人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 平面内的单位向量是唯一的
C. 方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量
D. 共线向量就是相等向量
2.（5分）如图所示，已知，则下列等式中成立的是
A. B.
C. D.
3.（5分）如图，在平行四边形中，，分别是，上的一点，且，则
A. B.
C. D.
4.（5分）若三点共线，则有
A. B. C. D.
5.（5分）设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为
A. B.
C. D.
6.（5分）为三角形内部一点，，，为大于的正实数，且满足，若，，分别表示，，的面积，则：：为
A. ：： B. ：：
C. D. ：：
7.（5分）如图，设是正六边形的中心，下面与向量相等的向量有
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8.（5分）已知向量，，，则为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知，，其中则以下结论正确的是
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，则
10.（5分）下列说法正确的是
A. 若，则 B. 单位向量都相等
C. 零向量的方向是任意的 D. 任一向量都与它自身是平行向量
11.（5分）在平面直角坐标系内，为坐标原点，已知，，若是线段的三等分点，则点的坐标是
A. B. C. D.
12.（5分）若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是
A. 向量、的夹角恒为锐角 B.
C. D.
13.（5分）下列说法不正确的是
A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C. 向量的大小与方向有关
D. 向量的模可以比较大小
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知向量，，若，则______，若，则______.
15.（5分）如图，在平行四边形中，，，与相交于点，若，则实数______．
16.（5分）已知为的重心，过点的直线与边，分别相交于点，，若，则与的面积之比为______结果用表示
17.（5分）设向量，，若，则实数______
18.（5分）设互不相等的平面向量组，满足：①；②，若，则的取值集合为 ______ ．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知，且与的夹角是，求：
；
；
当为何值时，．
20.（12分）已知向量，，，且
若，求的值；
证明：不存在角，使得等式成立；
求的最小值．
21.（12分）已知中．
设，求证：是等腰三角形；
设向量，，且，若，求的值．
22.（12分）已知平面直角坐标系中，点为原点，，，
求的坐标及；
若，求实数的值；
若，，三点共线，求实数的值.
23.（12分）如图所示，已知四边形是矩形，，分别是，的中点，是上一点，是上一点，与交于，是原点，，，，，，
若，求的值；
求证：．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；
对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；
对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；
对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确．故选C。
2.【答案】A;
【解析】解：因为，
所以，
所以，
故选：．
由平面向量基本定理得：，即，即，得解，
该题考查了平面向量基本定理，属简单题．
3.【答案】D;
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量基本定理选择作为基底来表示即可.
【解答】
解：因为，
，
所以 .
故选
4.【答案】C;
【解析】解：因为三点，
，，
，
又三点，，共线，
所以
所以，
即
故选：
利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线列出方程得到，关系．
此题主要考查向量坐标的求法、考查向量共线，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查两向量的夹角为锐角的条件，考查向量数量积的坐标表示，以及运算能力，属于一般题.
向量夹角为锐角，则向量点乘大于零，且不平行.
【解析】
解：由向量 ， ，因为向量 与 的夹角为锐角，
则 且 ，
解得 且 ，即 的范围为 ，
故选
6.【答案】B;
【解析】解：由，
可得，
，，，
所以：：：：．
故选：．
利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．
该题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力．
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了共线向量的定义，属于基础题．
利用共线向量的定义即可得出．
解：结合图形，与方向相同、大小相等的向量只有选项正确，
故选
8.【答案】D;
【解析】解：由题意得，
，
故选：．
由向量的数量积运算得，把已知的数据代入求解即可．
该题考查向量的模长公式，涉及向量的数量积的运算，属基础题．
9.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查了向量的坐标运算，考查的向量共线、向量的模长以及向量数量积，属于中档题；
对于选项，向量反向也满足共线，因此错，对于选项，利用两角和的余弦即可判断，对于、选项，利用，的模长为便可求解.解：对于，当时，也有，故 错误；
对于，，或，故 正确；
对于，，故正确
对于，，解得，，故正确
10.【答案】ACD;
【解析】解：显然都正确；单位向量的方向可能不同，所以单位向量不一定相等，错误；任一向量的方向都与它自身的方向相同，所以任一向量都与它自身是平行向量，正确．
故选：
