专题02 学科融合
一、选择题（共17小题）
1．（2023秋 盐山县期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强与汽缸内气体体积的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了
A． B． C． D．
2．（2023 怀化）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 清原县期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了
A． B． C． D．
4．（2023秋 郑州期末）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，方老师带同学们进行了测浮力的实验，如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是
A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为
B．由段是线段可知，铁块是匀速向下移动的
C．铁块的高度为
D．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为
5．（2023秋 光明区期末）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为
A． B． C． D．
6．（2023 山西）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为
A． B． C． D．
7．（2024 深圳模拟）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图，当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法不正确的是
A．在一定范围内，越大，越小
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
8．（2023秋 安新县期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是
C．当时， D．当时，
9．（2023秋 灵丘县期末）已知蓄电池两端电压为定值，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流随着电阻的增大而减小
C．当时，
D．当时，
10．（2023秋 晋中期末）根据物理学知识，导体中的电流，与导体的电阻、导体两端的电压之间满足关系式．当一定时，根据如表可以判断和的大小关系为
20 40 60 80 100 120
8 ■ ■ ■
A． B． C． D．
11．（2023秋 句容市期末）如图，从光源发出的一束光，遇到平面镜轴）上的点后的反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是
A．2 B． C． D．1
12．（2023秋 遂川县期末）如图是光的反射规律示意图．是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为
A． B． C． D．
13．（2023秋 玉林期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为
A． B． C． D．
14．（2023秋 榆树市校级期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图②，一束光先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为
A． B． C． D．
15．（2023秋 原阳县期末）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2，“反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角”．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为
A． B． C． D．
16．（2023秋 海门区期末）如图，两面镜子，的夹角为，入射光线经过镜子两次反射后的出射光线平行于，图中，．当时，的度数是
A． B． C． D．
17．（2023秋 深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
18．（2023秋 鞍山期末）如图，利用滑轮拉动物体可以省力，其计算公式是表示拉力，表示绳子股数，为滑轮重量，为所拉物体重量），已知，，，则 ．
19．（2023秋 德化县期末）有一根弹簧挂上不超过50克重物后，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答问题：
质量（克 1 2 3 4
伸长量（厘米） 0.5 1 1.5 2
总长度（厘米） 10.5 11 11.5 12
当所挂重物为克时，弹簧的总长度为厘米，则 （用含的代数式表示）．
20．（2023秋 龙华区期末）数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过四次试验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表：
物体的质量 1 2 3 4
弹簧的长度 10 12 14 16
已知该弹簧在挂物体后，在弹性限度内能达到的最大长度为，则学习小组在刻度盘上需标注的最大量程是 ．
21．（2023秋 邹平市期末）已知家庭电路中电灯两端的电压为，若所选用灯泡的电阻不低于，则通过此灯泡的电流强度最大不超过 ．
22．（2023秋 五华县期末）如图，的一边为平面镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，此时，且反射光线恰好与平行，则的度数是 ．
23．（2023秋 潮南区校级期末）如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为 ．
24．（2023秋 封开县期末）如图，一束光线从点出发，经过平面镜反射后，沿与平行的线段射出（此时，若测得，则 ．
25．（2023秋 义乌市期末）如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（米与飞行时间（秒之间满足函数关系则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒．
26．（2023 南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：与所受阻力（单位：是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．
27．（2023 南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省 的力．
（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
三、解答题（共11小题）
28．（2023 临安区一模）2023年某一天，某市某海域商船向辖区派出所报案：留在船上的钻石“不胫而走”．警方迅速出动警力赶往现场了解情况发现，在海滩案发现场留下了罪犯清晰的站立的脚印，如图脚印长约，陷入沙泥大约平均，警方立即用蜡浇铸了鞋模．蜡鞋模的平均厚度为，质量为，经过测试，达到同样 脚印的压强在到牛米之间，当人双脚站立在水平地面上所受的重力一定时，脚印的压强与鞋跟地面接触的面积满足函数关系．
