北京市八一学校 2023―2024 学年度第二学期开学考
高 三 数 学 试 卷 2024.02
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 A {(x, y) | y x2},B {(x, y) | y x}，则 A B （ ）D
A．{0,1} B．{(0,0)} C．{(1,1)} D．{(0,0), (1,1)}
z
2. 已知复数 z满足 i，则复数 z的虚部为（ ）A
2 i
A．1 B． i C．2 D． 2i
3. 已知 f (x) sin x cos x，则 f (x)的最小值与最小正周期分别是（ ）A
1 1
A． ， π B． ， 2π C． 2， π D． 2， 2π
2 2
4. 已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n，则 a2 a3 （ ）B
A．3 B．6 C．7 D．8
5. 已知实数 > > 0， ∈ ，则下列不等式中成立的是( )B
A. + 1 a 1 b 2 2 + > B. ( 2 ) < ( 2 ) C. > D. >
6. 己知 , 分别为 轴， 轴上的动点，若以 为直径的圆与直线 x 2 y 2 0相切，则该
圆面积的最小值为( )A
2 4
A. B. C. D.
5 5 5
y2
7. 已知 F1，F
2
2 是双曲线C1 : x 1与椭圆C2的左、右公共焦点， A是C8 1
，C2 在第一象
限内的公共点，若 | F1F2 | | F1A |，则C2的离心率是( )D
1 2 2 3
A. B. C. D.
3 5 3 5
8. 设 ∈ ，若“ > 1”是“ > ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )B
A. (0, + ∞) B. ( 1e , + ∞) C. (1, + ∞) D. ( , + ∞)
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
9.正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，动点M 在线段CC1 上，动点 P在平．
面．A1B1C1D1上,且 AP 平面MBD1 . 线段 AP 长度的取值范围是 ( )C ．
A. [1, 2] B. [ 6 , 3] C. [ 6 , 2] D. [ 6 +∞)
2 2 2
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他
们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a,b,c(a b c,且
a,b,c N )；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和
丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是( )C
A. 每场比赛的第一名得分 a为 4 B.甲至少有一场比赛获得第二名
C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题,每小题 5分,共 25分.
11. 若 (x a)5的二项式展开式中 x2的系数为 10，则 a _________． -1
12. 关于 的不等式 2 ( + 1) + < 0 的解集中至多包含 1个整数，写出满足条件的一个
的_____[ 1,3]
13.如图，单位向量 ， 的夹角为2，点 在以 为圆心，1 为半径的弧
上运动，则 的最小值为 ．1 2
f (x)， f (x) 1,
14. 已知函数 f (x)定义域为 R ，设 F (x) 若 f (x) ea xf 1，且对任意
1， f (x) 1.
x R ， Ff (x) f (x)，则实数 a的取值范围为_____. ( , ln 2]
15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点
的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
2 2
C : x y2 2 1(a b 0)
2
的离心率为 ，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上a b 2
两个动点．直线 l的方程为 bx ay a2 b2 0.给出下列四个结论：①C 的蒙日圆的方程为
x2 y2 3b2；
②在直线 l上存在点 P，椭圆C上存在 A，B，使得 PA PB；
③记点 A到直线 l的距离为 d ，则 d | AF | 4 32 的最小值为 b；3
④若矩形MNGH的四条边均与C 相切，则矩形MNGH面积的最大值为 6b2 ．
其中所有正确结论的序号为_______．124
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （本小题满分 13 分）在△ ABC 中， 3 sin A cos A 3,b 2 3.再从条件①、条件②
这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ） tan 2A的值；
（Ⅱ） c和面积 S的值．
条件①: a 2,b2 a2 c2；条件②: 3a 2c,c 3 .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解：因为 3 sin A cos A 3,
所以 2sin(A ) 3,
6
sin(A ) 3即 .
6 2
又 0 A ,
A 7 所以 ,
6 6 6
2
所以 A ,或 A ,
6 3 6 3
得 A 或 A .——5 分
6 2
若选择条件①：
（Ⅰ）因为 a 2,b 2 3 ，
所以 a b, A不是最大角，得 A ，——6 分
6
所以 tan 2A tan 3.——7分
3
a b 2 2 3
（Ⅱ）由正弦定理 ，可得 .
sin A sin B sin sin B
6
所以 sin B 3 .
2
因为 b2 a2 c2，
cosB a
2 c2 b2
所以 0，
2ac
所以 B ,
2
B 2 所以 ,C ,
3 6
所以 c a 2, S 1 absinC 3. ——13 分
2
若选择条件②：
（Ⅰ）因为 3a 2c,c 3，
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
所以 a 2c 6 2 3 b,且 a c，
3 3
所以 A是最大角，得 A ，
2
所以 tan 2A tan 0.
a c
（Ⅱ）由正弦定理 （或直接利用 c a sinC），及 3a 2c， A ，
sin A sinC 2
3
可得 sinC ,
2
因为 0 C ,
2
所以C ,B ,
3 6
b
又 tan B,，
c
2 3 1
所以 c 6， S bc 6 3.
