2024年中考数学一轮复习
《正方形》考点课时精练
一 、选择题
1.如图，平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用如图表示，则图中阴影部分所表示的图形是( )
A.矩形 B.菱形 C.矩形或菱形 D.正方形
2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是( )
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
3.如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A.16 B.12 C.24 D.18
4.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝( )
A.90° B.45° C.30° D.22.5°
5.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )
6.如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是( )
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
7.下列叙述，错误的是( )
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线相等的四边形是矩形
8.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A，B，C，D得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是( )
A. B. C. D.
9.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )
A. B. C. D.
10.如图,点O(0,0)，A(0,1)是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2027的坐标是( )
A.(0，21013) B.(21013，21013) C.(21014，0) D.(21014，﹣21014)
二 、填空题
11.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 .
12.如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为 ．
13.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是 ．
14.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .
15.如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ＝AE，则AP等于_______cm.
16.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝ .
三 、解答题
17.如图，已知点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE．
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点.
(1)求证：△BAE≌△BCF；
(2)若∠ABC＝50°，则当∠EBA＝________°时，四边形BFDE是正方形.
19.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
(1)求证：AP＝BQ；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
20.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF．
(1)求证：△ABE≌△DAF；
(2)若BO＝4，DE＝2，求正方形ABCD的面积．
21.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
(1)证明：△ADG≌△DCE；
(2)连接BF，证明：AB＝FB．
22.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.
23.在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线(如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等)把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.
(1)(探究发现)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为________(直接写出结果).
(2)(验证猜想)同学们讨论得出下列三种证明思路(如图1)：
思路一：过点A作AG⊥AE，交CD的延长线于点G.
思路二：过点A作AG⊥AE，并截取AG＝AE，连接DG.
思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG.
请选择一种思路证明(探究发现)中的结论.
(3)(应用)如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且BC＝3BE， ∠EAF＝45°，设BE＝t，试用含t的代数式表示DF的长.
参考答案
1.D.
2.A
3.A.
4.D
5.B.
6.B.
7.D.
8.C.
9.C.
10.B
11.答案为：45°.
12.答案为：45°．
13.答案为：100.
14.答案为：3.
15.答案为：1或2.
16.答案为：.
17.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP＋∠APF＝90°，
∴∠APF＋∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．
18.证明：(1)在菱形ABCD中，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAE＝∠BCF.
在△BAE与△BCF中，
BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF
∴△BAE≌△BCF(SAS).
(2)20.
19.证明：(1)∵正方形ABCD
∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP＋∠DAP＝90°
∴∠BAQ＝∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB＝∠DPA＝90°
∴△AQB≌△DPA(AAS)
∴AP＝BQ
(2)①AQ﹣AP＝PQ
②AQ﹣BQ＝PQ
③DP﹣AP＝PQ
④DP﹣BQ＝PQ
20.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
又AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF；
(2)∵△ABE≌△DAF，
∴∠FAD＝∠ABE，
又∠FAD＋∠BAO＝90°，
∴∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴△ABO∽△EAB，
∴AB：BE＝BO：AB，即AB：6＝4：AB，
∴AB2＝24，
所以正方形ABCD面积是24．
21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE(ASA)；
(2)如图所示，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE(ASA)，
∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，
BF＝AH＝AB．
22.解：(1)PB＝PQ.证明：连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD，∠BCD＝90°，BC＝CD，
又∵PC＝PC，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，
∵∠PBC＋∠PQC＝180°，∠PQD＋∠PQC＝180°，
∴∠PBC＝∠PQD，
∴∠PDC＝∠PQD，
∴PQ＝PD，
∴PB＝PQ
(2)PB＝PQ.证明：连接PD，
同(1)可证△DCP≌△BCP，
∴PD＝PB，∠PBC＝∠PDC，
∵∠PBC＝∠Q，
∴∠PDC＝∠Q，
∴PD＝PQ，
∴PB＝PQ.
23.解：(1)EF＝BE＋DF.
(2)思路三：延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG.
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°
∵BE＝DG
∴△ABE≌△ADG(SAS)
∴AE＝AG,∠BAE＝∠DAG
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°
∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝45°
∴∠GAF＝∠EAF
∴AF＝AF
∴△EAF≌△GAF(SAS)
∴EF＝GF＝BE＋DF.
(3)由题意可知，CE＝2t，设DF＝x，则CF＝3t-x，EF＝2t＋x,
∴在RtCEF中，EF2＝CE2＋CF2，
∴(x＋t)2＝(3t-x)2＋(2t)2
∴x＝t.即DF＝t.