（1）求整双鞋与地面接触的面积．
（2）如果你是警方人员，请你估计出这名罪犯的体重范围为多少．
29．（2023秋 富平县期末）某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出压强关于木板面积的函数表达式；
（2）当木板面积为时，木板对地面的压强是多少？
30．（2023秋 市南区期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 400 500 800 1000 1250
受力面积 0.5 0.4 0.25 0.2 0.16
（1）根据表中数据，求出压强关于受力面积的函数表达式；
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为，，，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为，问，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
31．（2023秋 百色期末）【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强与受力面积的数据关系如表所示：
桌面所受压强 250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 0.25
（1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强、压力和受力面积中，哪一个量不变？
（2）求出压强关于受力面积的函数表达式及的值；
（3）如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
32．（2023秋 太原期末）罗伯特波义耳是英国物理学家和化学家，他确立了科学实验的可重复性原则．1662年，波义耳在大量实验的基础上，得出了著名的波义耳气体定律：温度不变时，密闭容器内气体压强是其体积的反比例函数．已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压与气体体积的函数图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
33．（2023秋 镇江期末）我们知道，弹簧的总长度是所挂重物的一次函数，请根据如图所示的信息解决问题．
（1）求一次函数表达式；
（2）求弹簧不挂重物时的长度．
34．（2023秋 平原县期末）某动物园根据杠杆原理上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图所示，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤（重量可以忽略不计）和装有大象的铁笼，其中弹簧秤与钢梁之间的距离为，装有大象的铁笼与钢梁之间的距离为，已知当钢梁又呈水平状态（铁笼已经离地）时，弹簧秤显示的读数为，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为．
（1）求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量；
（2）若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么是关于的什么函数？直接写出函数解析式；
（3）当时，求弹簧秤的显示读数，当弹簧秤的显示读数，求．
35．（2023秋 宿豫区期末）在弹簧限度内，弹簧长度是所挂物体质量的一次函数．已知一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时的长度为．
（1）求与的函数表达式；
（2）当挂物体时，求此时弹簧的长度．
36．（2023秋 滑县期末）已知蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系．
（1）先补全下列表格，再写出该蓄电池的电压是 ；则电流关于电阻的函数关系式为 ；（自变量
3 4 6 8 10
12 6 4.5
（2）请在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，并直接写出如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过时，用电器可变电阻应控制在什么范围？
37．（2023秋 北流市期末）综合与实践
【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．
（1）通过观察以下一位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
（2）通过观察以下两位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想．
【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从端滑到端的过程中，设，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．
38．（2023秋 宝丰县期末）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
一、选择题（共17小题）
1．【答案】
【解答】解：设反比例函数解析式为：，
把，代入解析式中，
解得，
反比例函数解析式为：．
当时，
；
当时，
，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．
当为定值时，压强与受力面积之间函数关系是反比例函数，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为，
时，，
，
，
当时，，
当时，，
，
气体体积压缩了，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了，烧杯内水的高度为，故正确，不符合题意；
段是线段，拉力与移动的距离成一次函数关系，铁块是匀速向下移动的，故正确，不符合题意；
烧杯有出水口，水平面在铁块下移过程中保持不变．铁块的高度为段铁块移动的距离为，故正确，不符合题意；
当铁块下降高度为时，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，铁块的重力为，铁块所受到的浮力为，故错误，符合题意．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为．
把代入解析式得：，
解得，
该一次函数解析式为．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：根据题意，得，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：图2中随的增大而减小，
在一定范围内，越大，越小．
正确，不符合题意；
图2中的图象经过点，
当时，的阻值为．
正确，不符合题意；
当时，，时，对应的是，
踏板上人的质量为时，，错误．
符合题意．
，
随的增大而减小．
的最小值为10，
的最大值为115．
若电压表量程为为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是．