3 2
3
17. （本小题满分 14 分）如图，在四面体 ABCD中， AD 平面 ABC，点M 为棱 AB的中
点， AB AC 2， BC 2 2，AD 2.
（Ⅰ）证明： AC BD；
（Ⅱ）求平面 BCD和平面 DCM 夹角的余弦值；
（Ⅲ）在线段 BD上是否存在一点 P ,使得直线 PC与平面DCM 所成
6 BP
角的正弦值为 ？若存在, 求 的值；若不存在,请说明理由．
6 BD
解：（Ⅰ）因为 AD 平面 ABC， AC 平面 ABC，所以 AD AC，
因为 AB AC 2，BC 2 2 ，所以 AB2 AC2 BC2，
所以 AB AC .
又因为 AD AB A，AD， AB 平面 ABD，
所以 AC 平面 ABD，
因为 BD 平面 ABD，
所以 AC BD. ……4 分
（Ⅱ）因为 AD 平面 ABC， AB 平面 ABC，所以 AD AB .
又因为 AD AC， AB AC，
如图，以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角 坐
标系，则 A(0，0，0)，M (1，0，0)， B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2)，
MC ( 1，2，0)，MD ( 1，0，2)，
BC ( 2，2，0)， BD ( 2，0，2)，
设n (a，b，c)是平面 DCM 的法向量，
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
n MC a 2b 0
则 ，令 c 1，得 n (2，1，1)，
n MD a 2c 0
设平面 BCD 的法向量为m (x，y，z)，
m
BC 2x 2y 0 z 1 m 则 ，令 ，则 (1，1，1)，
m
BD 2x 2z 0
设平面 BCD 和平面 DCM 夹角为 ，则
cos | cos m n m
n | | | 2 2 ， ，
|m | | n | 3
2 2
所以平面 BCD 和平面 DCM 夹角的余弦值为 . ……9 分
3
（III）设点 P满足， BP BD (0≤ ≤1)，
则 AP AB BP AB BD (2 2 ，0，2 )，
CP CA AP (2 2 ， 2，2 ) .
若直线 PC与平面DCM 6所成角的正弦值为 ，
6
6
则 | cos CP n | | 2 2 |， = ，
6 8 8 8 2 6
化简得 2 1，所以 无解.
所以在线段 BD上不存在点 P ,使得直线 PC与平面 DCM 所成角的正弦值为
6 . ……14 分
6
18. （本小题满分 13 分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活
动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记 X 表示学生的考核成绩，并规定 X 85为考核
优秀. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成
绩，并作成如下茎叶图：
5 0 1 1 6
6 0 1 4 3 3 5 8
7 2 3 7 6 8 7 1 7
8 1 1 4 5 2 9
9 0 2 1 3 0
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(Ⅱ)从图中考核成绩满足 X [70,79]的学生中任取 3 人，设Y 表示这 3 人中成绩满足
| X 85 | 10的人数，求Y 的分布列和数学期望；
X 85
(Ⅲ)根据以往培训数据，规定当P 1 0.5时培训有效. 请你根据图中数据，判
10
断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件 A ,由茎叶图中的数据可以知道， 30名同学中，
有 7名同学考核优秀 所以所求概率 P(A) 7约为 ——3分
30
（Ⅱ）Y 的所有可能取值为 0,1,2,3 ——4 分
因为成绩 X [70,80]的学生共有8人，其中满足 | X 75 | 10的学生有 5人 所以
3 C 1C 2 30 C 32 1 10
P(Y 0) C3 1 ， 5P(Y 1) C 3C5 15 P (Y 2) 3 5 P(Y 3) C 3 56 C 3 38 8 56 C
3
8 56 C8 56
随机变量Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
1 15 30 10
P
56 56 56 56
——9分
E(Y ) 0 1 15 30 10 15 1 2 3 —— 11分
56 56 56 56 8
X 85
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足 1的成绩有16 个
10
所以 P X 85 1
16 8
0.5 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. — 13 分
10 30 15
2 2
19. （本小题满分 15 分）已知椭圆C : x y 1(a b 0)的上、下顶点为 B2，B1 ，左、a2 b2
右焦点为 F1，F2 ，四边形 B1F1B2F2是面积为 2的正方形．
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
2 2
（Ⅱ）已知圆 x y2 的切线 l与椭圆C 相交于 D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经
3
过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
2
解：（Ⅰ）已知得 2b 2c， a2 2，则 b c 1
x
，则所求方程为： y2 1.——4分
2
（Ⅱ） (i)当直线 l 的斜率不存在时，
因为直线 l 与圆 M 6相切，故其中的一条切线方程为 x .
3
6
代入椭圆方程可得，可得 D( , 6 ) 6 6， E( , ) ，
3 3 3 3
则以DE 6 2为直径的圆的方程为 (x )2 y2 .
