数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名 班级 准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
A.12，13 B.13，13 C.13，12 D.12，14
2.如果椭圆的离心率为，则（ ）
A.4 B.4或 C. D.4或
3.已知数列是等差数列，若，则（ ）
A.-2 B.0 C.2 D.4
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A.8个 B.12个 C.18个 D.24个
6.已知.若，则（ ）
A. B. C. D.
7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
8.设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，是的一个顶点，是与不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（ ）
A.的一条渐近线的斜率为
B.
C.（分别为直线的斜率）
D.若，则恒成立
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点对称
D.在上单调递增
10.已知为复数，是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.若，则的虚部为
B.若满足，则的最大值为
C.若，则
D.若，且，则
11.已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（ ）
A.的图象关于对称
B.
C.是奇函数
D.与关于原点对称
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，则__________.
13.已知的三边长分别为，且均在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的表面积等于__________.
14.如图，四边形是边长为1的正方形，延长至，使得.动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，.则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.
16.（15分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：
更关注保暖性能 更关注款式设计 合计
女性 160 80 240
男性 120 40 160
合计 280 120 400
（1）是否有的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？
（2）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽绒服，记为抽取的2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：.
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
17.（15分）如图，在矩形中，为的中点，将沿折起，使点到点处，平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.（17分）设抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点.当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为轴左侧抛物线上一点，过作抛物线的切线，与直线交于点，与直线交于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值.
19.（17分）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围；
（3），数列的前项和为，求证：.