正确，不符合题意．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：设，
图象过，
，
，
蓄电池的电压是，
、正确，不符合题意；
当时，（A），
错误，符合题意；
当时，，
由图象知：当时，，
正确，不符合题意；
故选：．
9．【答案】
【解答】解：设，
图象过，
，
，故选项正确，不符合题意；
在有效范围内，电流随着电阻的增大而减小，故选项正确，不符合题意；
当时，，故选项错误，符合题意；
由图象知：当时，，故选项正确，不符合题意；
当时，（A），
，故选项正确，不符合题意；
故选：．
10．【答案】
【解答】解：根据题意得：，
解得：，，
，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：延长，交轴于点，过点作轴．
轴，
，，
，
，
，
，
．
在与中，
，
，
，
点的坐标为．
将坐标代入，
得，
．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：，，
，
，
，
，
即，
．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：如图，
从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，
，
，
，
当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
又，
．
故选：．
16．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：，，
，，
，
，
．
故选：．
二、填空题（共10小题）
18．【答案】800．
【解答】解：把，，代入中得：
，
，
，
，
故答案为：800．
19．【答案】．
【解答】解：弹簧原来的长度：（厘米），
挂上1克重物弹簧伸长的长度：（厘米），
，
故答案为：．
20．【答案】10．
【解答】解：设物体的质量和弹簧的长度分别用和表示，
根据表格中的数据，和的函数关系式为．
当时，得，解得，
故答案为：10．
21．【答案】0.11．
【解答】解：由题意，得，
解得．
通过此灯泡的电流强度最大不超过．
故答案为：0.11．
22．【答案】．
【解答】解：过点作交于点．
入射角等于反射角，
，
，
（两直线平行，内错角相等）；
（等量代换）；
在中，，，
；
在中，．
故答案为：．
23．【答案】．
【解答】解：如图，过点作的对称点，过点作于点，交于点，
则，
过点作于，
，
，
，
光线射出经过镜面处反射到地面点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
24．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．【答案】2．
【解答】解：令，
，
解得（舍去），．
小球从飞出到落地要用4秒．
又由对称性，
小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为2秒．
故答案为：2．
26．【答案】2500．
【解答】解：设功率为，由题可知，即，将，代入可得：，即反比例函数为：．当时，．
胡答案为：2500．
27．【答案】100．
【解答】解：根据“杠杆定律”有，
函数的解析式为，
当时，，
当时，，
因此，撬动这块石头可以节省，
故答案为：100．
三、解答题（共11小题）
28．【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由可得，鞋模的体积：，
由可得，鞋模的底面积：，
整双鞋的底面积；
（2）由可得，，当时，，
，
，
当时，，
，
这名罪犯的体重范围是．
29．【答案】（1）；
（2）木板对地面的压强是．
【解答】解：（1）设，
由图象得：双曲线过点，在第一象限，
，
则，
压强关于木板面积 的函数表达式为；
（2）当时，．
即木板对地面的压强是．
30．【答案】（1），；
（2）这种摆放方式不安全，理由见解答过程．
【解答】解：（1）由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，
设，将代入得：
，
解得，
，
答：压强关于受力面积的函数表达式为；
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
，
这种摆放方式不安全．
31．【答案】（1）压力不变；
（2），；
（3）这种摆放方式不安全，理由见解析．
【解答】解：（1）在压强、压力和受力面积中，压力不变；
（2）把代入，得，
解得，
压强关于受力面积的函数表达式及的值，
把代入，得，
解得；
（3）这种摆放方式不安全，
理由：由已知，
此时，
这种摆放方式不安全．
32．【答案】（1）与之间的函数关系式为；
（2）为了安全起见，气球的体积大于．
【解答】解：（1）设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点，
，
与之间的函数关系式为；
（2）在第一象限内，随的增大而减小，
当时，．
为了安全起见，气球的体积大于．
33．【答案】（1）；
（2）弹簧不挂重物时的长度为．
【解答】解：（1）设，
由图可知：图象经过、，
，
解得，
一次函数表达式为：；
（2）由题意得，当时，．
答：弹簧不挂重物时的长度为．
34．
【解答】解：（1）把，， 代入得
，
，
答：装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为；
（2） 是关于 的反比例函数，
，
；
（3）把代入，
解得，
把代入 得，
解得．
35．【答案】（1）与的函数表达式为；
（2）弹簧的长度为．
【解答】解：（1）一根弹簧挂物体时的长度为，挂物体时长度为，
设与的函数表达式为，
，
解得，
与的函数表达式为；
（2）当时，．
弹簧的长度为．
36．【答案】（1）9，3.6；36，；
（2）图象见解答；用电器可变电阻．
【解答】解：（1），
，，
设把代入，
得，
反比例函数的解析式为：，
故答案为：9，3.6；36，；
（2）描点，连线，如图：
，
，
解得，
用电器可变电阻．
37．【答案】【问题背景】（1）；（2）；
【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大，证明见解答；
【实践应用】（3）．
【解答】解：【问题背景】（1）为最大，
故答案为：；
（2）为最大，
故答案为：；
【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．
证明：设第一个数为，则另一个数为，它们的积为，
则有，
，则抛物线开口向下，
当时，取最大值，为225，
此时这两数分别为15及，两数相等，
当这两数相等时，它们的乘积最大；
【实践应用】（3）设，则，，设总电流为，则
，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小．
设．
，则抛物线开口向下，且，
当时，取最大值为25，此时取最小值为（A），两支路电阻分别为和，两支路电阻相等，
当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为．
38．【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2），．
【解答】解：（1）①由条件可知：，依据是：两直线平行，同位角相等；，依据是：等量代换；
②反射光线与平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