3 3
(ii)当直线 l 的斜率为 0 时，
因为直线 l 与圆 M 6相切，所以其中的一条切线方程为 y .
3
6 6 6 6
代入椭圆方程可得，可得D( , )， E( , )，
3 3 3 3
6 2
则以DE为直径的圆的方程为 x2 (y )2 .
3 3
显然以上两圆都经过点O(0,0).
(iii)当直线 l 的斜率存在且不为零时，设直线 l 的方程为 y kx m.
代入椭圆方程消去 y，得 (2k 2 1)x2 4kmx 2m2 2 0，
4km 2m2 2
设D(x1, y1)， E(x2 , y2 )，则 x1 x2 2k 2
， x x .
1 1 2 2k 2 1
2
y y (kx m)(kx m) k 2x x km(x x ) m2 m 2k
2
所以 1 2 1 2 1 2 1 2 .2k 2 1
3m2 2k 2 2
所以OD OE x1x2 y1y2 ①，2k 2 1
因为直线 l 和圆 M 相切，
|m | 6 2 2 2
所以圆心到直线 l 的距离 d ，整理，得m (1 k )，②
1 k 2 3 3
将②代入①，得OD OE 0，显然以DE为直径的圆经过原点O(0,0)，
综上可知，以DE为直径的圆过定点 (0,0). …………15 分
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
f (x) ax x
2
20. （本小题满分 15 分）已知函数 .
ex
（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0时，求证: f (x) 2 对任意的 x (0, )成立.
e
ax x2
解：（Ⅰ）因为 f (x)
ex
x2 (a 2)x a
所以 f '(x)
ex
2
当 a x x 11时， f '(x)
ex
所以 f '( ) 1 21 ，而 f (1)
e e
曲线 y f (x) 2 1在 (1, f (1))处的切线方程为 y ( ) (x 1)
e e
y 1 1化简得到 x ——6分
e e
（Ⅱ）法一：
2
f '(x) x (a 2)x a x
2
f '(x) (a 2)x a因为 x ，令 x 0e e
x a 2 a
2 4 a 2 a2 4
得 1 0,x2 0
2 2
当 a 0时， x， f '(x)， f (x)在区间 (0, ) 的变化情况如下表:
x (0, x1) x1 (x1 , x2 ) x2 (x2 , )
f '(x) + 0 0 + 所以 f (x)
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z 在[0, )
上的最小值为 f (0), f (x2 )中较小的值，
而 f (0) 2 2 0 ，所以只需要证明 f (x2 ) e e
2
因为 x 2
ax x a 2x
2 (a 2)x2 a 0，所以 f (x 2 22 ) x
2
e 2 ex2
设 F(x) a 2x x ，其中 x 0e
F '(x) 2 (a 2x) 2x (a 2)所以
ex ex
令 F '(x) a 2 0，得 x3 ，
2
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
当 a 0时， x， F '(x)， F(x)在区间 (0, ) 的变化情况如下表:
x (0, x3 ) x3 (x3 , )
F '(x) 0
F(x) ] 极小值 Z
F(x) ( , ) F (a 2) 2 F (a 2) 2 2所以 在 0 上的最小值为 a ，而 a 2 1 2 1 e
e 2 e 2
注意到 x2 0， 所以 f (x
2
2 ) F(x2 ) ，问题得证 ——14 分
e
法二：
ax x2 2 ax x2 2
因为“对任意的 x 0， x ”等价于“对任意的 x 0， x 0”e e e e
2ex e(ax x2 )
即“ x 0， x+1 0”，故只需证“ x
x
0， 2e e(ax x2 ) 0”
e
设 g(x) 2ex e(ax x2 )
所以 g '(x) 2ex e(a 2x)
设 h(x) g '(x)， h '(x) 2ex 2e
令 h '(x) 0，得 x3 1
当 a 0时， x， h '(x)， h(x)在区间 (0, ) 的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1, )
h '(x) 0
h(x) ] 极小值 Z
…………..11分
所以 h(x) (0, )上的最小值为 h(1)，而 h(1) 2e e(a 2) ea 0
所以 x 0时， g '(x) 2ex e(a 2x) 0，所以 g(x)在 (0, )上单调递增
所以 g(x) g(0)
而 g(0) 2 0，所以 g(x) 0，问题得证
法三：
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
“对任意的 x 0， f (x) 2 ”等价于“ f (x)在 (0, 2 )上的最小值大于 ”
e e
2
因为 f '(x) x (a 2)x a ，令 f '(x) 0
ex
2 2
得 x a 2 a 4 a 2 a 41 0,x2 0
