普高大联考 试卷类型：A
山东新高考联合质量测评12月联考试题
高三数学
2023.12
本卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。
2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若为虚数单位，复数，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数（且）在区间单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（ ）
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
8．已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则所剩下的数据的（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．标准差不变 D．极差不变
10．根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类。根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准。通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：．对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（ ）
A．
B．
C．若声音强度由降到，需降为原来的
D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍
11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．关于点对称 D．
12．已知正四棱锥的侧棱长是x，正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为，当时，正四棱锥的体积可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有 种．（用数字作答）
14．若将上底面半径为2，下底面半径为4的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表面积为 ．
15．设函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 ．
16．函数的所有零点之和为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求内角B的大小；
（2）若△ABC的面积为，，，求线段BM的长．
18．（12分）
某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活动，规定每位学生共需回答3道题目．现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题；乙方案：第一次选数学问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题，若回答错误，则下一次选物理问题．数学问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分；物理问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．
已知A同学能正确回答数学问题的概率为，能正确回答物理问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答顺序无关．
（1）求A同学采用甲方案答题，得分不低于100分的概率；
（2）A同学选择哪种方案参加比赛更加合理，并说明理由．
19．（12分）
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，设，．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当m为何值时，平面与平面DEF的夹角的余弦值最大．
20．（12分）
已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．
（1）求，的通项公式；
（2）设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．
21．（12分）
某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．．
这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是，开黄色花的概率是；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为，开黄色花的概率为．设第n代开粉红色花的概率为．
（1）求第2代开黄色花的概率；
（2）证明：．
22．（12分）
设（其中）．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
山东新高考联合质量测评12月联考
高三数学参考答案及评分标准
2023.12
一、单选题
1．C
2．A
3．C
解析：∵，∴，
∴，∴，∴．
又∵，∴．
4．B
解析：扇形的弧长，则圆锥底面半径，母线，圆锥的高，所以体积，故选B．
5．B
解析：当时，在区间单调递减，则，解得．当时，需要在区间单调递增，显然不满足要求，故选B．
6．D
解析：∵的最大值为2，∴．
∴，，∴，
∴即，的最小值为．
7．A
解析：若，则（），
∴，，．
∵，1，
∴，∴数列是以为公比的等比数列．
若数列为等比数列，且，则．
又，∴，∴，
此时，1，，所以甲是乙的充要条件．故选A．
8．C
解析：由题意得
，，．
∵，且，∴，，∴．
由得，
即，，
．又，∴．
二、多选题
9．ABD
解析：设，，…，的平均数为，
可知，故A正确．
新数据的中位数为，故B正确．
原数据的标准差为
，且，新数据的标准差为，故C错．
因为最大值和最小值不变，故极差不变，故D正确．
故答案为：ABD．
10．AD
解析：由题意可知，，
即，得，
同理可得，，
由此可知A正确，B错误；
，C错误；
当声音强度的等级为60dB时，有，
即，得，
此时对应的强度．
当声音强度的等级为40dB时，有，
即，得，
此时对应的强度，
∴60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确．
故选：AD．
11．ACD
解析：令，则，A正确；
由为偶函数知关于直线对称，令得，
即，故关于点对称，C正确，B错误；
由已知可得的周期为4，令，则，
∴，
，
故，D正确．故选ACD．
12．BD
解析：因为球的体积为，所以球的半径为．
设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则，即，
，∴，
∴，
令，得．
当时，；
当时，；
当时，；
∴正四棱锥体积．
因为，，
所以正四棱锥的体积可以是，，故选B、D．
三、填空题
13．120
解析：可分三步完成，
第一步，可从四名志愿者中选取三名志愿者，有种选法；
第二步，从6个项目中选取2个项目有种不同的选法；
第三步，把志愿者分配到两个项目中有种分配方法；
故共有（种）不同的分配方法．
14．
解析：球的外切圆台的轴截面就是圆内切于等腰梯形．设球的半径是x，等腰梯形的高为2x，等腰梯形的腰为6，则，所以，所以球的表面积．
15．
解析：由题知，又因为，所以．
要满足函数在区间内恰两个零点，则，解得．
16．15
解析：由，显然与的图象都关于直线对称．在同一坐标系作出，的图象，
观察图象可知，函数，的图象由6个公共点，其横坐标依次为，，，，，，这6个点两两关于直线对称，有，则
，所以函数的所有零点之和为15．
四、解答题
17．解：
（1）因为，
所以由正弦定理边化角得，
所以，
因为，所以．
因为，所以．
（2）因为△ABC的面积为，，
所以，所以．
因为，所以，，
所以，
所以，即△ABC为直角三角形，
因为，所以，
所以．
18．解：
（1）张同学采用甲方案答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，
所以其概率为．
（2）张同学选择乙方案参加比赛更加合理．理由如下：
若采用甲方案，则其得分X的可能取值为0，50，100，150，
，，，．
所以X的概率分布列为
X 0 50 100 150
P
所以X的数学期望为．
若采用乙方案，则其得分Y的可能取值为0，30，50，80，100，150，
所以，，，，，．
所以Y的概率分布列为
Y 0 30 50 80 100 150
P
所以Y的数学期望为．
因为，所以张同学选择乙方案参加比赛更加合理
19．
（1）证明：因为直三棱柱，底面ABC，
∴，
又，所以AB⊥BF，所以AB⊥平面，
所以AB，BC，两两垂直．
如图，建立以点B为原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系B-xyz，
则，，，，，，，．
由题设知，
∴，．
因为，
所以，即．
（2）解：易知平面的一个法向量为．
设平面DEF的法向量，
，，
，
，
令，则，，
∴．
设平面与平面DEF所成二面角的平面角为，则
，
当时，取最小值为，
此时取最大值为，此时．
20．解：
（1）由可得，
当时，，两式相减得，∴，
即．
∵，
∴（），
∴是等差数列．
由，得，
∴，
∴．
由题意，得，即，得或．
∵是递增的等比数列，
∴，所以，得，
∴．
∴，．
（2）由（1）得
．
能成立，等价于能成立，
化简得能成立，即．
设，则
，
∴是递减数列，故的最大值为．
∴，
∴的最大值为．
21．解：
（1）设事件表示第i代开粉红色花，事件表示第i代开黄色花，
由题意可得，
所以第2代开黄色花的概率为．
（2）由题可知，，
即．设（），
则，，
∴，
∴，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
∴，
即．
∴，
∴
．
22．解：
（1）函数的定义域为，求导得，
令得，，
当时，，当或时，；当时，，
则在，单调递增，在单调递减；
当时在单调递增；
当时，，当或时，，当时，，
则在，单调递增，在单调递减．
综上，
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减，
（2）将代入，
不等式可化为，
令，则，
易知当时，，当时，，
所以，从而当且仅当时等号成立，
则当且仅当时等号成立，
故当时，及，可得原不等式成立；
当时，存在，满足，
从而使得：，
而，于是不恒成立．
综上，实数a的取值范围是．
