第二十二章二次函数
一、单选题
1．二次函数 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（-1，-3） C．（1，3） D．（-1，2）
2．二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
3．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A．35元 B．45元 C．55元 D．65元
4．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示的位置留宽的门.已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为.设饲养室的长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（ ）.
A． B．
C． D．
5．已知二次函数（m为实数，且），当0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6． 对于二次函数，当为和时，对应的函数值分别为和若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
7． 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④（的任意实数）；⑤．正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．函数 是二次函数，则K= ；
10．已知抛物线 经过 和 两点，则 的值为 ．
11．如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，则关于x的不等式 的解集是 .
12．已知抛物线 过点 ， 两点，若线段 的长不大于 ，则代数式 的最小值是 .
13．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y（m）（m）之间满足解析式y＝﹣，球网BC离点O的水平距离为5米，乙运动员在球场上N（n，0）处接球，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是 ．
三、解答题
14．已知二次函数．
（1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点；
（2）若该函数图象与轴交于点，求该函数的图象与轴的交点坐标．
15．河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m时，水面离桥拱顶部3m，现建立如图所示坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 因暴雨水位上升1m，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽4m，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
16．某茶叶经销商以每千克18元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售, 已知加工过程中质量损耗了40%, 该商户对该茶叶试销期间, 销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数 ，且x=35时，y=45；x=42时，y=38.
（1）求一次函数 的表达式；
（2）若该商户每天获得利润(不计加工费用)为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围.
17．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
18．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知抛物线．
（1）若抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标；
（2）如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形为正方形时，求B点的坐标．
（3）若抛物线有两个相异的不动点a、b，且，求m的取值范围．
参考答案：
1．B
2．B
3．D
4．D
5．B
6．B
7．D
8．C
9．
10．-4
11． 或
12．
13．5＜n＜7
14．（1）解：令，则，
，
，
，
，
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；
（2）解：函数的图象与轴交于点．
，
，
抛物线的解析式为：，
，
当时，，
，，
该函数的图象与轴的交点坐标或．
15．（1）解：由题意可得：
B（3,0），C（0,3）
设抛物线解析式为：
将点B坐标代入解析式得：9a+3=0
解得：
则抛物线的解析式为：
（2）解：当y=1+0.5=1.5时
解得：
则
则这艘小船能从这座石拱桥下通过
16．（1）解：将x=35，y=45；x=42，y=38代入 ，得：
，解得：
∴一次函数的表达式为：
（2）解：∵这批宁波白茶的实际成本为 （元/千克）
∴
∵ 即
∴当 时，
答：销售单价每千克定为48元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是576元
（3）解：由题意得：
解得：
又∵
∴
17．（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
18．（1）解：∵二次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴，
∴顶点坐标为．
（2）解：当矩形为正方形时，，
设B点坐标为，
∴C点坐标为，
即，
∵对称轴为：直线，B到对称轴距离等于C到对称轴距离相等，
∴，
解得（不合题意舍去），
时，，
∴B点坐标为：．
（3）解：∵抛物线有两个相异的不动点a、b，
∴a、b是方程的两个不相等的实数根，且，
整理得，
∴，
解得，
令，画出该二次函数的草图为：
∴当时，
解得，
∴