2 2
当 a 0时， x， f '(x)， f (x)在在 (0,+ )上的变化情况如下表:
x (0, x1) x1 (x1 , x2 ) x2 (x2 , )
f '(x) + 0 0 +
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z
所以 f (x)在[0, )上的最小值为 f (0), f (x2 )中较小的值，
而 f (0) 0 2 2 ，所以只需要证明 f (x2 ) e e
2
2 ax x a 2x 2x因为 x2 (a 2)x2 a 0，所以 f (x2 ) 2 2 2 2ex2 ex
2 ex2
x a 2 a
2 4 a x a 2 a
2 4
注意到 2 和 0，所以 2 2
2 2
F(x) 2x设 x ，其中 x 2e
F '(x) 2(1 x) 2(x 1)所以
ex
ex
当 x 2时， F '(x) 0，所以 F(x)单调递增，所以 F(x) F( 42)
e2
4 ( 2 2e 4而 ) 0
e2 e e2
所以 f (x2 ) F(x
2
2 ) ，问题得证
e
法四：
a x f (x) ax x
2 x2
因为 0，所以当 0时， x e ex
2
设 F(x) x x ，其中 x 0e
F '(x) x(x 2)所以
ex
所以 x， F '(x)， F(x)的变化情况如下表:
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
x (0,2) 2 (2, )
F '(x) 0 +
F(x) ] 极小值 Z
F(x) F( ) 4 4 ( 2) 2e 4所以 在 x 2时取得最小值 2 ，而 0
e2 e2 e e2
2
所以 x 0时， F(x)
e
所以
f (x) F (x) 2
e
21. （本小题满分 15 分）已知无穷集合 A,B ,且 A N,B N，记
A B a b a A,b B *，定义：满足N (A B)时，则称集合 A,B互为“完美加
法补集”.
（Ⅰ）已知集合 A a a 2m 1,m N , B b b 2n,n N .判断 2019 和 2020 是否属
于集合 A B，并说明理由；
（Ⅱ）设集合
A x x 0+ 22 2 + 4 24+L+ 2i 22i+L+ 2s 22s, 2i 0,1;i 0,1,L,s,s N ,
B x x 21+ 23+L+ 22i 1+L+ 22s 11 3 2i 1 2s 1 , 2i 1 0,1；i 1,L,s,s N* .
(ⅰ)求证：集合 A,B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记 A n 和 B n *分别表示集合 A,B中不大于 n(n N )的元素个数，写出满足
A n B n n 1的元素 n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
答案：
解: （Ⅰ）由 a 2m 1，b 2n得 a b （2 m n) 1是奇数，
当 a 2 1009 1，b 2 0=0时， a b 2019，
所以 2019 A B，
2020 A B . ………4分
（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数 p可表示为唯一一数组
（ 0， 1， 2，L， i，L， k），
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
其中 i 0,1;i 0,1,L,k,k N，
使得
p 0+
1 2
1 2 + 2 2 +L+ 2
i
i + i 1 2
i 1+L+ k 2
k， i 0,1;i 0,1,L,k,k N，
由于
0 + 1 2 i i 1 k 1 2 i0 1 2 + 2 2 +L+ i 2 + i 1 2 +L+ k 2 2 +2 +L+2 +L+2
k 2k 1 1
k 1 k 1
这种形式的自然数 p至多有 2 个，且最大数不超过 2 1.
由 i 0,1;i 0,1,L,k,k N，每个 i都有两种可能，
k 1
所以这种形式的自然数 p共有214 4424 2L44 4423 2 个结果.
k 1个2
下证 p 0+ 1 2
1+ 222 +L+ i 2
i+ 2i 1i 1 +L+ k 2
k
+ 21+ 22+L+ 2i i 1 k0 1 2 i + i 1 2 +L+ k 2
其中 i 0,1； i 0,1；i 0,1,L,k,k N ，则 i i
假设存在 i i 中，取 i最大数为 j，则
( 10+ 1 2 + 2 2
2+L+ i 2
i+ 2i 1 ki 1 +L+ k 2 ) (
1 2 i i 1
0 + 1 2 + 2 2 +L+ i 2 + i 1 2 +L+ k 2
k )
= ( 0 0)+(
1
1 1) 2 +L+( j j) 2
j
( j ) 2
i
j ( 0 0)+( 1 1) 2
1+L+( j 1j 1 j 1) 2
( j j ) 2
j ( 0 0 + 1 1 2
1+L+ 2 j 1j 1 j 1 ) )
2 j (1 21 L 2 j 1) 1
所以 0 1 不可能.
