江苏南通市适应性考试)航天员从空间站上释放了一颗质量为m的探测卫星，该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离为l，已知空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，在高品质的照片上，可以看清地球表面不动物体的线度为曝光时间内空间站相对地球的位移，忽略地球的自转。
(1)忽略卫星拉力对空间站轨道的影响及卫星与空间站的引力，求卫星所受轻绳的拉力大小F；
(2)拍照的曝光时间为Δt(很短)，求从空间站上拍的照片可以看清的地球表面不动物体的线度d。
[尖子生选练]
12.如图所示，内壁光滑、底面半径为R、高度未知的圆筒竖直放置，圆筒下端到地面的距离为R，已知A、A1、P点在同一竖直面内，P、A两点间水平距离为2R、竖直距离为R。A1与A是圆筒两底面与同一竖直线的交点，A1B1在圆筒下底面同一直径的两端。从P点以一定初速度沿水平方向抛出一质量为m的小球，小球恰从圆筒上端A点进入，之后从B1点射出圆筒。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球运动到A点时的速度；
(2)小球在圆筒内运动时对筒壁的作用力大小；
(3)求小球从B1点射出时水平射程的最大值。
第4练 圆周运动 天体的运动
1．C [根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同，故选C。]
2．A [根据题图乙可知，中柱和A的转速相同，有vA＝＝
A和B边缘的线速度大小相等，有vA＝vB
B和C的角速度相同，则有ωB＝ωC
则C的转速为nC＝＝ r/s
则一个小时内牛车对农田灌溉水的质量为m总＝3 600×8mnC＝m，故选A。]
3．B [沙袋在水平面内做圆周运动，分析可知，沙袋做圆周运动的向心力由沙袋自身的重力和绳子对沙袋的拉力这两个力的合力提供，受力分析如图所示，始终有绳子拉力在竖直方向的分力大小等于重力，方向相反，因此，活动中绳子不可能保持水平，故A错误；设绳子与水平面的夹角为θ，绳长为l，则有＝mω2lcos θ，而绳子的拉力FT＝，为使感受到的力近似等于沙袋的向心力，则要使tan θ近似等于sin θ，那么绳子与水平方向的夹角就要很小，而由受力分析可得mg＝mω2lsin θ，可知，θ减小，lsin θ即减小，实际上lsin θ表示绳子在手部的悬点距小球做圆周运动所在平面的距离，因此必须增大转速才能使感受到的力近似等于沙袋的向心力，故B正确；沙袋的向心力Fn＝＝mω2lcos θ，可知，沙袋的向心力不仅仅只跟甩动的绳子有关，假若增大绳长的同时，减小转动的角速度，则沙袋的向心力可能不变，也可能减小，故C、D错误。]
4．C [根据开普勒第二定律可知，探测器绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，但在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积不相等，故A错误；根据开普勒第三定律可知，探测器在“停泊轨道”上的运行周期比在“调相轨道”上小，故B错误；探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”需在P点减速，做近心运动，机械能变小，故C正确；根据牛顿第二定律，＝ma，可知探测器在P点的加速度比在N点大，故D错误。]
5．D [根据万有引力提供向心力可知G＝m，对于环绕行星A表面运行的卫星，有T02＝，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T02＝，联立解得＝，由题图可知RA3>RB3，故mA>mB，A、B错误；行星近地卫星的线速度即第一宇宙速度为v＝，由题图可知RA3>RB3，故vA>vB，C错误，D正确。]
6．D [设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr，可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝()2，故选D。]
7．B [A、B所受万有引力大小相等，故A错误；由于双星角速度相同，根据ω＝2πn可知A、B转速相同，故C错误；A、B的角速度相同，根据F＝G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得＝，根据v＝ωr可知＝＝，由于A、B的速度方向相反，故A、B系统的总动量为p＝m1v1－m2v2＝0，故B正确；A、B做圆周运动的动能之比为＝＝＝＝，故D错误。]
8．C [设杆与竖直方向夹角为θ，弹簧原长为L0，当角速度为ω0时，轻弹簧处于原长状态；以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得＝mω02L0sin θ，可得ω0＝，可知选用不同质量的小球，ω0的大小相同，故A错误；角速度由ω0逐渐增大，小球原来受到的合力不足以提供所需的向心力，小球做圆周运动的半径逐渐增大，小球将沿杆向上移动，弹簧的伸长量逐渐增大，弹簧弹力逐渐增大，竖直方向根据受力平衡可得F杆sin θ＝mg＋F弹cos θ，可知杆对小球的作用力逐渐增大，故B错误，C正确；若解除小球与弹簧的拴接，由于小球只受重力和杆的弹力作用，且杆的弹力方向保持不变，则装置以略大于ω0的角速度匀速转动时，重力和杆弹力的合力将不足以提供小球所需的向心力，小球将一直沿杆向上移动，不会在A点上方某位置随杆一起转动，故D错误。]
9．A [由牛顿第二定律与圆周运动规律得，当A刚要相对圆盘滑动时μAmAg＝，解得vA＝，当B刚要相对圆盘滑动时μBmBg＝，解得vB＝，当A比B先滑动时，则有vA
11．(1)mgR2[－]
(2)Δt
解析 (1)探测卫星随空间站绕地球做匀速圆周运动，具有相同的周期T，则有－F＝m(r－l)
设空间站的质量为m′，有
＝m′r
对地球表面的物体有＝m0g
联立解得F＝mgR2[－]
(2)根据万有引力提供向心力有
＝m′
依题意，有d＝Δl＝vΔt
联立可得d＝Δt
12．(1)2，与竖直方向成45°角
(2)2mg (3)[－(2＋π)]R
解析 (1)小球从P点到A点的过程，
在竖直方向有R＝gt12，
在水平方向有2R＝v0t1，
可得v0＝，vA＝＝2，与竖直方向成45°角。
(2)进入圆筒后小球在水平面内做匀速圆周运动，筒壁对小球的作用力提供小球做圆周运动所需的向心力，有FN＝＝2mg，则小球在圆筒内运动时对筒壁的作用力大小为2mg。
(3)小球从A点进入光滑圆筒后，
在竖直方向做匀加速直线运动，在水平方向上做匀速圆周运动
小球在水平面内做匀速圆周运动的周期T＝＝π，
要使小球从B1点射出，
可知小球在圆筒内运动的时间应满足
t2＝(n＋)T，其中n＝0,1,2,3，…
小球从B1点射出时，水平方向的速度为v0，
竖直方向的速度大小为
vy＝vAy＋gt2＝＋π，
结合匀变速运动规律可知，当n＝0时，小球离开圆筒后在空中运动的时间最长，此时小球离开圆筒时竖直方向的速度大小为vy′＝(1＋π)，
小球从离开圆筒到落到地面的过程，
有R＝vy′t3＋gt32，
小球从B1点射出后的最大水平射程为
x3＝v0t3＝[－(2＋π)]R。
