浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步认识单元测试卷
一、选择题
1． 下列线段能构成三角形的是（ ）
A．2，7，4 B．5，7，12 C．7，15，10 D．4，3，9
2．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C．垂直于同一直线的两直线平行
D．三角形一边的中线平分三角形的周长
3．如图，，，若，则等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．100°
4．如图，B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知某三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．9的立方根是3
C．有一个角是的三角形是等边三角形
D．16的算术平方根是4
7．下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
9．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
10．如图，已知，用尺规以为一边在的外部作．对于弧，下列说法正确的是（ ）
A．以点M为圆心，的长为半径 B．以点N为圆心，的长为半径
C．以点O为圆心，的长为半径 D．以点N为圆心，的长为半径
二、填空题
11．把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果 那么 ．
12．如图，，点B、C、D在同一直线上，且，，则长为 ．
13．如图，在中，，，且，为的垂直平分线，设P为直线上任一点，则的最小值为 ．
14．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF；则以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；其中正确的结论有 .
三、作图题
15．请用直尺（不带刻度）、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，线段．
求作：，使．
四、解答题
16．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。
17．如图，，，，求的度数．
18．如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的长．
19．如图，在中，，，过点C作直线MN与线段AB相交，于点M，于点N．
（1）求证：；
（2）求证：．
五、综合题
20．求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ；
求证： ．
（2）证明：
21．已知，如图，在中，平分，过C点作的平行线交的延长线于点D，在的延长线上取一点E，使．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．如图，是的高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （选填“”“”或“=”）；
（2）探究与之间的关系，并说明理由；
（3）若把题中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并写出结论．
23．
（1）如图，在中，，的角平分线交于点，则如图，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：．
（2）如图，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为： 用含的代数式表示
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，故A选项错误；
B、，不能构成三角形，故B选项错误；
C、，能构成三角形，故C选项正确；
D、，不能构成三角形，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系进行判断，三角形任意两边之和大于第三边．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A：两直线平行，同位角才相等，A是假命题；
B：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 ，是真命题；
C：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可知C是假命题；
D：三角形一边的中线平分三角形的面积，但不一定平分周长，可知D是假命题。
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和判定、三角形中线的性质即可确定答案。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
.
故答案为：D.
【分析】由三角形内角和定理得，然后根据三角形全等的性质得，即可得解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：分析题目找到给定的条件：AB∥ED，∠B=∠E，AB=DE，
A：BF=EC，可知BC=EF，SAS可证明，
B：利用ASA可证明，
D：利用AAS可证明，
故答案为：C。
【分析】理解和掌握全等三角形的证明方法是解题关键，另外需要找准对应边、对应角所在位置。
5．【答案】A
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、如果，若，那么；若，那么，此选项错误，不符合题意；
B、9的立方根是，此选项错误，不符合题意；
C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，此选项错误，不符合题意；
D、16的算术平方根是4，此选项正确，符合题意．
故答案为：D
【分析】题设成立，结论也成立的命题就是真命题，据此逐一分析判定。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A.如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠1+∠3，
∵ab，
∴∠ACD=∠2，
∴∠2=∠1+∠3，故A不符合题意；
B.如图：延长AD交BF于点C，
∵ab，
∴∠1=∠ACF，
∵∠ACF=∠3+∠2，
∴∠1=∠3+∠2，故B符合题意；
C.如图：过点A作ABa，
∴∠2+∠CAB=180°，
∵ab，
∴ABb，
∴∠1+∠BAD=180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合题意；
D.如图：延长DA交直线b于点C，
∵ab，
∴∠2=∠DCB，
∵∠3=∠1+∠DCB，
∴∠3=∠1+∠2，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质分别求出各图形中∠1、∠2、∠3的关系，即可判断.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过E作于F，
∵，平分，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
而，
∴，故③错误；
在和中，，
∴，
∴，，，故②正确；
∴，故④正确；
∴，故①正确．
综上，四个结论中成立的是①②④，
故选：A．
【分析】已知AE平分∠BAD ，过点E作与点F,根据角平分线的性质可得BE=EF,又因为AE=AE,故，因为点E是的中点，所以，斜边大于直角边，故③错误；同理可得，根据三角形全等的性质，可得，故②正确；等量代换，故④正确；由图可得，故①正确；综上可知①②④正确。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得作图步骤：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、点C；
②取任意一点O'，作射线O'B'，以O'为圆心，OC长为半径画弧交O'B'于点C'；
③以C'为圆心，CD长为半径画弧交前弧于点D'；
④过点D'作射线O'A'，
所以 ∠A'O'B'就是∠AOB的相等角，作图完毕.