综上，任意正整数 p可唯一表示为
p + 21+ 22+L+ 2i+ 2i 1 k0 1 2 i i 1 +L+ k 2
( 2 10+ 2 2 L) ( 1 2 + 3 2
3+L)
( + 22 L) A,( 21+ 23显然 0 2 1 3 +L) B，
*
满足N (A B)，所以集合 A,B互为“完美加法补集”. ………12 分
（ⅱ） n n 2k 1,k N* . ………15 分
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}北京市八一学校 2023―2024 学年度第二学期开学考
高 三 数 学 试 卷 2024.02
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 A {(x, y) | y x2},B {(x, y) | y x}，则 A B （ ）D
A．{0,1} B．{(0,0)} C．{(1,1)} D．{(0,0), (1,1)}
z
2. 已知复数 z满足 i，则复数 z的虚部为（ ）A
2 i
A．1 B． i C．2 D． 2i
3. 已知 f (x) sin x cos x，则 f (x)的最小值与最小正周期分别是（ ）A
1 1
A． ， π B． ， 2π C． 2， π D． 2， 2π
2 2
4. 已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n，则 a2 a3 （ ）B
A．3 B．6 C．7 D．8
5. 已知实数 > > 0， ∈ ，则下列不等式中成立的是( )B
A. + 1 a 1 b 2 2 + > B. ( 2 ) < ( 2 ) C. > D. >
6. 己知 , 分别为 轴， 轴上的动点，若以 为直径的圆与直线 x 2 y 2 0相切，则该
圆面积的最小值为( )A
2 4
A. B. C. D.
5 5 5
y2
7. 已知 F1，F
2
2 是双曲线C1 : x 1与椭圆C2的左、右公共焦点， A是C8 1
，C2 在第一象
限内的公共点，若 | F1F2 | | F1A |，则C2的离心率是( )D
1 2 2 3
A. B. C. D.
3 5 3 5
8. 设 ∈ ，若“ > 1”是“ > ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )B
A. (0, + ∞) B. ( 1e , + ∞) C. (1, + ∞) D. ( , + ∞)
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
9.正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，动点M 在线段CC1 上，动点 P在平．
面．A1B1C1D1上,且 AP 平面MBD1 . 线段 AP 长度的取值范围是 ( )C ．
A. [1, 2] B. [ 6 , 3] C. [ 6 , 2] D. [ 6 +∞)
2 2 2
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他
们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a,b,c(a b c,且
a,b,c N )；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和
丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是( )C
A. 每场比赛的第一名得分 a为 4 B.甲至少有一场比赛获得第二名
C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D. 丙至少有一场比赛获得第三名
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题,每小题 5分,共 25分.
11. 若 (x a)5的二项式展开式中 x2的系数为 10，则 a _________． -1
12. 关于 的不等式 2 ( + 1) + < 0 的解集中至多包含 1个整数，写出满足条件的一个
的_____[ 1,3]
13.如图，单位向量 ， 的夹角为2，点 在以 为圆心，1 为半径的弧
上运动，则 的最小值为 ．1 2
f (x)， f (x) 1,
14. 已知函数 f (x)定义域为 R ，设 F (x) 若 f (x) ea xf 1，且对任意
1， f (x) 1.
x R ， Ff (x) f (x)，则实数 a的取值范围为_____. ( , ln 2]
15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点
的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
2 2
C : x y2 2 1(a b 0)
2
的离心率为 ，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上a b 2
两个动点．直线 l的方程为 bx ay a2 b2 0.给出下列四个结论：①C 的蒙日圆的方程为
x2 y2 3b2；
②在直线 l上存在点 P，椭圆C上存在 A，B，使得 PA PB；
③记点 A到直线 l的距离为 d ，则 d | AF | 4 32 的最小值为 b；3
④若矩形MNGH的四条边均与C 相切，则矩形MNGH面积的最大值为 6b2 ．
其中所有正确结论的序号为_______．124
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三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （本小题满分 13 分）在△ ABC 中， 3 sin A cos A 3,b 2 3.再从条件①、条件②
这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ） tan 2A的值；
（Ⅱ） c和面积 S的值．
条件①: a 2,b2 a2 c2；条件②: 3a 2c,c 3 .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解：因为 3 sin A cos A 3,
所以 2sin(A ) 3,
6
sin(A ) 3即 .
6 2
又 0 A ,
A 7 所以 ,
6 6 6
2
所以 A ,或 A ,
6 3 6 3
得 A 或 A .——5 分
6 2
若选择条件①：
（Ⅰ）因为 a 2,b 2 3 ，
所以 a b, A不是最大角，得 A ，——6 分
6
所以 tan 2A tan 3.——7分
3
a b 2 2 3
（Ⅱ）由正弦定理 ，可得 .
sin A sin B sin sin B
6
所以 sin B 3 .
2
因为 b2 a2 c2，
cosB a
2 c2 b2
所以 0，
2ac
所以 B ,
2
B 2 所以 ,C ,
3 6
所以 c a 2, S 1 absinC 3. ——13 分
2
若选择条件②：
（Ⅰ）因为 3a 2c,c 3，
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
所以 a 2c 6 2 3 b,且 a c，
3 3
所以 A是最大角，得 A ，
2
所以 tan 2A tan 0.
a c
（Ⅱ）由正弦定理 （或直接利用 c a sinC），及 3a 2c， A ，
sin A sinC 2
3
可得 sinC ,
2
因为 0 C ,
2
所以C ,B ,
3 6
b
又 tan B,，
c
2 3 1
所以 c 6， S bc 6 3.