根据相等向量和零向量的定义即可判断都正确，根据单位向量的定义可判断错误，根据平行向量的定义可判断正确．
此题主要考查了相等向量和零向量、单位向量的定义，平行向量的定义，属于基础题．
11.【答案】AD;
【解析】解：，，
，
是线段的三等分点，或，
则或
设，又，
或，
即或，
解得或
故选：
由已知可得，再由题意得到或，然后利用向量减法与数乘的坐标运算求解点的坐标．
此题主要考查线段的定比分点，考查向量减法与数乘的坐标运算，是基础题．
12.【答案】AC;
【解析】解：对于，因为不共线向量满足，所以由向量组成的三角形是等腰三角形，
且向量是底边，所以向量的夹角恒为锐角，正确；
对于，，
，所以不正确；
对于，，
即，故，
又，
，，故正确；
对于，若，类似中，平方后化简可得，
所以有，即，
而不一定成立，
例如，所以不正确．
故选：
根据向量的减法及等腰三角形可判断，根据数量积的定义及运算律，结合等腰三角形的性质可判断
此题主要考查了平面向量数量积的性质及运算，属于中档题．
13.【答案】ABC;
【解析】解：由向量的定义可知：向量之间不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
故只有选项说法正确．
故选：
利用平面向量的定义求解．
此题主要考查了平面向量的定义，是基础题．
14.【答案】8 -;;略;
【解析】解：向量，，
若，则，解得，
若，则，解得，
故答案为：；
由向量垂直的性质，可得，然后求出即可；由向量平行的性质，可得，然后求出即可．
此题主要考查了向量垂直和平行的性质，考查了方程思想，属于基础题．
15.【答案】;
【解析】解：取，为平行四边形所在平面的一组基向量，由题知．
又，，三点共线，可设，则．
所以且，
解得．
故答案为：
先取，为平行四边形所在平面的一组基向量，得到；再设，则两个联立即可求解
该题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．属于基础题
16.【答案】;
【解析】解：设，
，
，
为的重心，
，
因为，，三点共线，故，
故，
，
则与的面积之比．
故答案为：．
先运用三角形的面积公式可求两面积之比，然后结合向量线性表示及共线定理即可求解．
这道题主要考查了三角形的面积公式及向量共线定理的简单应用，属于中档试题．
17.【答案】-;
【解析】解：；
；
．
故答案为：．
根据即可得出，从而求出的值．
考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．
18.【答案】;
【解析】解：，，
，，，
，，，且的最大值为．
T m → 2 = ( a 1 → + a 2 → + … + a 4 → ) 2 = a 1 → 2 + a 2 → 2 + … + a m → 2 + 2 ( a 1 → . a 2 → + a 1 → . a 3 → + … + a m - 1 → . a m → ) = 4m + 2 ( a 1 → . a 2 → + a 1 → . a 3 → + … + a m - 1 → . a m → )，
若时， T 2 → 2 = 8，；
若时， T 3 → 2 = 4，；
若时， T 4 → 2 = 4 ×4 - 2 ×8 = 0，．
的取值集合为
故答案为：．
由，，可得，，，，，，且的最大值为． T m → 2 = a 1 → 2 + a 2 → 2 + … + a m → 2 + 2 ( a 1 → . a 2 → + a 1 → . a 3 → + … + a m - 1 → . a m → )，对分类讨论即可得出．
此题主要考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19.【答案】解：，且与的夹角是，
．
．
，
，
解得．
当时，．;
【解析】本题考查向量的平方及模的求法，考查向量的数量积与向量垂直的关系，实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
利用向量数量积公式能求出．
利用向量数量积的性质得到即可求解．
由，利用向量垂直的性质能求出的值．
20.【答案】解：，，且，
，
，
，
，
，
；
证明：假设存在角使得等式成立，
，
，
即，
，不符题意，
不存在角使得等式成立；
解：，
，
解得，
又，
，
又，，，
，
时，取最小值;
【解析】
此题主要考查了平面向量的坐标运算，涉及到向量的加法，向量的数量积，共线向量的条件的应用，三角函数的二倍角公式的应用.
由题意，得到，化简得，从而得到结果；
利用，推导出，不符题意，得到不存在角使得等式成立；
由题意，得，结合余弦三角函数性质，得到最值.
21.【答案】证明：，，
，即．
是等腰三角形；
解：，，且，
则，则，
得，，
，．
，，，．
．;
【解析】
由已知利用向量的减法法则化简得答案；
由向量共线的坐标运算可得，再由求得，，的值，展开得答案．
该题考查平面向量的数量积运算，考查向量共线的坐标表示，考查计算能力，属中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵平面直角坐标系中，点O为原点，A（1，3），B（2，-1），C（4，m）．
∴=（1，-4），
||==．
（II）=（1，3），=（2，m+1），
∵⊥，
∴ =2+3（m+1）=0，
解得实数m=-．
（III）∵A，B，C三点共线，
=（1，-4），=（3，m-3），
∴∥，
∴，
∴实数m=-9．;
【解析】
由平面直角坐标系中，点为原点，，，，能求出的坐标及；
先求出，，由，能求出实数
求出，，由，能求出实数
此题主要考查向量的坐标、向量的模、实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
23.【答案】（1）解：=（t，1）-（0，）=（t，），=（t，1）-（2，）=（t-2，）…（3分）
=0，所以t（t-2）+=0，t=1±…（6分）
（2）证明：R，M，P三点共线，可设=x，所以=+x=（xt，（1+x））
R，N，Q三点共线，可设=y，
所以=+y=（2+y（t-2），（1-y））…（10分）
根据平面向量的基本定理得：，解得：x=，y=-所．
以=（，）=（2，1）=．…（15分）;
【解析】
求出相关向量，利用，求解即可．
，，三点共线，设出，，，三点共线，可设，然后列出方程组求解证明即可．
该题考查向量的应用，向量共线与垂直条件的应用，考查计算能力．