根据作图过程知道：在△COD和△C'O'D' 中
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）.
故答案为：B.
【分析】通过还原其作图步骤，知道作图时满足了三边相等的关系，即可知道依据为SSS.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：弧是以N点为圆心，为半径所画的弧．
故答案为：B．
【分析】根据作一个角等于已知角的方法判定．
11．【答案】两个角是同一个角的补角；这两个角相等
【解析】【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。
故答案是：两个角是同一个角的补角；这两个角相等。
【分析】同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等。据此即可写成所要求的形式。本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键。
12．【答案】5
【解析】【解答】解：∵，
∴CB=CE，AC=CD，
∵BD=12，AC=7，
∴CE=CB=5，
故答案为：5
【分析】先根据三角形全等的性质得到CB=CE，AC=CD，进而结合已知条件即可求解。
13．【答案】4
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵在中，，，且，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
根据两点直线线段最短可知：当点P在线段上时，最小，
即最小为，
故答案为：4．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即PC=PA，则求PB+PC最小值转换为求PC+PA最小值，再利用两点之间线段最短，找到当P点位于MN与AB的交点时，此时PC+PA最小，即PC+PA=AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，求出AB=4。
14．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴2∠ABD+2∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠ADC＝90°，故③正确；
故答案为：①②③.
【分析】由角平分线的定义可得∠EAC＝2∠EAD，由三角形外角的性质可得∠EAC＝∠ABC+∠ACB，从而推出∠EAD＝∠ABC，根据平行线的判定可得AD∥BC，利用平行线的性质及角平分线的定义可推∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，据此判断①②；由AD∥BC可得∠ADC＝∠DCF，由CD平分∠ACF可得∠ACF＝2∠DCF，利用补角的定义可得∠ACB+∠ACF=2∠ABD+2∠ADC＝180°，据此即可判断③.
15．【答案】解：如图：
【解析】【分析】先作出∠MBN=，再在射线M上取一点A，使得AB=b，在射线BN上取一点C，使得BC=2a，再连接AC即可.
16．【答案】 解：∵ 在△ABC中，∠A=70°，∠B=50° ，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（70°+50°）=60°，∵ CD平分∠ACB ，∴.
【解析】【分析】根据三角形的内角和，由 ∠ACB=180°-（∠A+∠B） 算出∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得出 .
17．【答案】解：过E作EF∥AB，如图：
又∵AB∥CD，
∴
∴
∴
【解析】【分析】过E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得AB∥CD∥EF，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠AEF及∠DCE=∠FEC，最后根据角的运算即可求解.
18．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：7．
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质及全等三角形性质即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质即可求出答案。
19．【答案】（1）证明：于M，，
，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
在和中，
，
，
，，
．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形内角和性质得出，从而得出；
（2）利用全等三角形的判定AAS，得出，再利用全等三角形的性质及线段之间的等量关系得出结论。
20．【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
21．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
∵，，
又 ，
，
，
，
答：的度数为．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证出，可得；
（2）先证出，，再结合，求出，即可得到。
22．【答案】（1）=
（2）解：，，
理由如下：
是的高，
，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，故，；
（3）解：，，
理由如下：如图，
，
是的高，
，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，故，．
【解析】【解答】解：（1）是的高，
，
∴，，
∴；
故答案为：=；
【分析】（1）首先根据三角形高的定义得出∠CDB=∠BEQ=90°，再根据对顶角相等，得出∠DFC=∠EFB，然后根据等角的余角相等得出∠1=∠2；
（2） ，， 首先根据SAS判定 ， 进而可得， ， 然后再根据∠P+∠PAD=90°，等量代换为∠CAQ+∠PAD=90°， 即， 即可得出，从而得出结论，；
（3），， 首先根据SAS判定 ， 进而可得， ，然后再根据∠P+∠PAD=90°，等量代换为∠CAQ+∠PAD=90°，根据平角定义即可得出，即，从而得出结论，。
23．【答案】（1）解：证明：在中，
和分别是、的三等分线，
，，
（2）解：.
【解析】【解答】解：（2）由图1，图2的规律可得 ∠BO1C=
故答案为：
【分析】（1）由三等分角线可得 ∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，结合题中规律即可求证。
（2）观察图1与图2两个特例即可求解。