3 2
3
17. （本小题满分 14 分）如图，在四面体 ABCD中， AD 平面 ABC，点M 为棱 AB的中
点， AB AC 2， BC 2 2，AD 2.
（Ⅰ）证明： AC BD；
（Ⅱ）求平面 BCD和平面 DCM 夹角的余弦值；
（Ⅲ）在线段 BD上是否存在一点 P ,使得直线 PC与平面DCM 所成
6 BP
角的正弦值为 ？若存在, 求 的值；若不存在,请说明理由．
6 BD
解：（Ⅰ）因为 AD 平面 ABC， AC 平面 ABC，所以 AD AC，
因为 AB AC 2，BC 2 2 ，所以 AB2 AC2 BC2，
所以 AB AC .
又因为 AD AB A，AD， AB 平面 ABD，
所以 AC 平面 ABD，
因为 BD 平面 ABD，
所以 AC BD. ……4 分
（Ⅱ）因为 AD 平面 ABC， AB 平面 ABC，所以 AD AB .
又因为 AD AC， AB AC，
如图，以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角 坐
标系，则 A(0，0，0)，M (1，0，0)， B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2)，
MC ( 1，2，0)，MD ( 1，0，2)，
BC ( 2，2，0)， BD ( 2，0，2)，
设n (a，b，c)是平面 DCM 的法向量，
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
n MC a 2b 0
则 ，令 c 1，得 n (2，1，1)，
n MD a 2c 0
设平面 BCD 的法向量为m (x，y，z)，
m
BC 2x 2y 0 z 1 m 则 ，令 ，则 (1，1，1)，
m
BD 2x 2z 0
设平面 BCD 和平面 DCM 夹角为 ，则
cos | cos m n m
n | | | 2 2 ， ，
|m | | n | 3
2 2
所以平面 BCD 和平面 DCM 夹角的余弦值为 . ……9 分
3
（III）设点 P满足， BP BD (0≤ ≤1)，
则 AP AB BP AB BD (2 2 ，0，2 )，
CP CA AP (2 2 ， 2，2 ) .
若直线 PC与平面DCM 6所成角的正弦值为 ，
6
6
则 | cos CP n | | 2 2 |， = ，
6 8 8 8 2 6
化简得 2 1，所以 无解.
所以在线段 BD上不存在点 P ,使得直线 PC与平面 DCM 所成角的正弦值为
6 . ……14 分
6
18. （本小题满分 13 分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活
动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记 X 表示学生的考核成绩，并规定 X 85为考核
优秀. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成
绩，并作成如下茎叶图：
5 0 1 1 6
6 0 1 4 3 3 5 8
7 2 3 7 6 8 7 1 7
8 1 1 4 5 2 9
9 0 2 1 3 0
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(Ⅱ)从图中考核成绩满足 X [70,79]的学生中任取 3 人，设Y 表示这 3 人中成绩满足
| X 85 | 10的人数，求Y 的分布列和数学期望；
X 85
(Ⅲ)根据以往培训数据，规定当P 1 0.5时培训有效. 请你根据图中数据，判
10
断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件 A ,由茎叶图中的数据可以知道， 30名同学中，
有 7名同学考核优秀 所以所求概率 P(A) 7约为 ——3分
30
（Ⅱ）Y 的所有可能取值为 0,1,2,3 ——4 分
因为成绩 X [70,80]的学生共有8人，其中满足 | X 75 | 10的学生有 5人 所以
3 C 1C 2 30 C 32 1 10
P(Y 0) C3 1 ， 5P(Y 1) C 3C5 15 P (Y 2) 3 5 P(Y 3) C 3 56 C 3 38 8 56 C
3
8 56 C8 56
随机变量Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
1 15 30 10
P
56 56 56 56
——9分
E(Y ) 0 1 15 30 10 15 1 2 3 —— 11分
56 56 56 56 8
X 85
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足 1的成绩有16 个
10
所以 P X 85 1
16 8
0.5 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. — 13 分
10 30 15
2 2
19. （本小题满分 15 分）已知椭圆C : x y 1(a b 0)的上、下顶点为 B2，B1 ，左、a2 b2
右焦点为 F1，F2 ，四边形 B1F1B2F2是面积为 2的正方形．
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
2 2
（Ⅱ）已知圆 x y2 的切线 l与椭圆C 相交于 D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经
3
过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
2
解：（Ⅰ）已知得 2b 2c， a2 2，则 b c 1
x
，则所求方程为： y2 1.——4分
2
（Ⅱ） (i)当直线 l 的斜率不存在时，
因为直线 l 与圆 M 6相切，故其中的一条切线方程为 x .
3
6
代入椭圆方程可得，可得 D( , 6 ) 6 6， E( , ) ，
3 3 3 3
则以DE 6 2为直径的圆的方程为 (x )2 y2 .
3 3
(ii)当直线 l 的斜率为 0 时，
因为直线 l 与圆 M 6相切，所以其中的一条切线方程为 y .
3
6 6 6 6
代入椭圆方程可得，可得D( , )， E( , )，
3 3 3 3
6 2
则以DE为直径的圆的方程为 x2 (y )2 .
3 3
显然以上两圆都经过点O(0,0).
(iii)当直线 l 的斜率存在且不为零时，设直线 l 的方程为 y kx m.
代入椭圆方程消去 y，得 (2k 2 1)x2 4kmx 2m2 2 0，
4km 2m2 2
设D(x1, y1)， E(x2 , y2 )，则 x1 x2 2k 2
， x x .
1 1 2 2k 2 1
2
y y (kx m)(kx m) k 2x x km(x x ) m2 m 2k
2
所以 1 2 1 2 1 2 1 2 .2k 2 1
3m2 2k 2 2
所以OD OE x1x2 y1y2 ①，2k 2 1
因为直线 l 和圆 M 相切，
|m | 6 2 2 2
所以圆心到直线 l 的距离 d ，整理，得m (1 k )，②
1 k 2 3 3
将②代入①，得OD OE 0，显然以DE为直径的圆经过原点O(0,0)，
综上可知，以DE为直径的圆过定点 (0,0). …………15 分
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
f (x) ax x
2
20. （本小题满分 15 分）已知函数 .
ex
（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0时，求证: f (x) 2 对任意的 x (0, )成立.
e
ax x2
解：（Ⅰ）因为 f (x)
ex
x2 (a 2)x a
所以 f '(x)
ex
2
当 a x x 11时， f '(x)
ex
所以 f '( ) 1 21 ，而 f (1)
e e
曲线 y f (x) 2 1在 (1, f (1))处的切线方程为 y ( ) (x 1)
e e
y 1 1化简得到 x ——6分
e e
（Ⅱ）法一：
2
f '(x) x (a 2)x a x
2
f '(x) (a 2)x a因为 x ，令 x 0e e
x a 2 a
2 4 a 2 a2 4
得 1 0,x2 0
2 2
当 a 0时， x， f '(x)， f (x)在区间 (0, ) 的变化情况如下表:
x (0, x1) x1 (x1 , x2 ) x2 (x2 , )
f '(x) + 0 0 + 所以 f (x)
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z 在[0, )
上的最小值为 f (0), f (x2 )中较小的值，
而 f (0) 2 2 0 ，所以只需要证明 f (x2 ) e e
2
因为 x 2
ax x a 2x
2 (a 2)x2 a 0，所以 f (x 2 22 ) x
2
e 2 ex2
设 F(x) a 2x x ，其中 x 0e
F '(x) 2 (a 2x) 2x (a 2)所以
ex ex
令 F '(x) a 2 0，得 x3 ，
2
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
当 a 0时， x， F '(x)， F(x)在区间 (0, ) 的变化情况如下表:
x (0, x3 ) x3 (x3 , )
F '(x) 0
F(x) ] 极小值 Z
F(x) ( , ) F (a 2) 2 F (a 2) 2 2所以 在 0 上的最小值为 a ，而 a 2 1 2 1 e
e 2 e 2
注意到 x2 0， 所以 f (x
2
2 ) F(x2 ) ，问题得证 ——14 分
e
法二：
ax x2 2 ax x2 2
因为“对任意的 x 0， x ”等价于“对任意的 x 0， x 0”e e e e
2ex e(ax x2 )
即“ x 0， x+1 0”，故只需证“ x
x
0， 2e e(ax x2 ) 0”
e
设 g(x) 2ex e(ax x2 )
所以 g '(x) 2ex e(a 2x)
设 h(x) g '(x)， h '(x) 2ex 2e
令 h '(x) 0，得 x3 1
当 a 0时， x， h '(x)， h(x)在区间 (0, ) 的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1, )
h '(x) 0
h(x) ] 极小值 Z
…………..11分
所以 h(x) (0, )上的最小值为 h(1)，而 h(1) 2e e(a 2) ea 0
所以 x 0时， g '(x) 2ex e(a 2x) 0，所以 g(x)在 (0, )上单调递增
所以 g(x) g(0)
而 g(0) 2 0，所以 g(x) 0，问题得证
法三：
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
“对任意的 x 0， f (x) 2 ”等价于“ f (x)在 (0, 2 )上的最小值大于 ”
e e
2
因为 f '(x) x (a 2)x a ，令 f '(x) 0
ex
2 2
得 x a 2 a 4 a 2 a 41 0,x2 0
2 2
当 a 0时， x， f '(x)， f (x)在在 (0,+ )上的变化情况如下表:
x (0, x1) x1 (x1 , x2 ) x2 (x2 , )
f '(x) + 0 0 +
f (x) Z 极大值 ] 极小值 Z
所以 f (x)在[0, )上的最小值为 f (0), f (x2 )中较小的值，
而 f (0) 0 2 2 ，所以只需要证明 f (x2 ) e e
2
2 ax x a 2x 2x因为 x2 (a 2)x2 a 0，所以 f (x2 ) 2 2 2 2ex2 ex
2 ex2
x a 2 a
2 4 a x a 2 a
2 4
注意到 2 和 0，所以 2 2
2 2
F(x) 2x设 x ，其中 x 2e
F '(x) 2(1 x) 2(x 1)所以
ex
ex
当 x 2时， F '(x) 0，所以 F(x)单调递增，所以 F(x) F( 42)
e2
4 ( 2 2e 4而 ) 0
e2 e e2
所以 f (x2 ) F(x
2
2 ) ，问题得证
e
法四：
a x f (x) ax x
2 x2
因为 0，所以当 0时， x e ex
2
设 F(x) x x ，其中 x 0e
F '(x) x(x 2)所以
ex
所以 x， F '(x)， F(x)的变化情况如下表:
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
x (0,2) 2 (2, )
F '(x) 0 +
F(x) ] 极小值 Z
F(x) F( ) 4 4 ( 2) 2e 4所以 在 x 2时取得最小值 2 ，而 0
e2 e2 e e2
2
所以 x 0时， F(x)
e
所以
f (x) F (x) 2
e
21. （本小题满分 15 分）已知无穷集合 A,B ,且 A N,B N，记
A B a b a A,b B *，定义：满足N (A B)时，则称集合 A,B互为“完美加
法补集”.
（Ⅰ）已知集合 A a a 2m 1,m N , B b b 2n,n N .判断 2019 和 2020 是否属
于集合 A B，并说明理由；
（Ⅱ）设集合
A x x 0+ 22 2 + 4 24+L+ 2i 22i+L+ 2s 22s, 2i 0,1;i 0,1,L,s,s N ,
B x x 21+ 23+L+ 22i 1+L+ 22s 11 3 2i 1 2s 1 , 2i 1 0,1；i 1,L,s,s N* .
(ⅰ)求证：集合 A,B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记 A n 和 B n *分别表示集合 A,B中不大于 n(n N )的元素个数，写出满足
A n B n n 1的元素 n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
答案：
解: （Ⅰ）由 a 2m 1，b 2n得 a b （2 m n) 1是奇数，
当 a 2 1009 1，b 2 0=0时， a b 2019，
所以 2019 A B，
2020 A B . ………4分
（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数 p可表示为唯一一数组
（ 0， 1， 2，L， i，L， k），
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
其中 i 0,1;i 0,1,L,k,k N，
使得
p 0+
1 2
1 2 + 2 2 +L+ 2
i
i + i 1 2
i 1+L+ k 2
k， i 0,1;i 0,1,L,k,k N，
由于
0 + 1 2 i i 1 k 1 2 i0 1 2 + 2 2 +L+ i 2 + i 1 2 +L+ k 2 2 +2 +L+2 +L+2
k 2k 1 1
k 1 k 1
这种形式的自然数 p至多有 2 个，且最大数不超过 2 1.
由 i 0,1;i 0,1,L,k,k N，每个 i都有两种可能，
k 1
所以这种形式的自然数 p共有214 4424 2L44 4423 2 个结果.
k 1个2
下证 p 0+ 1 2
1+ 222 +L+ i 2
i+ 2i 1i 1 +L+ k 2
k
+ 21+ 22+L+ 2i i 1 k0 1 2 i + i 1 2 +L+ k 2
其中 i 0,1； i 0,1；i 0,1,L,k,k N ，则 i i
假设存在 i i 中，取 i最大数为 j，则
( 10+ 1 2 + 2 2
2+L+ i 2
i+ 2i 1 ki 1 +L+ k 2 ) (
1 2 i i 1
0 + 1 2 + 2 2 +L+ i 2 + i 1 2 +L+ k 2
k )
= ( 0 0)+(
1
1 1) 2 +L+( j j) 2
j
( j ) 2
i
j ( 0 0)+( 1 1) 2
1+L+( j 1j 1 j 1) 2
( j j ) 2
j ( 0 0 + 1 1 2
1+L+ 2 j 1j 1 j 1 ) )
2 j (1 21 L 2 j 1) 1
所以 0 1 不可能.
综上，任意正整数 p可唯一表示为
p + 21+ 22+L+ 2i+ 2i 1 k0 1 2 i i 1 +L+ k 2
( 2 10+ 2 2 L) ( 1 2 + 3 2
3+L)
( + 22 L) A,( 21+ 23显然 0 2 1 3 +L) B，
*
满足N (A B)，所以集合 A,B互为“完美加法补集”. ………12 分
（ⅱ） n n 2k 1,k N* . ………15 分
{#{QQABAYgAogAIAABAAAgCQwUqCgGQkBGACIoOBAAAMAABiQFABAA=}#}
